四川省成都市2023级高三第二次模拟测试 数学及答案

工作秘密严禁外传

擅自泄露严肃追责

2023级高三第二次模拟测试

数学

本试卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡

皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5.考试结束后，只将答题卡交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的。

1.设集合A={x|x<a},B={x|1<x<2},若BCA,则a的取值范围是

A.a≤1B.a≤2C.a≥1D.a≥2

2.复数的共轭复数是

A.2+iB.-2+iC.2-iD.-2—i

3.已知函数f(x)=sin2x,则f(x)

A.在上单调递增B.在上单调递增

C.在上单调递减D.上单调递减

4.已知平面向量a=(一1,√3),.若(ka+b)⊥(a—2b),则k=

ABC.-2D.2

5.已知函数y=f(x)(x>0)的图象如图所示，则其解析式可

能为

A.y=2x-2

B.y=2—x-¹

C.y=log₂(2x)

D.y=3—2²-x

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6.已知5张奖券中只有2张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张，设甲、

乙、丙中奖的概率分别为P₁,P₂,P₃,则

A.P₁最大B.P₂最大C.P₃最大D.P₁=P₂=P₃

7.已知,设甲,乙：cosa+cosβ<1,则

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

8.已知抛物线y²=2px(p>0)的准线与对称轴的交点为C(-2,0),直线2x-y-8=0与抛

物线交于A,B两点，则△ABC的外接圆在x轴上截得的弦长为

AB.12CD

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知a₄=7,S₃=9,则

A.a₂=3B.a₂=2an-1

C.{√S,}为等差数列D.{S₂”}为等比数列

10.如图，平行六面体ABCD一A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是边长为1的菱形，且∠C₁CB=

⊥平面C₁BD,则

A.平面C₁BD//平面AB₁D₁

B.BD⊥CC₁

C.AC₁=√3

D.平行六面体ABCD一A₁B₁C₁D₁的体积

11.已知f(x),g(x)是定义在R上的函数，若则

A.当函数f(x),g(x)均为奇函数时，h(x)为奇函数

B.当函数f(x),g(x)均为增函数时，h(x)为增函数

C.当函数f(x),g(x)均有最小值时，h(x)有最小值

D.当函数f(x),g(x)均有最大值时，h(x)有最大值

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.在(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)的展开式中，x³项的系数为

13.已知双曲线左、右焦点分别为F₁,F₂,P是双曲线上一点，且

△PF₁F₂为等腰直角三角形，则C的离心率为

14.在直角三角形ABC中，AC=2,BC=1,D为斜边AB上一点，若△ACD与△BCD的内切

圆面积相等，则BD=

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(本小题满分13分)

国民体质是国家和社会发展的重要基础.为贯彻落实《“健康中国2030”规划纲要》《体育

强国建设纲要》,2025年国家体育总局开展了第六次全国国民体质监测工作，旨在提高国民体

质和健康水平，促进国家经济建设和社会发展.《国民体质制定标准(2023年修订)》将体质情

况综合评级为优秀、良好、合格和不合格四个等级.某地区为了解国民体质情况是否与爱好运

动有关，从该地区体质达到“合格”及以上的人群中随机抽取了200人进行问卷调查，得到如下

列联表：

体质情况

合格良好及以上合计

组别

爱好运动80b150

不爱好运动C10

合计200

(1)求b,c的值，并依据小概率值α=0.01的独立性检验，分析体质情况是否与爱好运动

有关；

(2)在体质情况综合评级为“合格”的对象中，按是否爱好运动进行分层，用比例分配的分

层随机抽样方法，从样本中抽取6人作进一步调查，再从这6人中随机抽取2人线下访谈，记

这2人中“爱好运动”的人数为X,求X的分布列及数学期望.

,其中n=a+b+c+d.

a0.10.010.001

T。2.7066.63510.828

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16.(本小题满分15分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD为正三角形，侧面

PAD⊥底面ABCD,M是PD的中点.

(1)求证：AM⊥PC;

(2)求平面MAC与平面ABCD的夹角的余弦值.

17.(本小题满分15分)C

已知函数f(x)=eˣ—1n(x+a)+b在(0,f(0))处的切线方程为x-2y+2—21n2=0.

(1)求a,b;

(2)设x₁,x2是方程的两根，求证：

(注：e=2.71828…是自然对数的底数)

18.(本小题满分17分)

设椭圆C的右焦点为F,上顶点为A.已知△AOF(O为坐标原

点)的面积为

(1)求C的离心率；

(2)设B为椭圆C上一动点，已知|AB|的最大值为2.

