2024-2025学年上海市徐汇中学七年级（下）期中数学试卷 （含解析）

2024-2025学年上海市徐汇中学七年级（下）期中数学试卷考试注意事项：1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员管理；

2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；

3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔)，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）.1．在下列不等式组中，无解的是（）A．x＞1x＞2 B．x＞1x＜2 C．x＜1x＜22．已知a＞b，则下列四个不等式不一定成立的是（）A．ac2＞bc2 B．acC．﹣a＜﹣b D．a+5＞b+53．如图，下列说法错误的是（）A．∠2与∠4是同位角 B．∠2与∠3是同旁内角 C．∠1与∠2是内错角 D．∠1与∠A是内错角4．下列命题中，判断错误的是（）A．所有定理都有逆命题 B．对顶角相等的逆命题是真命题 C．两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行 D．假命题的逆命题不一定是假命题5．已知三角形的周长是13，则以下哪个长度不可能是该三角形的边长（）A．4 B．5 C．6 D．76．如果△ABC的三个内角满足3∠A＝5∠B，3∠C＝2∠B，那么这个三角形是（）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定二、填空题（本大题共12小题，每题2分，共24分）7．不等式2x﹣9＜3的解集为．8．如果一个锐角不大于它的余角，那么这个锐角最大为度．9．如图，直线AB与CD交于点O，OE平分∠BOD，OE⊥OF，∠AOC＝36°，那么∠DOF＝°．10．如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，图中线段的长度表示点A到直线CD的距离．11．如图，已知，AB∥CD，∠1＝（4x﹣25）°，∠2＝（85﹣x）°，∠1的度数为．12．如图，BD、CD分别是△ABC的一条内角平分线与一条外角平分线，∠D＝30°，那么∠A的度数为．13．近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中BC⊥AB，DE∥AB，经使用发现，当∠EDC＝126°时，台灯光线最佳．则此时∠DCB的度数为．14．如图，一束光线与水平面成60°的角度照射地面，现在地面AB上支放一个平面镜CD，使这束光线经过平面镜反射后成水平光线，则平面镜CD与地面AB所成角∠DCB＝．15．若a＞b＞c，则不等式组x−a＜0x−b＞0x−c＞0的解集是16．在小于a的所有整数中，最大的是4，用不等式表示a应满足的条件：．17．如图，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠OMN＝30°，∠OCD＝45°．将三角尺OCD绕点O以每秒10°的速度顺时针方向旋转一周，设旋转的时间为t秒．在旋转的过程中，边CD恰好与边MN平行，t的值为．18．在△ABC中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，∠C＝40°，可知∠A＝2∠C，所以△ABC为2倍角三角形．如图，直线MN⊥直线PQ于点O，点A、点B分别在射线OP、OM上；已知∠BAO、∠OAG的角平分线分别与∠BOQ的角平分线所在的直线交于点E、F，若△AEF为4倍角三角形，则∠ABO＝．三、简答题19．（8分）解不等式组1−2x320．（14分）根据提示完成证明如图，已知AD⊥BC，垂足为点D，∠EFD＝90°，∠1+∠2＝180°，求证：∠CGD＝∠CAB．证明：∵AD⊥BC（已知），∴∠＝90°（垂直的意义），∵∠EFD＝90°，∴∠ADC＝∠EFD（等量代换），∴EF∥AD（），∴∠2+∠3＝180°（），∵∠1+∠2＝180°（已知），∴∠1＝∠3（）．∴（）．∴∠CGD＝∠CAB（）．21．（8分）用尺规，利用“内错角相等，两直线平行”作出过直线AB外一点M，平行直线AB的直线l．