第06讲 一次函数与反比例函数（含答案解析）-全国重点高中自主招生大揭秘

一次函数与反比例函数一、单选题1．（2023春·浙江宁波·九年级校联考竞赛）如图所示的是反比例函数和一次函数的图象，则下列结论正确的是（

）A．反比例函数的解析式是 B．一次函数的解析式为C．当时，最大值为1 D．若，则2．（2023春·浙江宁波·九年级校联考竞赛）如图，点，分别在轴正半轴、轴正半轴上，以为边构造正方形，点，恰好都落在反比例函数的图象上，点在延长线上，，，交轴于点，边交反比例函数的图象于点，记的面积为，若，则的面积是（

）A． B． C． D．3．（2022·广东·九年级统考竞赛）2021年新冠肺炎疫情防控形势依然严峻，严格按照防疫要求进行个人防护和环境消杀是防控的重点．已知某种环境消杀使用的消毒液中含有有效成分，每将个单位的溶解在一定量水中，则消毒液的浓度（克/升）随着时间（分钟）变化的函数关系式近似为，其中当时，，当时，．若多次溶解，则某一时刻水中的浓度为每次溶解的在相应时刻溶解的浓度之和．根据科学实验，当消毒液的浓度不低于4（克/升）时，它才能有效消毒．则下列结论不正确的是（

）A．一次投放4个单位的，在2分钟时，消毒液的浓度为克/升B．一次投放4个单位的，有效消毒时间可达8分钟C．若第一次投放2个单位的，6分钟后再投放2个单位的，第8分钟消毒液的浓度为5克/升D．若第一次投放2个单位的，6分钟后再投放2个单位的，接下来的4分钟能够持续有效消毒4．（2021·全国·九年级竞赛）已知，并且，则函数图像一定经过（

）A．第一、二、三象限 B．第二、三象限 C．第二、三、四象限 D．第一、四象限5．（2017春·江苏镇江·九年级竞赛）如图，直线y=kx+b交坐标轴于A（﹣2，0），B（0，3）两点，则不等式kx+b＞0的解集是A．x＞3 B．﹣2＜x＜3 C．x＜﹣2 D．x＞﹣26．（2017秋·江苏镇江·九年级竞赛）已知abc0，而且，那么直线y=px+p一定通过（

）．A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限7．（2021·全国·九年级竞赛）设0＜k＜1，关于x的一次函数y=kx+（1﹣x），当1≤x≤2时，y的最大值是（）．A．k B．2k- C． D．k+8．（2021·全国·九年级竞赛）反比例函数与一次函数y＝k（x+1）（其中x为自变量，k为常数）在同一坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．9．（2021·全国·九年级竞赛）如图，正比例函数y＝kx（k＞0），与反比例函数的图象相交于A，C两点，过A作AB⊥x轴于B，连接BC，若△ABC的面积为S，则（）A．S＝1 B．S＝2 C．S＝k D．S＝k2二、填空题10．（2023春·浙江宁波·九年级校联考竞赛）在直角坐标系xOy中，直线交x轴、y轴于点E，F，点B的坐标是，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足为A，C．点D是线段上的动点，以为对称轴，作与成轴对称的．当直线l经过点A时（如图），求点D由C到O的运动过程中，线段扫过的图形与重叠部分的面积________．11．（2023·四川成都·统考二模）如图，在中，，射线AB分别交y轴于点D，交双曲线于点B，C，连接，当平分时，与满足，若的面积为4，则___________．12．（2023·辽宁鞍山·统考一模）如图，在矩形中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点在第一象限内，反比例函数（）的图像分别与，，交于，，三点，与交于点，连接，，若，，则的值为______．13．（2023·山东济宁·济宁学院附属中学校考二模）如图，四边形为矩形，点A在第二象限，点A关于的对称点为点D，点B，D都在函数的图象上，轴于点E．若的延长线交x轴于点F，当矩形的面积为10时，的值为______．14．（2023春·浙江宁波·九年级浙江省余姚市实验学校校考阶段练习）如图，点在的图象上，点在的图象上（在左边），直线经过原点，直线交轴于点，直线交轴于点．则__________；若，，则__________．三、解答题15．（2023春·浙江宁波·九年级校联考竞赛）一辆轿车和一辆货车同时从甲地出发驶往乙地，轿车到达乙地后立即以另一速度原路返回甲地，货车到达乙地后停止．如图所示的图象分别表示货车、轿车离甲地距离与轿车行驶时间的关系．(1)求轿车在返回甲地过程中的速度；(2)当轿车从乙地返回甲地的途中与货车相遇时，求相遇处离甲地的距离．16．（2017春·江苏镇江·九年级竞赛）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2）．