(i)求C的方程；

(ii)若B在第一象限内，连接BF,过A作BF的平行线交C于另一点D,记△ABD

与△ABF的面积分别为S₁,S₂,求的最大值.

19.(本小题满分17分)

在数列{an}中，a₁=1,an+1=√an+2,设{an}的前n项和为Sn.记[x]表示不超过x的

最大整数.

(1)求[S₁],[S₂],[S₃];

(2)是否存在常数A,w(A>0,0<w<2π),使得若存在，求A和w的值；

若不存在，请说明理由；

(3)求[2S₁+1]+[2S₂+1]+…+[2S,+1].

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数学试题参考答案及评分意见

一、选择题：(每小题5分，共40分)

1.D;2.B;3.B;4.A;5.C;6.D;7.B;8.C.

二、选择题：(每小题6分，共18分)

9.ACD;10.ABD;11.BC.

三、填空题：(每小题5分，共15分)

12.10;13.√2+1;14.

四、解答题：(共77分)

15.解：(1)由题意b=70,c=40.……2分

零假设为H。:国民体质情况与爱好运动无关，

计算得

……5分

根据小概率a=0.01的独立性检验，推断H。不成立，

即认为国民体质情况与爱好运动有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.……6分

(2)易知6名体质情况“合格”对象中有4人爱好运动，2人不爱好运动，故X的所有可

能取值为0,1,2,……7分

……10分

即所求分布列为

X012

P

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所以X的期望……13分

16.解：(1)因为底面ABCD为正方形，所以CD⊥AD.

又侧面PAD⊥底面ABCD,CDC平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,

所以CD⊥平面PAD.

又AMC平面PAD,

故CDLAM.……2分

因为侧面PAD为正三角形，M是PD的中点，所以AM⊥PD.……3分

又PD,CDC平面PCD,PD∩CD=D,

所以AM⊥平面PCD.……5分

又PCC平面PCD,

所以AM⊥PC.……6分

(2)不妨设AD=1,以D为坐标原点，DA,DC所在直线分别为z,y轴，过D点垂直

于平面ABCD的直线Dz为z轴，建立如图

所示的空间直角坐标系.

则由题设可得A(1,0,0),C(0,1,0),

……8分

因为Dz⊥底面ABCD,得平面ABCD的一个法向量m=(0,0,1);……9分

设n=(x,y,z)是平面ACM的法向量，则

即可得平面ACM的一个法向量n=(√3,√3,3).……12分

则……14分

所以平面MAC与平面ABCD的夹角的余弦值为……15分

17.解：(1)由题意可得……1分

因为f(x)在(0,f(0))处的切线方程为x-2y+2—2In2=0,

数学多考答案第2页(共5页)

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所以……3分

即

解方程得……5分

(2)令

,则方程.的两根z₁,z₂是函数g(x)的两个零点，不

妨设x₁<z₂.

在(一2,+∞)单调递增，又g'(一1)=e⁻¹-1<0,

故存在唯一的z。∈(一1,0)使得g'(z。)=0.……8分

所以当z∈(一2,z。),g'(x)<0,g(x)单调道减；当z∈(z,十∞),g'(z₀)>0,g(x)

单调递增.……9分

由g(一1)=0,得z₁=—1,从而g(z₀)<0,……10分

……14分

所以……15分

18.解：(1)由题意，△AOF的面积,则b=c.……1分

又因为a²=b²+c²,故C的离心率

……3分

(2)(i)由(1)设C的方程为：……4分

设点B(xo,yo),!.又A(0,b),

故|AB|=√z+(y。一b)²=√2b²-2y?+y?-2by。+b²

。。

=√-yỏ-2by+3b²=√-(y+b)²+4b²,……6分

因为y。∈[一b,b],

所以y。=—b时，A|B|取最大值2b.即2b=2,解得b=1.……8分

故C的方程……9分

(ii)设B(xo,yo),

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当zo=1时，,D(0,一1),……10分

当zo≠1时，,故直线AD方程为

联立

解得……11分

因为AD//BF,△ABD与△ABF共底边AB,

又因为,所以ro²+2yo²=2.

……13分

令L=3—2z。,因为z₀∈(0,1)U(1,√2),所以L∈(3-2√2,1)U(1,3).

……15分

所以当时取得最大值4.

此时,解得,因为B在第一象限，故,即

综上，的最大值为4.……17分

19.解：(1)因为a₁=1,所以S₁=1,故[S₁]=1.……1分

又an+1=√a,+2,故a₂=√3,S₂=1+√3∈(2,3),所以[S₂]=2.……2分

同理

,所以,故[S₃]=4.……4分

(2)由……5分

得

败学参考答案第4页(共5页)

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因为,所以,解得A=2(舍负).……6分

故.又,所以.