2025-2026学年高中数学思政课教学设计

2025-2026学年高中数学思政课教学设计学科XX年级册别七年级下册XX教材XX授课类型新授课1课程基本信息1.课程名称：函数的单调性与导数（人教A版选修第一册第三章第二节）

2.教学年级和班级：高二年级（3）班

3.授课时间：2025年10月15日第二节（10:00-10:45）

4.教学时数：1课时（45分钟）核心素养目标二、核心素养目标通过函数单调性与导数的学习，提升逻辑推理能力，能由导数符号准确判断函数单调性；强化数学运算素养，掌握求导及解单调性不等式的方法；发展数学抽象思维，抽象概括导数与函数单调性的内在联系；结合函数图像，增强直观想象，体会数形结合思想。教学难点与重点1.教学重点

①导数符号与函数单调性的对应关系及判断方法

②利用导数求解函数单调区间的步骤与规范表达

③导数在证明函数单调性中的应用技巧

2.教学难点

①导数为零的点与极值点的区别及单调性变化的临界点判断

②复合函数单调性的导数分析（如f(g(x))型函数）

③含参数函数单调性的分类讨论（如参数影响导数符号变化）

④利用单调性解决不等式、方程问题的转化思想应用教学资源准备1.教材：人教A版选修第一册教材，确保每位学生人手一册。

2.辅助材料：准备函数图像动态演示视频（如GeoGebra制作的导数与单调性关系动画）、典型例题解析图示及含参数函数单调性分类讨论流程图。

3.实验器材：无需实验器材。

4.教室布置：设置分组讨论区，便于学生合作探究含参数函数单调性分类讨论问题。教学过程1.导入（约5分钟）

激发兴趣：展示某品牌新能源汽车销量随时间变化的折线图（2020-2025年），提问“销量增长最快的阶段是哪段时间？如何用数学工具描述这种增长快慢？”引出导数作为函数变化率的本质。

回顾旧知：引导学生回顾导数的定义（f’(x₀)=lim(Δx→0)Δy/Δx），强调其几何意义是切线斜率；复习函数单调性的定义法（x₁<x₂⇒f(x₁)<f(x₂)为增函数），指出定义法判断单调性的局限性（计算复杂），自然过渡到本节课主题——用导数判断函数单调性。

2.新课呈现（约30分钟）

讲解新知：

（1）定理呈现：设函数f(x)在区间(a,b)内可导，若在(a,b)内f’(x)>0，则f(x)在(a,b)上单调递增；若f’(x)<0，则f(x)在(a,b)上单调递减。强调“可导”是前提，“区间”是范围，导数符号决定单调性方向。

（2）几何解释：结合动态GeoGebra演示，展示函数y=f(x)图像与切线斜率的关系——当切线斜率为正（向上倾斜）时，函数上升；斜率为负（向下倾斜）时，函数下降。

举例说明：

例1：判断函数f(x)=x²的单调性。

求导得f’(x)=2x，令f’(x)>0得x>0，故f(x)在(0,+∞)单调递增；令f’(x)<0得x<0，故f(x)在(-∞,0)单调递减。结合图像验证结论。

例2：判断函数f(x)=lnx的单调性。

求导得f’(x)=1/x，定义域x>0，当x>0时f’(x)>0恒成立，故f(x)在(0,+∞)单调递增。

互动探究：

分组活动（4人一组），探究函数f(x)=x³-3x的单调区间。

步骤：①求导f’(x)=3x²-3=3(x-1)(x+1)；②令f’(x)>0得x<-1或x>1，令f’(x)<0得-1<x<1；③结合图像讨论x=-1,1处导数为零，但不影响单调性变化（f(x)在(-∞,-1)增，(-1,1)减，(1,+∞)增），明确“导数为零的点可能是单调性临界点，但不一定是极值点”。

3.巩固练习（约10分钟）

学生活动：

（1）基础题：判断函数f(x)=e^x-x的单调性（求导f’(x)=e^x-1，分析x<0时f’(x)<0，x>0时f’(x)>0）。

（2）提升题：讨论函数f(x)=ax²+4x+3的单调性（分类讨论a=0时f(x)=4x+3单调递增；a>0时对称轴x=-2/a，f(x)在(-∞,-2/a)减，(-2/a,+∞)增；a<0时f(x)在(-∞,-2/a)增，(-2/a,+∞)减）。

（3）应用题：利用单调性证明不等式：当x>0时，lnx≤x-1。（构造函数f(x)=lnx-x+1，求导f’(x)=1/x-1，x>0时f’(x)<0（0<x<1），f’(x)>0（x>1），f(x)在x=1处取最小值f(1)=0，故f(x)≤0，即lnx≤x-1）。