过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB，BC交于点M，N．(1)求直线DE的解析式和点M的坐标；(2)若反比例函数（x＞0）的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；(3)若反比例函数（x＞0）的图象与△MNB有公共点，请直接写出m的取值范围．17．（2018春·四川自贡·八年级竞赛）如图，已知直线，直线；直线分别交轴于两点，相交于点.⑴求三点的坐标；⑵求⊿的面积.18．（2017秋·浙江杭州·八年级竞赛）杭州市成功申办2022年亚运会，这将推动杭州市体育事业发展，为了促进全民健身活动的发展，某社区为辖区内学校购买一批篮球和足球，已知篮球和足球的单价分别为120元和90元.（1）根据实际需要，社区决定购买篮球和足球共100个，其中篮球购买的数量不少于40个，社区可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10260元，请问有几种购买方案；（2）若购买篮球个，学校购买这批篮球和足球的总费用为元，在（1）的条件下，求哪种方案能使最小，并求出的最小值.19．（2023·浙江绍兴·统考一模）如图1.在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点在轴上，点，点在第一象限，，，.(1)求点的坐标.(2)直线与轴，轴的正半轴分别交于点，，点，关于直线的对称点分别为，.①如图2，若点和点在直线上，求点到轴的距离.②若点，点到轴的距离都为1，请直接写出点的纵坐标.20．（2023·天津西青·统考一模）在平面直角坐标系中，为原点，是等腰直角三角形，，，点在轴的负半轴上，点在第二象限，矩形的顶点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上．将沿轴向右平移，得到，点，，的对应点分别为，，．(1)如图1，当经过点时，求点的坐标；(2)设，与矩形重叠部分的面积为；①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点，分别与，交于点，，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围；②请直接写出满足的所有的值．21．（2023春·江苏淮安·八年级校考期中）如图，已知直线：交轴于点，交轴于点，直线交轴于点（，），请解答下列问题：(1)点的坐标为，点的坐标为_______；(2)如图1，作射线轴，交直线于点，请说明：平分；(3)点为直线上的一个动点，连接，若，求点的坐标；(4)过作直线垂直于轴，若是直线上的一个动点，在坐标平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．22．（2023·四川成都·统考二模）如图，直线与双曲线相交于A，B两点，点A坐标为．点P是x轴负半轴上的一点．(1)分别求出直线和双曲线的表达式；(2)连接，，，，若，求点P的坐标；(3)我们把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做“美丽四边形”．在（2）的条件下，平面内是否存在点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是美丽四边形，若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．23．（2023秋·湖南岳阳·九年级统考期末）如图，矩形的顶点、分别在轴和轴上，点的坐标为，D是边上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数的图象经过点D且与边交于点E，连接．(1)如图1，若点D是的中点，求E点的坐标；(2)如图2，若直线与x轴、y轴分别交于点M，N，连接，①求证：；②求的值；(3)如图3，将沿折叠，点B关于的对称点为点，①当点落在矩形内部时，求k的取值范围；②连接，直接写出的最小值．24．（2023春·四川成都·九年级成都嘉祥外国语学校校考开学考试）已知点、均在反比例函数的图象上．(1)求反比例函数的表达式；(2)如图1，点P是反比例函数图象上一点，轴于点A，点B是y轴上一点，交射线于点D，点M为线段上一点，连接，点C为的中点，点N为射线上一点，当四边形为菱形且面积为时，求点P的坐标；(3)如图2，点Q为反比例函数图象上一动点，过Q作轴于点E，连接并延长，交反比例函数图象于点H，过E作，交反比例函数图象于点F，连接，试判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．参考答案：1．D【分析】结合图象，求出两个函数的解析式，再逐一进行判断即可。