正方形课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

21.3.3正方形

21.3.3正方形课时1正方形的性质1.理解正方形的概念，探索并证明正方形的性质，了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别.2.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题.平行四边形有一个角是直角矩形平行四边形一组邻边相等菱形

除了矩形、菱形之外，正方形也是特殊的平行四边形，那么它们之间有什么关系吗？回顾

矩形、菱形和平行四边形有什么关系？问题(1)矩形怎样变化后就成了正方形呢？你有什么发现？如图，当矩形的一组邻边相等时，就成了正方形.(2)菱形怎样变化后就成了正方形呢？你有什么发现？如图，当菱形的一个角是直角时，就成了正方形.尝试写出正方形的定义，并举例生活中的正方形.正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.矩形+有一组邻边相等⟹

正方形

菱形+有一个角是直角⟹

正方形正方形是日常生活中常见的图形，你有注意到吗？探究

正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形，因此它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.从正方形的边、角、对角线出发，写出正方形的性质，并证明其中的一些结论.正方形性质边角对角线对边平行，四条边都相等四个角都是直角对角线相等且互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角.已知：如图，四边形ABCD是正方形.求证：正方形ABCD四边相等，四个角都是直角.ABCD证明：∵四边形ABCD是正方形. ∴∠A=90°，AB=BC（正方形的定义）.

又∵正方形是平行四边形. ∴正方形是矩形（矩形的定义），正方形是菱形(菱形的定义).

∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD.猜想1：正方形的四个角都是直角,四条边相等.已知：如图，四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO，AC⊥BD.ABCDO证明：∵正方形ABCD是矩形，

∴AO=BO=CO=DO.

∵正方形ABCD是菱形.

∴AC⊥BD.猜想2：正方形的对角线相等且互相垂直平分.思考：正方形是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？菱形矩形轴对称图形正方形对称轴是两条对角线所在的直线对称轴是过对边中点的两条直线4条例5求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.已知：如图，四边形ABCD是正方形，

对角线AC，BD相交于点O.求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形.

如图，在正方形ABCD中，ΔBEC是等边三角形.求证：∠EAD＝∠EDA＝15°

.证明：∵ΔBEC是等边三角形，∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，∴AB=BE=CE=CD,∠ABE=∠DCE=30°，∴△ABE，△DCE是等腰三角形，∴∠BAE=∠BEA=∠CDE=∠CED=75°，∴∠EAD=∠EDA=90°－75°=15°.思考

正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？与同学讨论一下，并列表或画框图表示这些关系.平行四边形从一般到特殊矩形一个角是直角菱形一组邻边相等一个角是直角一组邻边相等正方形正方形及其性质定义对于一个平行四边形，如果它不仅

，而且

，那么它就是正方形．与矩形的关系

的矩形是正方形.与菱形的关系

的矩形是正方形.性质边正方形的

；角正方形的

；对角线正方形的

.有一组邻边相等有一个角是直角有一组邻边相等有一个角是直角对边平行，四条边都相等四个角都是直角对角线相等且互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角1.下列命题中，假命题是（

）A．矩形的对角线相等

B．菱形的对角线互相垂直C．正方形的对角线相等且互相垂直

D．平行四边形的对角线相等D2.如图，正方形ABCD的面积为4，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH的面积为

．2

3.如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板(阴影部分)，点E在对角线BD上．(2)若裁剪过程中满足DE=DA，求“机翼角”∠BAE的度数．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，∠ADB=45°，∵DE=DA，∴∠DAE=∠DEA，∵∠DAE+∠DEA+∠ADE=180°，∴∠DAE=∠DEA=67.5°，∴∠BAE=∠BAD−∠DAE=22.5°．21.3.3正方形课时2正方形的判定1.探索并证明正方形的判定.2.会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算.回顾正方形的概念和性质：定义：有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形.正方形性质边：对边平行，四边相等角：四个角都是直角对角线：对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角判定除了正方形的定义，还有其他的判定方法吗?问题1：矩形的边有什么样的性质？正方形的边有什么样的性质？正方形矩形对边相等且平行四边相等且对边平行矩形添加邻边相等能否得到正方形？上节课，我们已经学过有一组邻边相等的矩形是正方形.如何证明呢？1.有一组邻边相等的矩形是正方形．已知：如图，在矩形ABCD中，AB=AD.求证：矩形ABCD是正方形．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°．又∵AB=AD，∴矩形ABCD是正方形．ABCD有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形.问题2：矩形的对角线具有什么性质？正方形的对角线具有什么样的性质？

