浙江省杭州市拱墅区启正中学2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷(含答案)

杭州市拱墅区启正中学2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）1．已知＝，则的值是（）A． B． C．2 D．2．函数是y＝x2向右平移2个单位后的解析式是（）A．y＝﹣x2+2 B．y＝x2+2 C．y＝（x﹣2）2 D．y＝（x+2）23．把y＝x2﹣4x+5化为顶点式，得（）A．y＝（x﹣2）2+5 B．y＝（x﹣2）2+1 C．y＝（x+2）2+1 D．y＝（x+2）2+54．如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点H．若AB＝10，CD＝8，则BH的长为（）A．5 B．4 C．3 D．25．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在网格线的交点上，点D，E分别是边BA，CA与网格线的交点，连接DE，则DE的长为（）A． B．1 C． D．6．已知某二次函数，当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是（）A．y＝（x+1）2 B．y＝2（x﹣1）2 C．y＝﹣2（x+1）2 D．y＝﹣2（x﹣1）27．如图，AB为⊙O的直径，点C是弧BE的中点．过点C作CD⊥AB于点G，交⊙O于点D，若BE＝8，BG＝3，则⊙O的半径长是（）A．4 B．5.5 C． D．8．如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第24秒时，点E在量角器上对应的读数是（）A．48度 B．64度 C．96度 D．132度9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点D；②分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径作弧，两弧在BC下方交于点E；③连接AE交BC于点F．若BF＝2，CF＝6，则下列结论错误的是（）A．AF⊥BC B．AB＝3 C．∠B＝∠CAF D．AF2＝BF•CF10．如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝5，点D在边AB上，点E在线段CD上，EF∥AB交BC于点F，EG∥BC交AC于点G，若EF＝EG，则BD的长为（）A．2 B． C． D．无法确定二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）11．抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴是直线．12．如图，已知正方形ABCD的边长为6，E为CD边上一点，将△ADE绕点A旋转至△ABE′，连接EE′，若DE＝2，则EE′的长等于．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，如果AD＝BC＝1，那么BD的长是．14．如图，AB是⊙O的直径，OD∥AC，∠COD＝50°，则∠D的度数为．15．抛物线y＝a（x﹣1）2+k的部分图象如图所示，则a+k＝．16．定义：有两个内角的差为90°的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P为边BC上一点，若△APC为“反直角三角形”，则BP的长为．三、解答题（本题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0）与B（﹣1，6）．（1）求b，c的值．（2）求该二次函数图象的顶点坐标．（3）若0＜x＜3，求函数值y的取值范围．18．如图，已知DE∥BC，FE∥CD．（1）若AF＝3，AD＝5，AE＝4．求CE的长；（2）求证：．19．如图，⊙O的弦AB，CD相交于点E，且AB＝CD．求证：（1）＝；（2）EB＝ED．20．如图，已知四边形ABCD对角线AC，AC交于点E，点F是BD上一点，连结AF，且∠BAC＝∠FAD＝∠CDB．（1）求证：△ABF∽△ACD．（2）若BC＝12，AD＝27，DF＝18，求AC的长．21．某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系．（1）求出抛物线的解析式；（2）若队员与篮圈中心的水平距离为7m，篮圈距地面3m，问此球能否准确投中？22．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，P在AB边上，PD⊥AC于D，点E在P的右侧．（1）若设PD为x，则△APD的面积是多少．（2）若P是AB边上的动点，P从点A出发，沿AB方向运动，始终有PE＝1，当E到达点B时，P停止运动，求整个运动过程中，阴影部分面积S1+S2的最小值．23．已知二次函数y＝ax2+（a﹣2）x﹣2（a为常数，且a≠0）．（1）若该函数图象经过点（﹣2，0），求a的值．（2）若当x＞﹣1时，y随x增大而减小，求a的取值范围．