浙江省杭州市西湖区西溪、吉鸿中学联考2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

2025-2026学年浙江省杭州市西湖区西溪、吉鸿中学联考九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.抛物线y=2(x−1)2+3的顶点坐标是A.(1,3) B.(1,−3) C.(−1,3) D.(−1,−3)2.下列事件中属于必然事件的是(

)A.随机购买一张电影票，座位号恰好是偶数

B.在装有2个黄球和3个白球的盒子中摸出一个球是红球

C.抛一枚质地均匀的硬币，反面朝上

D.七年级370名学生中至少有2名学生生日是同一天3.如图，∠ACB=30∘，则∠AOB的度数是(

)A.15∘

B.20∘

C.45∘4.如图，已知直线l1//l2//l3，分别交直线m，n于点A，B，C和点D，E，F，若ABBCA.6

B.9

C.12

D.155.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E.若OD=10，CD=16，则BE的长为(

)A.4

B.6

C.8

D.126.如图，已知线段AB=1，点P是它的黄金分割点，AP>BP，则BP的长度为(

)A.5−12 B.5+127.二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则方程a(x−2)2A.x1=−3，x2=0

B.x1=2，x2=3

C.8.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90∘，BC=4，分别以点B，点C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB，BC，AC于点D，E，F，则图中阴影部分的面积为(

)A.8−π B.8−2π C.4−2π D.4−π9.已知二次函数y=x2−2x的图象过A(0,y1)A.若a>2，则y1>y2 B.若0<a<1，则y1<y2

C.若1<a<210.如图，已知△ABC，O为AC上一点，以OB为半径的圆经过点A，且与BC、OC交于点N、M，设∠C=α，∠A=β，则(

)A.若α−β=75∘，则MN所对应的圆心角为15∘

B.若α−β=75∘，则MN所对应的圆心角为30∘

C.若α+β=75∘，则MN所对应的圆心角为15∘

D.若α+β=75∘，则11.已知2x=3y，则xy=______.12.某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的折线统计图，由此可估计这种树成活率为

(精确到0.1).13.已知二次函数y=x2+bx+c(a≠0)的图象经过点A(−1,−1)、B(5,−1)，那么该二次函数图象的对称轴为直线

.14.如图，点O是正五边形ABCDE的中心，连接OC、OE、CE，则∠OCE的度数为

∘15.如图，将△ABC绕B点顺时针方向旋转一个角α到△DBE，点A的对应点D恰好落在AC上，且BE//AC.若∠DBC=30∘，则α的度数

.16.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)经过点(−1,−1)和(0,1)，当x=−2时，与其对应的函数值y>1.有下列结论：①abc<0；②关于x的方程ax2+bx+c+1=0有两个不等的实数根；③a>2；④若方程ax2+bx+c=0的两根为x三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题6分)

已知线段a=3，b=6，c=12.

(1)求线段a与线段b的比.

(2)如果线段a、b、c、d成比例，求线段d的长.

(3)b是a和c的比例中项吗？为什么？18.(本小题6分)

如图，已知△ABC.

(1)用直尺和圆规作出△ABC的外接圆O；

(2)若AB=AC=6，BC=120∘，求AB的长度19.(本小题6分)

二次函数图象如图所示，抛物线顶点为A(1,4)，与y轴、x轴分别交于点B和点C(3,0).

(1)求抛物线的函数表达式.

(2)根据图象直接写出当y>0时，x的取值范围.20.(本小题8分)

如图是两个可以自由转动的转盘，甲转盘被等分成4份，分别标有0，−1，−2，−3四个数字，乙转盘被等分成3份，分别标有1，2，3三个数字.自由转动两个转盘，转盘停止后，计算两个转盘指针所指区域内的数字之和.如果指针恰好指在分界线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止.

(1)请你用画树状图或列表的方法，求出这两数之和为0的概率.

(2)小明和小亮想用以上两个转盘做游戏，若两数之和为+1，则小明赢；若两数之和为−1，则小亮赢.你认为游戏公平吗？请说明理由.21.(本小题10分)

如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AD=BC，连结AD，BC.

求证：

(1)AB=CD.

(2)AE=CE.22.(本小题12分)

在一次高尔夫球的练习中，小成在O处击球，其飞行路线满足抛物线y=−15x2+85x，其中y(m)是球的飞行高度，x(m)是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m.

(1)请写出抛物线的顶点坐标.