对角线相等且互相平分对角线相等且互相垂直平分矩形添加对角线互相垂直能否得到正方形？已知：在矩形ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，且AC⊥DB.求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OD．∵AC⊥BD，∴AC是线段BD的垂直平分线．∴AB=AD．∴矩形ABCD是正方形．2.对角线互相垂直的矩形是正方形.有一组邻边相等的矩形是正方形ADCBO正方形的判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形.符号语言：在矩形ABCD中，∵

AB=AD，∴四边形ABCD是正方形.符号语言：在矩形ABCD中，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形.正方形的判定定理2：对角线互相垂直的矩形是正方形.ADCBO问题3：菱形的角具有什么性质？正方形的角具有什么性质？正方形对角相等四个角相等，都为90°菱形添加有一个角为直角能否得到正方形？上节课，我们已经学过有一个角是直角的菱形是正方形.如何证明呢？菱形已知：如图，在菱形ABCD中，∠A=90°．求证：菱形ABCD是正方形．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD．又∵∠A=90°，∴菱形ABCD是正方形．ABCD3.有一个角是直角的菱形是正方形．问题4：菱形的对角线有什么性质？正方形的对角线有什么样的性质？对角线垂直且互相平分对角线相等且互相垂直平分菱形添加对角线相等能否得到正方形？已知：在菱形

ABCD中，对角线

AC=DB.求证：四边形

ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD．∵AC=BD，∴OA=OB=OC=OD．∴△AOB，△BOC是等腰直角三角形．∴∠ABO=∠CBO=45°，∴∠ABC=90°．∴菱形ABCD是正方形．4.对角线相等的菱形是正方形.有一个角是直角的菱形是正方形ADCBO正方形的判定定理3：有一个角是直角的菱形是正方形.符号语言：在菱形ABCD中，∵∠A=90°，∴四边形ABCD是正方形.符号语言：在菱形ABCD中，∵AC=BD，∴四边形ABCD是正方形.正方形的判定定理4：对角线相等的菱形是正方形.ADCBOABCD探究

分别从矩形、菱形、平行四边形、四边形出发，写出正方形的判定方法，并与同学交流你的结论.矩形菱形平行四边形正方形四边形①②③④⑤⑥⑦⑥⑦⑧⑨⑧⑨⑩⑪矩形菱形平行四边形正方形四边形①②③④⑤⑥⑦⑥⑦⑧⑨⑧⑨⑩⑪①两组对边分别平行②两组对边分别相等③两组对角分别相等④对角线互相平分⑤一组对边平行且相等⑩三个角为直角⑪四条边相等⑥一个角为直角⑦对角线相等⑧一组邻边相等⑨对角线互相垂直例6如图，E，F，G，H

分别是正方形ABCD

四条边上的点，且AE=BF=CG=DH.求证：四边形EFGH

是正方形.分析：要证明四边形EFGH

是正方形，需证明它既是菱形，也是矩形，也就是要先证明它的四条边相等，再证明它的一个角是直角，而这可以由△AEH，△BFE，△CGF，△DHG

全等得出.

正方形判定的几条途径：先判定菱形先判定矩形平行四边形正方形①一组邻边相等且有一个直角②对角线相等且垂直正方形①有一个直角；②对角线相等矩形条件(二选一)正方形①一组邻边相等；②对角线垂直菱形条件(二选一)1.下列命题，其中是真命题的是（

）A.对角线互相垂直的四边形是平行四边形B.有一个角是直角的四边形是矩形C.对角线互相平分的四边形是菱形D.对角线互相垂直的矩形是正方形D2.若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD的两条对角线AC，BD一定是()A.互相平分 B.互相垂直

C.互相平分且相等 D.互相垂直且相等D3.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．小乐同学欲添加两个条件使得四边形ABCD是正方形，现有三个条件可供选择：①AC⊥BD；②AC=BD