（3）若a＞0，则关于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝0有一个根大于0小于1，求a取值范围．24．【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，BC＝CD，求证：BC2＝BD•AB．【尝试应用】（2）如图2，在△AEC中，∠E＝90°，D为AE边上一点，若∠A＝2∠ECD，ED•AC＝5，求CD的长．【拓展提高】（3）如图3，在四边形ABCD中，CD∥AB，AD⊥AB，AD＝DC＝2，，点F是边DA延长线上一点，连接CF交边AB于点M，过点C作∠FCE＝∠B交射线BA于点E，设AM＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式．杭州市拱墅区启正中学2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷参考答案一．选择题（共10小题）题号12345678910答案DCBDBBCCBC二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）11．x＝1．12．4．13．．14．25°．15．3．16．或．三、解答题（本题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．解：（1）把点A（3，0）和B（﹣1，6）代入y＝﹣x2+bx+c，，解得，∴b＝，c＝；（2）由（1）得解析式为：y＝﹣x2+x，顶点横坐标x＝﹣＝，代入求纵坐标y＝，所以顶点：（，）；（3）已知y＝﹣x2+x，∴开口向下，顶点（，）是最大值点，对称轴为直线x＝，∴0＜x＜时，函数单调递增，当x＝0时，y有最小值，y＝，时，函数单调递减，当x＝时，y有最大值，y＝，当x＝3时，有最小值，y＝0，又∵，∴当0＜x＜3时，0．18．（1）解：由题意可知：DF＝AD﹣AF＝5﹣3＝2，∵FE∥CD，∴，即，∴；（2）证明：由题意可知：，∵FE∥CD，∴，∴．19．证明：（1）∵AB＝CD，∴＝，∴﹣＝﹣，即＝；（2）∵＝，∴∠B＝∠D，∴EB＝ED．20．（1）证明：已知四边形ABCD对角线AC，AC交于点E，∠BAC＝∠FAD＝∠CDB，∴∠BAC+∠CAF＝∠FAD+∠CAF，∴∠BAF＝∠CAD，∵∠DAF+∠ADB＝∠AFB，∠ADC＝∠ADF+∠CDB，且∠FAD＝∠CDB，∴∠AFB＝∠ADC，∴△ABF∽△ACD；（2）解：∵△ABF∽△ACD，∴，∴，∵∠BAC＝∠FAD，∴△BAC∽△FAD，∴，∵BC＝12，AD＝27，DF＝18，∴，∴AC＝18．21．解：（1）根据题意结合图形可得，球出手时的坐标为（0，），抛物线的顶点坐标为（4，4），设抛物线解析式为：y＝a（x﹣4）2+4，将点（0，）代入y＝a（x﹣4）2+4可得：＝16a+4，∴a＝﹣，则抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣4）2+4；（2）令x＝7，则y＝﹣×9+4＝3，即点（7，3）在抛物线上，所以此球能准确投中．22．解：（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝5，设AB边上的高为h，∴h＝＝，∵PD⊥AC，∴PD∥BC，∴△ADP∽△ACB，∴＝，∴AD＝x，PA＝x，∴△APD的面积＝PD•AD＝x•x＝x2；（2）由（1）可知：BE＝AB﹣AP﹣PE＝5﹣x﹣1＝4﹣x，∴S1+S2＝x2+（4﹣x）×＝x2﹣2x+＝（x﹣）2+，∴当x＝时，S1+S2的最小值为．23．解：（1）将点（﹣2，0）代入二次函数y＝ax2+（a﹣2）x﹣2（a为常数，且a≠0）得：4a﹣2（a﹣2）﹣2＝0，解得a＝﹣1；（2）∵二次函数y＝ax2+（a﹣2）x﹣2（a为常数，且a≠0）的对称轴为直线x＝﹣，当a＞0时，二次函数图象开口向上，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，不合题意，当a＜0时，二次函数图象开口向下，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，∵当x＞﹣1时，y随x增大而减小，∴﹣≤﹣1，解得a≥﹣2，∴a的取值范围是﹣2≤a＜0；（3）令y＝0，则ax2+（a﹣2）x﹣2＝0，即（ax﹣2）（x+1）＝0，解得：x1＝，x2＝﹣1，∵该方程有一根大于0小于1，∴0，∵a＞0，∴a＞2．24．（1）证明：如图1中，∵AB＝AC，BC＝CD，∴∠ACB＝∠B＝∠CDB，∵∠B＝∠B，∴△BCD∽△BAC，∴＝，∴BC2＝BD•AB；（2）解：如图2中，在AE的延长线上取一点F，使得CF＝CD，连接CF．∵CD＝CF，CE⊥DF，∴DE＝EF，∠DCE＝∠FCE，∠CDF＝∠F∵∠A＝2∠DCE，∴∠A＝∠DCF，∵∠CDF＝∠A+∠ACD，∠ACF＝∠ACD+∠DCF，∴∠CDF＝∠ACF＝∠F，∴AC＝AF，∵∠F＝∠F，∴△FCD∽△FAC，∴＝，∴CF2＝AF•DF，∴CD2＝2DE•A