【详解】解：A、由图象可知，两个函数图象相交于两个点，其中一个点坐标为，把代入得，，，选项错误，不符合题意；B、当时，，另一个交点坐标为：，直线解析式为：，分别代入，，得：，解得，，选项错误，不符合题意；C、由图象可知，当时，随的增大而减小，当时，，选项错误，不符合题意；D、由图象可知，，直线在双曲线的下方，，选项正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点、反比例函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式．解题的关键是待定系数法求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解．2．B【分析】如图，过点作轴，过点作轴，设，，证明，并得到，，根据反比例函数的性质得，即，继而得到是等腰直角三角形，已知的面积为，可得，又因为在反比例函数的图象上，可得，即可求出，，再求出直线的表达式，利用方程组确定点的坐标，求出和，即可得出的面积．【详解】解：如图，过点作轴，过点作轴，设，，∴，∵四边形是正方形，∴，，∴，，∴，∵在和中，，∴，∴，，∵在和中，，∴，∴，，∴，，又∵，在反比例函数的图象上，∴，∵，∴，∴，∴，，∵，∴是等腰直角三角形，∵，∴，，∵，∴，∵在反比例函数的图象上，即，∴，，∴，，反比例函数的表达式为，设：直线的表达式为，∴，解得：，∴直线的表达式为，∵，解得：或，∴，∵，，∴，，∴，故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数图象上的点的特征，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，求一次函数的解析式等，利用设出的，表示出相关点的坐标是解答本题的关键．3．C【分析】根据题意，对于题意根据当时，，当时，，当时，，当时，，根据题意求得时的函数值，即可判断A，令根据上述函数关系式，求得的取值范围，进而判断B选项，根据当时，求得函数关系式，求得当时的函数值即可判断C选项，根据C选项的解析式求得的最小值即可判断D选项．【详解】对于A，由题意可得，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，故A正确，对于B，当时，，解得，故，当时，，解得，故，综上所述，，若一次投放4个单位的，消毒时间可达8分钟，故B正确，对于C，当时，，当时，，故C错误，对于D，∵，∴，当且仅当，即时取等号，∴有最小值，∴接下来的4分钟能够持续消毒，故D正确．故选C【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数的应用，类比反比例函数求解是解题的关键．4．B【分析】当时，将的每一部分都加上1，可得，要使等式成立，分子相等，分母也要相等．则，可求出p得值，当时，可得再根据一次函数的图像的性质即可作答．【详解】解∵，∴∴，①当a+b+c不等于0时，，∴3=p+1解得：则，直线经过一、二、三象限（如图）．②当a+b+c=0时，p+1=0，解得p=-1，则y=-x-1，直线y=-x-1经过二、三、四象限（如图），综上：的图像一定经过二、三象限；故选B．【点睛】本题主要考查了等式的性质以及一次函数的图像和性质，熟练地掌握等式的性质以及一次函数的图像和性质是解题的关键．一次函数y=kx+b(k≠0)，当k>0时，图像经过一三象限，当k<0时，图像经过二四象限；当b>0时，图像与有y轴交于正半轴，当b<0时，图像与y轴交于负半轴．5．D【详解】试题分析：∵直线y=kx+b交x轴于A（﹣2，0），∴不等式kx+b＞0的解集是x＞﹣2．故选D．6．B【分析】根据得到a+bc=b+ca=c+ab=p，再将式子拆分进行相加得到2（a+b+c）=p（a+b+c），讨论当p=2或a+b+c=0两种情况即可．【详解】解：由条件得：①a+b=pc，②b+c=pa，③a+c=pb，三式相加得2（a+b+c）=p（a+b+c）．∴有p=2或a+b+c=0．当p=2时，y=2x+2．则直线通过第一、二、三象限．当a+b+c=0时，不妨取a+b=-c，于是p==-1，（c≠0），∴y=-x-1，∴直线通过第二、三、四象限．综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象限．故选B．【点睛】本题考查了一次函数的图象与系数的关系及比例的性质，比较有难度，关键是根据a+bc=b+ca=c+ab=p列出方程，然后讨论求解．7．A【详解】试题分析：由于自变量的取值已经确定，此函数又为一次函数．所以应直接把自变量的最小值与最大值代入函数求值．当x=1时，y=k；当x=2时，y=2k﹣，∵0＜k＜1，∴k＞2k﹣，∴y的最大值是k．故选A．考点：一次函数的性质．8．