安徽六安市独山中学2025-2026学年第二学期高三年级3月份月考数学试卷(含答案)

六安市独山中学2025-2026学年度第二学期高三年级3月份月考数学试卷一、单选题(每题5分共40分)1.已知集合A=x 2x>1，集合A.{−1,0,1,2.已知复数z=i3i−4，则z的共轭复数A.325,−425B.33.已知函数fx=2x+2xA.−2,−1B.−14.已知△ABC是边长为1的正三角形,AN=13NC,P是BN上一点且A.29B.19C.5.已知某圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，则该圆锥的体积与其外接球的体积之比为()A.22B.33C.16.已知数列an满足a1=1,an−an−1=nn≥2A.10121013B.20252027C.20257.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1,F2,过点FA.52B.62C.58.葫芦曲线在数学中被明确为一种类似横放葫芦轴截面的曲线,其方程通常表示为y=a−2xπb⋅sin2xx≥0,其中2xπ为不超过2xπ的最大整数.该曲线的显著特征是振幅随间隔周期性变化,导致曲线上、下波动的幅度逐渐减小,形成类似葫芦“腰部收窄、两端膨大”的形状.如图,葫芦曲线的底脐、腰、嘴的对应点分别为O0,0,Aπ2,0,BA.−π2B.−5π8二、多选题(每题6分，部分对答部分分，多选或答错不得分总计18分)9.某次数学考试后,为分析学生的学习情况,某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩,整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况,计算:得到这100名学生中,成绩位于[80,90)内的学生成绩方差为12,成绩位于[参考公式:样本划分为2层,各层的容量、平均数和方差分别为:m、x、s12;n、y、sA.aB.估计该年级学生成绩的中位数约为71.43C.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50D.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.2510.下列结论正确的是()A.若随机变量X∼N3,1，且B.在回归分析中,残差图中残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示拟合效果越好C.对a,b两个变量进行相关性检验,得到相关系数为-0.8728,对m,n两个变量进行相关性检验,得到相关系数为0.8278,则a与b负相关,m与n正相关,其中m与D.一组数1,2,2,2,3,3,3,4,5,6的第80百分位数为4.511.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=22,AD=AA1=2,P为A1C的中点，Q为线段BC1上的动点,过点A且与直线A1C垂直的平面α交A.AB.三棱锥Q−AEFC.球O1与该长方体的公共部分的体积为D.△PMD的周长的最小值为三、填空题(每题5分总计15分)12.截至到2025年8月中旬,2025年暑期档电影总票房突破100亿元.其中战争历史片《南京照相馆》与《东极岛》，国产动画片《浪浪山小妖怪》与《罗小黑战记II》，国产古装片《长安的荔枝》，类型片《戏台》与《捕风追影》七部电影更是在票房与口碑上收获满满.小明将这七部电影的宣传海报(各1份)分别赠予2名男生和5名女生，每人1份，其中电影《戏台》的宣传海报赠予女生甲，2名男生收到的电影海报不属于同一电影题材，则不同的赠予方案总数为_____.13.若1+x24=a14.若关于x的不等式1e2x+2x2四、解答题(共77分)15.已知a,b,c分别是锐角△ABC三个内角A,B(1)求A，b的值；(2)求△ABC16.如图所示的几何体中，平面DCFE为正方形，四边形ABCD为等腰梯形，AB//(1)求证:AC⊥平面FBC(2)求BC与平面EAC夹角的正弦值；(3)线段ED上是否存在点Q，使平面EAC与平面QBC夹角的余弦值为1010，若存在，求出DQ17.已知椭圆C过点M2,1，两个焦点坐标分别为(1)求椭圆C的方程.(2)已知A,B为椭圆C上异于M的两点，且直线MA,MB与x轴围成一个以(i)求证:直线AB的斜率为定值;(ii)求△MAB18.已知某工厂有A,B两个车间生产某种产品,该产品的售价x(元)与产品月销量y(万件)售价x(元)12345月销量y(万件)10.910.29.07.87.1(1)若可用线性回归模型拟合y与x的关系，根据表格数据，求y关于x的线性回归方程y=b(2)当该产品的售价为6元时，请估计该产品的月销量；(3)若A,B两个车间的月产量之比为3:2，且这些产品会全部随机发放到该地区的销售网点，现有3名顾客每人购买一件该产品，记这三件产品中来自A车间的件数为X,求X的分布列和数学期望附:参考数据:b=19.