（不用写作法，但须保留作图痕迹）四、解答题：22．（10分）如图，已知在△ABC中，∠A＝32°，BE平分∠ABC，ED⊥BC于D，若∠DEB＝28°，求∠C的度数．23．（8分）我们在研究多边形的相关性质时，经常会将多边形分割成三角形进行研究，利用这样的思维方式，试证明下列问题．如图，已知在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，求证：AB∥CD且BC∥AD．24．（10分）在△ABC中，∠A＝60°，点D、E分别是△ABC边AC、AB上的点，点P是一动点，设∠PDC＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．（1）如图1，若点P在线段BC上，且∠α＝50°，求∠1+∠2的度数；（2）若点P在线段BC延长线上，请分别写出图2，图3中，∠1、∠2与∠α之间的数量关系．图2：；图3：．五、附加题：（每题5分，共10分）25．若不等式组2x+5a≤3(x−2)x−a2＜x3有解，且每一个解x26．如图，已知P是△ABC内一点，连结AP，PB，PC，求证：12（AB+AC+BC）＜PA+PB+PC＜AB+AC+BC

参考答案一、选择题（共6题，每题3分，满分18分）1．在下列不等式组中，无解的是（）A．x＞1x＞2 B．x＞1x＜2 C．x＜1x＜2解：A的解集为：x＞2，故A不符合题意；B的解集为：1＜x＜2，故B不符合题意；C的解集为：x＜1，故C不符合题意；D的解集为：无解，故D符合题意．故选：D．2．已知a＞b，则下列四个不等式不一定成立的是（）A．ac2＞bc2 B．acC．﹣a＜﹣b D．a+5＞b+5解：A．当c＝0时，ac2＝bc2，故此选项符合题意；B．不等式a＞b的两边同时除以一个正数（c2+1＞0），不等号的方向不变，即acC．不等式a＞b的两边同时乘﹣1，不等号的方向改变，即﹣a＜﹣b，故此选项不符合题意；D．不等式a＞b的两边同时加上5，不等号的方向不变，即a+5＞b+5，故此选项不符合题意．故选：A．3．如图，下列说法错误的是（）A．∠2与∠4是同位角 B．∠2与∠3是同旁内角 C．∠1与∠2是内错角 D．∠1与∠A是内错角解：A、B、D中的说法正确，故ABD不符合题意；C、∠1与∠2不是内错角，故C符合题意．故选：C．4．下列命题中，判断错误的是（）A．所有定理都有逆命题 B．对顶角相等的逆命题是真命题 C．两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行 D．假命题的逆命题不一定是假命题解：A、所有定理都有逆命题，正确，不符合题意；B、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，原说法错误，符合题意；C、两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行，正确，不符合题意；D、假命题的逆命题不一定是假命题，例如相等的角是对顶角是假命题，而此命题的逆命题是对顶角相等，是真命题，正确，不符合题意．故选：B．5．已知三角形的周长是13，则以下哪个长度不可能是该三角形的边长（）A．4 B．5 C．6 D．7解：设三角形的一边长是x，∵三角形的周长是13，∴三角形另外两边的和是13﹣x，由三角形三边关系定理得到：13﹣x＞x，∴x＜6.5，∴三角形边长的最大值不能大于或等于6.5．故选：D．6．如果△ABC的三个内角满足3∠A＝5∠B，3∠C＝2∠B，那么这个三角形是（）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定解：由题意可得，∠C＝180°﹣∠A﹣∠B，故可得方程组3∠A=5∠B3×(180°−∠A−∠B)=2∠B解得∠A=90°∠B=54°故∠A＝90°，∠B＝54°，∠C＝36°，∴△ABC是直角三角形，故选：A．二、填空题（本大题共12小题，每题2分，共24分）7．不等式2x﹣9＜3的解集为x＜6．解：2x﹣9＜3，2x＜3+9，2x＜12，x＜6．故答案为：x＜6．8．如果一个锐角不大于它的余角，那么这个锐角最大为45度．解：设这个锐角为x°，由题意得：x≤90﹣x，2x≤90，x≤45，∴这个锐角最大为45°，故答案为：45．