C【分析】分别根据反比例函数与一次函数的性质对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：一次函数可化为，即一次函数在y轴上的截距为k，A、由反比例函数的图象可知，k＞0，由一次函数的图象可知k＜0，由一次函数在y轴上的截距可知k＜0，两结论矛盾，故本选项错误；B、由反比例函数的图象可知，k-1>0，即k＞1，由一次函数的图象可知0＜k＜1，两结论矛盾，故本选项错误；C、由反比例函数的图象可知k-1＜0，即k＜1，由一次函数的图象可知k＞0，当x=-1时，y=0，故0＜k＜1，两结论一致，故本选项正确确；D、由反比例函数的图象可知，k＜0，由一次函数的图象可知k＜0，由一次函数在y轴上的截距可知k＞0，两结论矛盾，故本选项错误．故选C．【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与一次函数的图象，熟知以上知识是解答此题的关键．9．A【分析】根据正比例函数y=kx（k＞0）与反比例函数的图象均关于原点对称，可求出A、C两点坐标的关系，设出两点坐标再根据三角形的面积公式即可解答．【详解】解：∵正比例函数y=kx（k＞0）与反比例函数的图象均关于原点对称，∴设A点坐标为（x，），则C点坐标为（-x，-），∴S△AOB=OB•AB==，S△BOC=OB•|-|==，∴S△ABC=S△AOB+S△BOC=+=1故选A．【点睛】本题考查的是反比例函数与正比例函数图象的特点，解答此题的关键是找出A、C两点坐标的关系，设出两点坐标即可．10．【分析】先求出直线，再确定C点的运动轨迹是以点B为圆心，为半径的圆，可知所求面积为弓形，利用扇形和等边三角形的面积公式即可求解．【详解】∵点B的坐标是，∴，∵直线经过点A，∴，∴直线，∵，点D由C到O的运动过程中，线段扫过的图形是扇形，∴当点D与重合时，点与重合，且线段扫过的图形与重叠部分是弓形，∴当点在直线上时，，∴是等边三角形，∴，∴重叠部分的面积为，故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，扇形的面积公式，等边三角形的判定和性质，能够根据题意确定C点的运动轨迹是以点B为圆心，为半径的圆是解题的关键．11．/【分析】由等腰三角形的性质结合三角形外角的性质可得出．再根据角平分线的定义即得出，即易证，得出，设，则，从而可求出，，，．过点B作轴于点E，作轴于点G，过点C作轴于点F，作轴于点H，易证，即得出，从而得出．设，则，，，从而可求出，，进而可求出，即可求出，最后由三角形面积公式，代入数据，即可求出k的值．【详解】解：∵，∴．∵，，∴．∵平分，∴，∴，即．又∵，∴，∴，∴．设，则，∴，∴，∴，∴．如图，过点B作轴于点E，作轴于点G，过点C作轴于点F，作轴于点H，∴，∴∴，∴，即．设，则，∴，，∴，，∴，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题为反比例函数综合题，考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义，三角形相似的判定和性质等知识．正确的作出辅助线是解题关键．12．4【分析】先根据，得到点E，F的横纵坐标的关系，设出未知数，然后根据相似得到D点的横纵坐标的关系，最后列出进行解方程，即可得到的值．【详解】连接，过作于，过作于，连接交于，过作于，∵在矩形中，∴∵∴∴∵反比例函数（）的图像分别与，，交于，，三点，∴设，∴∴，∴∵∴∴∴∴∴∴设，∴∴将代入∴∵∴∵∴∴∴，那么两点重合，∵∴解得∴【点睛】此题考查反比例函数的几何意义，解题关键是通过相似求出各个点横纵坐标之间的数量关系，设出未知数，然后将坐标转化为三角形的边长，将已知三角形的面积用未知数表示出来，进而转化出的值．13．【分析】连接，作轴，设点，，根据矩形的面积得出三角形的面积，将三角形的面积转化为梯形的面积，从而得出a，b的等式，解方程得出a，b的关系，然后证明，利用相似三角形的性质求出，进一步可求得结果．【详解】作轴于G，连接，设和交于I，设点，，由对称性可得：，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴解得（负值舍去），∴，即，∵，∴，又，∴，∴，即，解得，∴，∴∴．故答案为：．【点睛】本题考查了矩形性质，轴对称性质，反比例函数的“k”的几何含义，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，找出所求问题需要的条件是解题的关键．14．【分析】作轴交轴于，轴交轴于，轴交轴于，轴交轴于，再设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，从而可以表示出，，，，，再根据三角形相似的判定定理得出，，，可分别表示出、、，再由直线经过原点，可以表示出及的值，最后代入即可得到答案．