教师指导：

巡视学生练习情况，重点指导①含参数函数分类讨论的标准（二次项系数、对称轴位置）；②证明题中构造函数的技巧（移项使一边为零）；③规范书写单调区间的表示（用区间或集合表示，避免用“或”连接不同区间）。对共性问题（如忽略定义域、分类讨论不全面）进行集中点评。教学资源拓展1.拓展资源

（1）理论深化：拉格朗日中值定理与单调性关联。若函数f(x)在闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，则存在ξ∈(a,b)使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。该定理揭示了函数平均变化率与瞬时变化率的关系，可导出单调性判定定理的严格证明。

（2）方法拓展：数形结合分析临界点。通过绘制f(x)=x³-3x+2的导数图像f'(x)=3x²-3，观察导数零点x=±1处的函数值变化，理解导数由负变正（或由正变负）时函数单调性的转变规律，强化临界点与单调区间的对应关系。

（3）应用延伸：优化问题中的单调性应用。如教材P103例3变式：设计一个体积为定值的长方体容器，如何确定底面边长使表面积最小？通过构造表面积函数S(x)=2x²+4V/x（x为底面边长），利用导数求单调性极值点。

（4）思维提升：含参函数单调性分类讨论框架。对f(x)=ax²+bx+c（a≠0），需分a>0、a<0讨论；对f(x)=e^x+ax，需分a≤0、a>0讨论导数f'(x)=e^x+a的零点存在性，形成分类讨论的系统方法。

2.拓展建议

（1）基础巩固：完成教材P105习题3.2A组第3、5题，重点练习求导步骤与单调区间书写规范。针对含参函数（如f(x)=lnx+ax），尝试分类讨论a的不同取值对单调性的影响。

（2）能力提升：研究教材P103例3的变式问题，将"体积固定"改为"表面积固定"，重新求解最优尺寸，体会目标函数构造与单调性应用的迁移能力。

（3）创新探究：利用GeoGebra动态演示函数f(x)=sinx+ax的图像随参数a变化的情况，观察导数零点个数与单调区间数量的关系，总结参数a对函数形态的影响规律。

（4）高考衔接：分析近五年全国卷导数应用题（如2023年新课标卷第21题），提取"构造函数-求导-分析单调性-求解极值"的解题模型，强化应用意识。

（5）跨学科联系：结合物理中的速度-位移关系（v=ds/dt），理解导数符号与运动方向（正为前进，负为后退）的物理意义，建立数学与自然科学的思维联结。内容逻辑关系①知识点的递进关系：导数定义、函数单调性定义、导数符号与单调性关系定理、应用求单调区间、含参数函数分类讨论。

②概念之间的联系：导数作为瞬时变化率与函数单调性的内在联系；几何意义切线斜率与函数升降；代数表达f'(x)>0对应单调递增。

③教学逻辑：从回顾旧知（导数定义、单调性定义）到新知呈现（定理讲解、举例说明），再到巩固练习（学生活动、教师指导），确保逻辑连贯。典型例题讲解例1：判断函数f(x)=x³-3x的单调区间。

解：f'(x)=3x²-3=3(x²-1)，令f'(x)>0得x<-1或x>1；令f'(x)<0得-1<x<1。故f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)单调递增，在(-1,1)单调递减。

例2：求函数f(x)=ln(x²-2x+2)的单调区间。

解：定义域为R，f'(x)=(2x-2)/(x²-2x+2)。令f'(x)>0得x>1；f'(x)<0得x<1。故f(x)在(-∞,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增。

例3：讨论函数f(x)=ax²+4x+3(a≠0)的单调性。

解：f'(x)=2ax+4。当a>0时，f'(x)>0得x>-2/a，故f(x)在(-∞,-2/a)减，(-2/a,+∞)增；当a<0时，f'(x)>0得x<-2/a，故f(x)在(-∞,-2/a)增，(-2/a,+∞)减。

例4：求函数f(x)=e^x-2x的单调区间。

解：f'(x)=e^x-2。令f'(x)>0得x>ln2；f'(x)<0得x<ln2。故f(x)在(-∞,ln2)单调递减，在(ln2,+∞)单调递增。

例5：证明：当x>0时，lnx≤x-1。

证明：设f(x)=lnx-x+1，f'(x)=1/x-1。当x>1时f'(x)<0，0<x<1时f'(x)>0，f(x)在x=1处取最大值f(1)=0。故f(x)≤0，即lnx≤x-1。教学反思这节课学生对导数与单调性关系的掌握整体较好，特别是基础题的解题步骤清晰。但含参函数分类讨论时，部分学生容易忽略定义域限制，比如讨论f(x)=ax²+4x+3时，忘记a=0的特殊情况。互动探究中，小组合作分析f(x)=x³-3x时，对x=±1处导数为零但不影响单调性的理解不够