9．如图，直线AB与CD交于点O，OE平分∠BOD，OE⊥OF，∠AOC＝36°，那么∠DOF＝108°．解：∵直线AB与CD交于点O，∠AOC＝36°，∴∠BOD＝∠AOC＝36°，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=12∠BOD∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90°，∴∠DOF＝∠DOE+∠EOF＝18°+90°＝108°．故答案为：108．10．如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，图中线段AD的长度表示点A到直线CD的距离．解：∵CD⊥AB，∴AD⊥CD，∴线段CD的长度表示点A到直线CD的距离，故答案为：AD．11．如图，已知，AB∥CD，∠1＝（4x﹣25）°，∠2＝（85﹣x）°，∠1的度数为135°．解：如图：∵AB∥CD，∴∠2+∠3＝180°，∵∠1＝∠3∴∠1+∠2＝180°，即（4x﹣25）+（85﹣x）＝180，解得x＝40，∴∠1＝4x﹣25°＝135°，故答案为：135°．12．如图，BD、CD分别是△ABC的一条内角平分线与一条外角平分线，∠D＝30°，那么∠A的度数为60°．解：∵∠ACE是△ABC的外角，∴∠ACE＝∠A+∠ABC，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，∴∠DBC=12∠ABC，∠DCE=12∠ACE=12（∠A+∠ABC）=∵∠DCE是△BCD的外角，∴∠DCE＝∠DBC+∠D=12∠A+1∴∠D=12∠∴∠A＝2∠D＝2×30°＝60°．故答案为：60°．13．近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中BC⊥AB，DE∥AB，经使用发现，当∠EDC＝126°时，台灯光线最佳．则此时∠DCB的度数为144°．解：过点C作CF∥AB，∴∠ABC+∠BCF＝180°，∵DE∥AB，∴DE∥CF，∴∠CDE+∠DCF＝180°，∴∠ABC+∠BCF+∠CDE+∠DCF＝360°，即∠ABC+∠DCB+∠CDE＝360°，∵BC⊥AB，∴∠ABC＝90°，∵∠EDC＝126°，∴∠DCB＝360°﹣∠ABC﹣∠CDE＝144°，故答案为：144°．14．如图，一束光线与水平面成60°的角度照射地面，现在地面AB上支放一个平面镜CD，使这束光线经过平面镜反射后成水平光线，则平面镜CD与地面AB所成角∠DCB＝30°．解：如图，∵入射角等于反射角，∴∠1＝∠2，∵光线经过平面镜CD反射后成水平光线平行，∴∠2＝∠4，又∵∠1＝∠3（对顶角相等），∴∠3＝∠4，∴∠2＝∠3，∵光线与水平面成60°的角度照射地面，∴∠3＝60°÷2＝30°，∴∠4＝30°，即∠DCB＝30°．故答案为：30°．15．若a＞b＞c，则不等式组x−a＜0x−b＞0x−c＞0的解集是b＜x＜解：x−a＜0①x−b＞0②解不等式①得：x＜a，解不等式②得：x＞b，解不等式③得：x＞c，由题意可得不等式组x−a＜0x−b＞0x−c＞0的解集为：b＜x＜故答案为：b＜x＜a．16．在小于a的所有整数中，最大的是4，用不等式表示a应满足的条件：a＜5．解：根据题意得：a＜5．故答案为：a＜5．17．如图，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠OMN＝30°，∠OCD＝45°．将三角尺OCD绕点O以每秒10°的速度顺时针方向旋转一周，设旋转的时间为t秒．在旋转的过程中，边CD恰好与边MN平行，t的值为10.5或28.5．解：如图1，CD在点O右侧时，设OC与MN相交于F，∵CD∥MN，∴∠OFN＝∠C＝45°，∴∠MOF＝15°，∴旋转角为105°，当CD在点O的左侧时，设直线OC与MN相交于F，∵CD∥MN，∴∠OFN＝∠C＝45°，在△NOF中，∠NOF＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∴旋转角为360°﹣75°＝285°，综上所述，当边OC旋转105°或285°时，边CD恰好与边MN平行．