【详解】解：如图所示，作轴交轴于，轴交轴于，轴交轴于，轴交轴于，设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，则，，，，，轴交轴于，轴，，，，轴交轴于，，，，轴交轴于，轴交轴于，，，轴交轴于，轴交轴于，，，，直线经过原点，，即，，，由图象可知，，，，，，，故答案为：；．【点睛】本题考查了反比例函数与几何，相似三角形的判定与性质，正比例函数的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，正比例函数的性质，添加适当的辅助线是解题的关键．15．(1)80km/h(2)km/h【分析】（1）用两地间距离除以轿车在返回甲地过程中所用的时间，即可求解；（2）分别求出货车离甲地距离与行驶时间的函数关系式，轿车从乙地返回甲地的函数关系式，再求出它们的交点，即可求解．【详解】（1）解∶根据题意得∶轿车在返回甲地过程中的速度为km/h；（2）解：设货车离甲地距离与行驶时间的函数关系式为，把点（3，120）代入得：，解得：，∴货车离甲地距离与行驶时间的函数关系式为，设轿车从乙地返回甲地，离甲地距离与行驶时间的函数关系式为，把点（2，120），（3.5，0）代入得：，解得：，∴轿车从乙地返回甲地的函数解析式为，联立得：，解得：，∴当轿车从乙地返回甲地的途中与货车相遇处离甲地的距离为km/h．【点睛】本题主要考查了函数图象的动点问题，一次函数的应用，明确题意，准确从函数图象获取信息是解题的关键．16．(1)，M（2，2）(2)，在(3)4≤m≤8【分析】（1）用待定系数法可以确定直线DE的解析式，把M点的纵坐标代入一次函数解析式可求出横坐标．（2）根据M点的坐标，可求出m的值，因为知道N的横坐标，所以根据DE的解析式可求出纵坐标，代入反比例函数式可看看结果如何．（3）求出反比例函数的图象过B点的k值，即可求出答案．【详解】（1）设直线DE的解析式为，∵点D，E的坐标为（0，3）、（6，0），∴解得∴．∵点M在AB边上，B（4，2），而四边形OABC是矩形，∴点M的纵坐标为2．又∵点M在直线上，∴2=．∴x=2．∴M（2，2）．（2）∵（x＞0）经过点M（2，2），∴，∴．又∵点N在BC边上，B（4，2），∴点N的横坐标为4．∵点N在直线上，∴．∴N（4，1）．∵当时，y==1，∴点N在函数的图象上．（3）把B（4，2）代入得：k=8，∵反比例函数过M、N点，∴若反比例函数（x＞0）的图象与△MNB有公共点，k的取值范围是4≤k≤8．【点睛】本题考查了用待定系数法求一次和反比例函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，矩形的性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．17．A（2，5），B（﹣0.5，0），C（7，0）；（2）

【详解】试题分析：（1）联立两直线解析式，解方程即可得到点A的坐标，两直线的解析式令y=0，求出x的值，即可得到点A、B的坐标；（2）根据三点的坐标求出BC的长度以及点A到BC的距离，然后根据三角形的面积公式计算即可求解．试题解析：解：（1）直线l1：y=2x+1、直线l2：y=﹣x+7联立得：，解得，∴交点为A（2，5），令y=0，则2x+1=0，﹣x+7=0，解得：x=﹣0.5，x=7，∴点B、C的坐标分别是：B（﹣0.5，0），C（7，0）；（2）BC=7﹣（﹣0.5）=7.5，∴S△ABC=×7.5×5=．点睛：本题考查了两直线的相交问题，联立两直线的解析式，解方程即可得到交点的坐标，求直线与x轴的交点坐标，令y=0即可，求直线与y轴的交点坐标，令x=0求解．18．（1）三种；（2）最小值为10200【详解】试题分析：（1）设购买篮球x个，足球（100-x）个，根据“篮球购买的数量不少于40个，社区可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10260元”，列出不等式组，求出x的取值范围，由x为正整数，即可解答；（2）表示出总费用y，利用一次函数的性质，即可确定x的取值，即可确定最小值．试题解析：（1）设篮球购买x个，则足球购买（100-x）个，由题意得，解得：40≤x≤42，∵x为正整数，∴x取40，41，42；（2）y=120x+90（100-x）=30x+9000．当x=40时，y最小值为10200．19．(1)点；(2)①；②的纵坐标分别是5，7，，【分析】(1)求得，计算即可．（2）①如图，连接，，过点作轴，交的延长线于点，交轴于点，证明计算求解即可．②分类求解即可．【详解】（1）∵矩形，，，∴，.∵，∴，∴点．（2）①如图，连接，，过点作轴，交的延长线于点，交轴于点，易得，∴设，则，，.∴，解得：，∴．