已知函数fx(1)求fx(2)证明:∀x∈(3)设gx=lnx+sinx,若存在0<x1<1.Dx2−2x−3≤0可化为x+1x−3≤0,解得故选:D2.B因为复数z=所以共轭复数z=所以共轭复数z在复平面内对应的点的坐标为325故选:B.3.B因为y=2x与y=2x均在R上单调递增,所以fx又f−所以fx的唯一零点在−1故选:B.4.A由AN=13NC,得AN=而P,B,N三点共线,则m+所以AP=所以AP⋅故选:A.5.D由于圆锥的轴截面是等腰直角三角形,那么圆锥的外接球的球心和底面圆心重合,不妨设底面直径为2,则圆锥的高为1,外接球的半径为1,外接球的体积是4π3,圆锥的体积为1于是圆锥的体积与其外接球的体积之比为π3故选:D.6.D数列an中,a1=1,当n≥则当n≥2时,而a1=1满足上式,因此则Sn所以S2026故选:D7.B如下图:易知F1F2=2c,所以AF2=DF2=63F1F2=263c代入双曲线方程可得4c2a2−15c2解得e2=32或因为双曲线离心率e>1,所以8.A由题意得,点π4,3和则3=a−12所以y=当0<x<π4时,2xπ=0,令y=则2x=π6,解得x=π当π2<x<3π4时,2xπ=1,令y则2x=7π6,解得x=7π12,即F7π12,1,所以点故选:A.9.ACD对于A选项,在频率分布直方图中,所有直方图的面积之和为1,则2a+3a+7a+6a+2a对于B选项,前两个矩形的面积之和为2a+前三个矩形的面积之和为2a+设该年级学生成绩的中位数为m,则m∈根据中位数的定义可得0.25+m−70×所以，估计该年级学生成绩的中位数约为77.14，故B错误；对于C选项，估计成绩在80分以上的同学的成绩的平均数为6a6a+2a×85+对于D选项，估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为3412+87.5故选:ACD.10.ABD由题意得μ=3,σ=1,P2≤表明数据越集中,模型的拟合效果越好,故选项B正确;∵−0.8728<0<0.8278,且−0.8728>0.8278,∴a与b负相关,m与n正相关,且a对于D,80%×10=8,所以一组数1,2,2,2,3,3,3,4,5,6的第80百分位数为第8个数字和第9个数字的平均值,即故选:ABD.11.BCD对于A,以D为原点,分别以DA,DC,DD1已知AB=22,AD可得A1设A1E=λA因为平面α过点A与直线A1C垂直并交于点E,所以又AE=−2λ,22λ,2−2λ,则A1C⋅AE=−2×−2λ+22×22λ+−2×2−2λ=0,化简得:4λ+8λ−4又因Q∈BC1,则点Q到平面α的距离为定值,而点A,ES△AEF为定值，故三棱锥Q−AEF的体积是定值，故对于C,由A1C⊥α,AF⊂α,则A1C⊥AF在正方形ADD1A1中,AD1⊥A1D,故A下面证明A1A的中点O1即经过A1,如图,因F是A1D的中点,则O1F=又O12,0,1,则故A1A的中点O1即经过由图知,该球与长方体公共部分的体积为球体积的14,即V=14×4对于D,因△PMD的周长为PD+PM+MD,因P为A于是PD=12+22由上分析知点P与点A1关于平面α对称,M为平面α内的动点,则PMPM因点A1与点D在平面α的两侧,故当且仅当A1,M,D三点共线时,此时,△PMD的周长取得最小值22+2故选:BCD12.624当2名男生收到的电影海报分别为战争历史片和国产动画片,则有C21又电影《戏台》的宣传海报赠予女生甲，故剩余的4个人与4张宣传海报进行全排列，有A44=24种情况,故此时共有当2名男生收到的电影海报分别为战争历史片和国产古装片,则有C21C11 A22当2名男生收到的电影海报分别为战争历史片和类型片,则有C21同理可得此时共有4 A4当2名男生收到的电影海报分别为国产动画片和国产古装片，则有C21同理可得此时共有4 A4当2名男生收到的电影海报分别为国产动画片和类型片,则有C21同理可得此时共有4 A4当2名男生收到的电影海报分别为国产古装片和类型片,则有C11C11 A22综上,共有192+96故答案为:62413.0由1+x24=则有1+即a0故答案为:014.m不等式1e令t=2x+lnx,而函数y=2x则t=2x+lnx在0,+∞令函数ft=1et+t,t∈R,求导得f′t=−1et+函数ft在−∞,0上单调递减,在0,+∞上单调递增,依题意,不等式2m≥ft有解,因此2m≥1所以m的取值范围是m≥故答案为:m15.(1)A(2)3(1)在锐角△ABC中,由正弦定理得a∴a又3a∴∵c所以3sin则2sin在锐角△ABC中,∵∴A−π6=∵ab(2)由(1)得A由正弦定理:asinAc因为△ABC为锐角三角形，所以0<B<π2所以tanB∈33,+∞所以S△故△ABC面积的取值范围为316.(1)由题知AB=由余弦定理得AC∴AC又AC⊥FB,BC,∴AC⊥平面(2)如图，过C作AB的垂线，垂足为G，则BG=BCcos60∘=12，∵由(1)知，AC⊥平面FBC∴AC⊥CF，又CF⊥DC，DC,AC⊂平面∴CF⊥平面ABCD，∴CF⊥BC以C为坐标原点,分别以CA,CB,CF为则C0∴CB设平面EAC的法向量为m=由CA⋅m=0CE令z1=1,得∴cosCB故BC与平面EAC夹角的正弦值为25(3)存在.假设存在Q,设DQ=则Q3设平面QBC的法向量为n=由CB⋅n=0CQ令z2=3,得∴cos⟨m由题知1554t2+综上,存在点Q符合,且DQ=17.1(2)(i)证明见解析;(ii)2.(1)设椭圆C的方程为x2显然c=将点M2,1代入椭圆方程x2b2+6+y2b2=1,即4b2+6(2)(i)法一:设直线AB的方程为y=kx+t(由对称性知联立x28+y22=1由Δ>0知8k2−t因为kMA+kMB=0,所以化简得2k−12k−1+t=0,因为直线AB故k=法二:设直线MA的方程为y−联立x28+y22=1得4k由Δ>0知4k2+4k+1>0又xM=2,所以因为直线MA,MB与x轴围成一个以M为顶点的等腰三角形,所以kMA+k由此可知xA则直线AB的斜率k=故直线AB的斜率为定值12法三:因为直线MA,MB与x轴围成一个以M为顶点的等腰三角形,所以kMA+kMB=0,因为所以可设直线AB为mx−2联立mx−2+n得4m+等式两边同时除以x−22