(2)请求出球洞离击球点的距离.23.(本小题12分)

已知二次函数的解析式为y=−x2+2mx−m2+4.

(1)求证：该二次函数图象与x轴一定有2个交点；

(2)若m=2，点M(n,y1)，N(n+2,y2)都在该二次函数的图象上，且y1y24.(本小题12分)

如图1，点A，B，C都在⊙O上，且AD平分∠BAC，交⊙O于点D.

(1)求证：△BCD是等腰三角形.

(2)如图2，BC是⊙O的直径，AD与BC相交于点P.

①若CP=14，DP=10，求⊙O的半径.

②若DH⊥AC于点H，求证：DH=AB+CH.

参考答案一、选择题1.A

2.D

3.D

4.B

5.A

6.C

7.B

8.D

9.C

10.D

二、填空题11.3212.0.8

13.x=2

14.18

15.40∘16.②③④

三、解答题17.解：(1)由题知，

因为a=3，b=6，

则3：6=1：2，

所以线段a与线段b的比为1：2；

(2)因为线段a、b、c、d成比例，

所以a：b=c：d，

则ad=bc，

所以d=6×123=24，

则线段d的长为24；

(3)是的，理由如下：

因为62=3×12，

即b2=ac，

所以18.解：(1)如图，分别作线段AB，BC的垂直平分线，相交于点O，以点O为圆心，OA的长为半径画圆，

则圆O即为所求．

(2)连接OB，OC，OA，设OA交BC于点D，

∵BC=120∘，

∴∠BOC=120∘.

∵AB=AC，OB=OC，

∴OA垂直平分BC，

∴∠BOA=12∠BOC=60∘，

∴△AOB为等边三角形，

∴OA=OB=AB=6，

∴AB的长度为60π×6180=2π.

19.解：(1)设抛物线的解析式为y=a(x−1)2+4，

把C(3,0)代入得a(3−1)2+4=0，

解得a=−1，

∴抛物线解析式为y=−(x−1)2+4；

(2)解方程−(x−1)2+4=0，

解得x

0−1

−2−3

1

1

0−1−2

2

2

1

0−1

3

3

2

1

0总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，而两数之和为0的结果有3种：

(−1,1)(−2,2)(−3,3)，

∴P(两数之和为0)=312=14.

(2)由(1)中树状图或表格可知：

P(两数之和为1)=312=14，即P(小明赢)=14，

P(两数之和为−1)=212=121.证明：(1)∵AD=BC，

∴AD=BC，

∴AD+AC=BC+AC，

∴DC=AB，

∴AB=CD；

(2)证明：在△ADE和△CBE中，

∠AED=∠CEB∠D=∠BAD=BC，

∴△ADE≌△CBE(AAS)，

∴AE=CE.

22.解：(1)y=−15x2+85x=−15(x−4)2+165

∴抛物线y=−15x2+85x的顶点为(4,165)；

(2)令y=0，得：

−15x2+8523.(1)证明：抛物线y=−x2+2mx−m2+4中，令y=0，则抛物线转化成二次方程−x2+2mx−m2+4=0，

∵a=−1，b=2m，c=4−m2，

Δ=b2−4ac=4m2−4×(−1)×(4−m2)=4m2+16−4m2=16>0，

∴该二次函数图象与x轴一定有2个交点；

(2)∵m=2，

∴y=−x2+4x，

令y=0，则−x2+4x=0，即x1=0，x2=4，

∴抛物线图象与x轴的交点为(0,0)和(4,0)，

∵点M(n,y1)，N(n+2,y2)都在该二次函数的图象上，且y1y2<0，

∴①n<0n+2>0，即−2<n<0，②n<4n+2>4，即2<n<4，

综上所述，−2<n<0或2<n<4，

(3)∵y=−x2+2mx−m2+4=−(x−m)2+4，

∴抛物线的对称轴为直线x=m，

①若m<m−3+52，即m<2，

24.(1)证明：∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD，

∵∠DBC=∠DAC，∠BCD=∠BAD，

∴∠DBC=∠BCD，

∴BD=CD，

∴△BCD是等腰三角形．

(2)①解：连接OD，如图，

设⊙O的半径为r，则OD=OC=r，

∴OP=14−r，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD，

∴BD=CD，

∴BD=CD，

∵BC是⊙O的直径，

∴∠BDC=90∘，

∴△BDC为等腰直角三角形，

∴∠DBC=∠DCB=45∘

∴∠DOB=2∠DCB=90∘，

∴OP2