t＝105°÷10°＝10.5秒，t＝285°÷10°＝28.5秒；综上所述，第10.5或28.5秒时，边CD恰好与边MN平行．故答案为：10.5或28.5．18．在△ABC中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，∠C＝40°，可知∠A＝2∠C，所以△ABC为2倍角三角形．如图，直线MN⊥直线PQ于点O，点A、点B分别在射线OP、OM上；已知∠BAO、∠OAG的角平分线分别与∠BOQ的角平分线所在的直线交于点E、F，若△AEF为4倍角三角形，则∠ABO＝45°或36°．解：∵AE平分∠BAO，AF平分∠OAG，∴∠EAB＝∠EAO，∠OAF＝∠FAG，∴∠EAF=∠EAO+∠OAF=1∵△EAF是4倍角三角形，∴当∠EAF＝4∠E时，∠E=14×90°=22.5°，当∠F＝4∠E∵∠ABO＝2∠E，∴∠ABO＝45°或36°，故答案为：45°或36°．三、简答题19．（8分）解不等式组1−2x3解：由①得：x≥﹣1，由②得：x＜2，∴不等式组的解集为﹣1≤x＜2，将解集表示在数轴上如下：．20．（14分）根据提示完成证明如图，已知AD⊥BC，垂足为点D，∠EFD＝90°，∠1+∠2＝180°，求证：∠CGD＝∠CAB．证明：∵AD⊥BC（已知），∴∠①ADC＝90°（垂直的意义），∵∠EFD＝90°，∴∠ADC＝∠EFD（等量代换），∴EF∥AD（②同位角相等，两直线平行），∴∠2+∠3＝180°（③两直线平行，同旁内角互补），∵∠1+∠2＝180°（已知），∴∠1＝∠3（④同角的补角相等）．∴⑤AB∥DG（⑥内错角相等，两直线平行）．∴∠CGD＝∠CAB（⑦两直线平行，同位角相等）．【解答】证明：∵AD⊥BC（已知），∴∠ADC＝90°（垂直的意义），∵∠EFD＝90°，∴∠ADC＝∠EFD（等量代换），∴EF∥AD（同位角相等，两直线平行），∴∠2+∠3＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∵∠1+∠2＝180°（已知），∴∠1＝∠3（同角的补角相等）．∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行）．∴∠CGD＝∠CAB（两直线平行，同位角相等）．故答案为：①ADC；②同位角相等，两直线平行；③两直线平行，同旁内角互补；④同角的补角相等；⑤AB∥DG；⑥内错角相等，两直线平行；⑦两直线平行，同位角相等．21．（8分）用尺规，利用“内错角相等，两直线平行”作出过直线AB外一点M，平行直线AB的直线l．（不用写作法，但须保留作图痕迹）解：如图，在直线AB上任取一点C，连接MC，在MC的左侧作∠CMN＝∠BCM，作直线MN，则直线MN即为所求的直线l．四、解答题：22．（10分）如图，已知在△ABC中，∠A＝32°，BE平分∠ABC，ED⊥BC于D，若∠DEB＝28°，求∠C的度数．解：∵ED⊥BC，∠DEB＝28°，∴∠DBE＝180°﹣90°﹣28°＝62°，∵BE平分∠ABC，∴∠DBE＝∠ABE＝62°，∴∠C＝180°﹣62°﹣62°﹣32°＝24°．23．（8分）我们在研究多边形的相关性质时，经常会将多边形分割成三角形进行研究，利用这样的思维方式，试证明下列问题．如图，已知在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，求证：AB∥CD且BC∥AD．解：如图，连接AC，∵AB＝CD，BC＝AD，AC＝AC，∴△ABC≌△CDA（SSS），∴∠BAC＝∠ACD，∠DAC＝∠ACB，∴AD∥BC，AB∥CD．24．（10分）在△ABC中，∠A＝60°，点D、E分别是△ABC边AC、AB上的点，点P是一动点，设∠PDC＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．（1）如图1，若点P在线段BC上，且∠α＝50°，求∠1+∠2的度数；（2）若点P在线段BC延长线上，请分别写出图2，图3中，∠1、∠2与∠α之间的数量关系．图2：∠2＝∠α+∠1+60°；图3：∠2＝∠1﹣∠α+60°．解：（1）根据图1可得：∠DPB＝∠1+∠C，∠EPC＝∠2+∠B，∴∠DPB+∠EPC＝∠1+∠2+∠C+∠B，∵∠DPE＝∠α＝50°，∴∠α+180°＝