②∵点，点到轴的距离都为1，∴点，点在直线或上，当点，点在直线上时，，∴，设，则，则的中点，的中点，设的解析式为，∴，解得，∴的解析式为，设直线与的交点为R，根据折叠的性质，得，∵∴四边形是平行四边形，∴，当时，，解得，∴，解得，∴，，设直线的解析式为，∴，解得，∴的解析式为，当时，，故Q的纵坐标为7；当点，点在直线上时，，∴，设，则，则的中点，的中点，∴在线段上，根据折叠的性质，得，∵∴四边形是平行四边形，∴，∴，解得，∴，，设直线的解析式为，∴，解得，∴的解析式为，当时，，故Q的纵坐标为5；∴的纵坐标分别是5，7，，．【点睛】后两种情况还没有得到解法．20．(1)(2)①②或5【分析】（1）先求出直线的解析式，利用平移后过点，求出的解析式，进而求出的坐标，得到平移距离，即可求解；（2）①用进行求解即可，当与点重合，再移动直至直线过点之前时，重叠部分为五边形，求出的范围即可；②分，，，，，五种情况分类讨论求解即可．【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，，，∴，，矩形的顶点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，∴，设直线的解析式为：，则：，∴，∴，设平移后的解析式为：，∵直线过点，∴，∴，当时，，∴，∴，∴沿轴向右平移了个单位，∴；（2）解：①由题意，得：，，，，∴，，，∴；如图，当与点重合，再移动直至直线过点之前时，重叠部分为五边形，∴当与点重合时，，∵直线的解析式为：，当直线过点时，∴，∴，∴，当时，，此时，∴，∴时，重叠部分为五边形；②当时，此时重叠部分为等腰直角三角形，如图所示：∴，当时，，解得：，∵，此种情况不存在；当时，重叠部分为直角梯形，如图，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，当时，，解得：；当时，如图：此时：，∴；当时：由①知：，当时，，解得：或3（不符合题意，舍去）；当时，重叠部分为矩形，如图：，∴，当时，，解得：（不合题意，舍掉）；综上，或5．【点睛】本题考查坐标与平移，一次函数的综合应用，等腰三角形性质，矩形的性质．属于中考压轴题，确定动点的位置，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．21．(1)，；，；(2)见解析；(3)或；(4)或或或．【分析】（1）解方程可求得交点坐标；（2）证明即可；（3）利用等高三角形的面积比等于底的比进行计算即可；（4）分为边和为对角线进行讨论计算即可．【详解】（1）解：当时，，当时，，解得，∴，，，，故应填，，，；（2）证明：设的解析式为，把，代入得∶，解得∴直线为，当时，，∴，，∵，，∴，在中，，∴，∴，∵轴，∴，∴即平分；（3）解：设，连接如下图∶由题意得∶与同高∴，即，解得∶，∴或；（4）解：存在；若为矩形的一边，∵直线的解析式为，∴设，，，，当以为对角线时，如下图∶∵四边形时是矩形，∴，与互相平分，∴，∵，，，，，，，，∴，，，解得，，∴，∴，当以为对角线时，同理可得，，若为对角线时，设，，，，∵，，，，∴的中点坐标为，，，，∴，，则，解得∶，∴或∴或；综上所述∶或或或．【点睛】本题主要考查了一次函数的图像及性质，矩形的性质，熟练掌握一次函数的图像及性质以及矩形的性质是解题的关键．22．(1)，(2)(3)平面内存在点、、，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是美丽四边形【分析】（1）把分别代入两个解析式计算即可；（2）设，表示出和的面积，再根据列方程计算即可；（3）先证明是直角三角形，只需要说明以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形即可，再利用平移计算即可．【详解】（1）把代入得：，解得，∴直线解析式为把代入双曲线得：，解得，∴双曲线解析式为；（2）设，直线与x轴交点，则，联立，解得或∴，过作轴于，过作轴于，则，∴∵，∴，解得∴（3）由（2）可得，，∴，，∴∵，∴，∴根据“美丽四边形”定义得，当以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，平面内存在点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是美丽四边形，∵，，∴当线段平移到时，向右平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度得到，∴向右平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度得到，同理，当线段平移到时，；当线段平移到时，，综上，平面内存在点、、，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是美丽四边形．【点睛】此题属于反比例函数与一次函数综合