2025北京首师大附中初二6月月考数学试题及答案

初中2025北京首都师大附中初二6月月考数学一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A. B. C. D.2.下列式子中y不是x的函数的是（）A. B. C. D.3.如图，BD是的对角线，如果，，则等于（）A.65° B.55° C.45° D.25°4.如图，在平面直角坐标系xOy中，，B（0，3），P为线段AB的中点，则线段OP的长为（）A. B.2 C. D.55.如图，直线和直线相交于点，则关于x，y的方程组，的解为（）A. B. C. D.6.k为实数，则关于x的一元二次方程的根的情况是（）A.有两个实数根 B.有两个不相等的实数根C.无实数根 D.不能确定根的情况7.在中，，，的对边分别记为a，b，c，下列条件中，能判定是直角三角形的是（）A.，， B.C. D.8.首师大附中的同学近期正在积极准备入团工作，其中志愿服务时长是一个重要指标．下表是本校抽查的400名学生本学期志愿服务时长的情况（单位：小时），并且根据数据绘制了统计图表的一部分，如下：性别男136250609女1758526415学段初中50728822高中下面有四个推断：①这400名学生志愿服务时长的平均数一定在24.5~25.5之间；②这400名学生志愿服务时长的中位数一定在20~30之间；③这400名学生中的初中生志愿服务时长的中位数一定在20~30之间；④这400名学生中的高中生志愿服务时长的中位数可能在20~30之间．所有合理推断的序号是（）A.①③④ B.①②③ C.②③④ D.①②④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是_______．10.如图，分别以直角三角形的三边为边作正方形，其中两个正方形的面积分别是9和49，则字母M所代表的正方形的面积是___________．11.在平面直角坐标系中，若点是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系为：_______（填“”，“”或“”）．12.如图，在△ABC中，，，点M，N分别为AC，BC的中点，连接MN．若，则MN的长度是______．13.如图，正方形的边长为3，点E在边上，，若点P为对角线上的一个动点，则的最小值是___________．14.如图，在菱形中，对角线交于点O，，．则菱形的面积是___________．15.如图，将矩形折叠，使点A落在边上的点M处，折痕交边于点E．若，，则的长为___________．16.如图，在中，，平分交于点D，，交于点E，交于点F．有以下结论：①保持的长度不变，改变的大小，四边形一定是平行四边形；②保持的长度不变，改变的大小，可使成立；③保持的大小不变，改变的长度，可使成立；④保持的大小不变，改变的长度，连接，可使四边形为平行四边形．其中所有的正确结论是___________．（填序号即可）三、解答题（本题共60分，第17题6分，第18-24题每题5分，第25题6分，第26题7分，第27题6分）17.计算：（1）；（2）．18.解方程：．19.如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，且．求证：．20.已知：如图，在中，．求作：矩形ABCD．作法：①作线段AB的垂直平分线交AB于点O．②作射线CO．③以点O为圆心，线段CO长为半径画弧，交射线CO于点D．④连接AD，BD，则四边形ACBD即为所求作的矩形．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵，①∴四边形ACBD是平行四边形．（②）（填推理的依据）∵，∴四边形ACBD是矩形．（③）（填推理的依据）21.为了丰富学生的课余生活，培养学生德智体美劳全面发展，学校会定期组织学生参与农耕劳作，感受劳动之美．在生态大棚中有一块边长为的正方形空地，作为学生栽种鲜花的劳动教育基地．从校园美观和实用的角度考虑，按下图的方式进行改造，先在正方形区域一侧建成宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为，求小道的宽度．22.在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点．（1）求，的值；（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出的取值范围．23.如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，点E为的中点，于点F，点G为上一点，连接，，且．（1）求证：四边形为矩形；（2）若，，，则．24.某校举办“安全知识竞赛”活动，活动分为初赛和决赛两个阶段．（1）初赛阶段，从参赛学生中抽取了若干学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩用x表示，总分为100分，共分成五个等级：A：；B：；C：；D：；E：）．下面给出了部分信息：a．抽取学生成绩等级人数统计表等级ABCDE人数m91042b．抽取学生成绩等级的扇形统计图如图，其中扇形图中C等级区域所对应的扇形的圆心角的度数是．c．抽取学生中等级C的成绩数据从小到大排列为：70717273747676777879根据以上信息，回答下列问题：①该抽样的样本容量为___________；②估计参加了初赛的1200名学生中A等级的人数；（2）决赛阶段，由8名评委分别给每位参赛同学打分．进入决赛的甲、乙、丙三位同学的得分如下：评委编号评委1评委2评委3评委4评委5评委6评委7评委8甲108958乙89477丙8797797把每位同学的得分去掉一个最高分和一个最低分后计算平均分和方差，平均分高的同学排序靠前，平均分相同时方差较小的同学排序靠前，则甲、乙、丙三位同学的排序由前到后的顺序为___________．25.某小组研究了不同温度对葡萄酒发酵速率的影响．当发酵时间为（单位：）时，小组成员分别记录了下的发酵速率下的发酵速率，部分数据如下：15910111417192326293236（1）当时，下的发酵速率每小时增加的值为___________；（2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出了函数的图象，描出了与各对对应值为坐标的点，补全函数的图象；（3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：①当发酵时间为___________h时，下的发酵速率等于下的发酵速率；②若发酵速率不低于，葡萄酒的发酵效果较好，下的发酵速率不低于的持续时间为（单位：h），下的发酵速率不低于的持续时间为（单位：h），则的值为___________，的值约为___________（结果保留小数点后一位）．26.如图，在中，，，于，将射线绕点顺时针旋转得到射线，过点作的垂线交于点，交射线于点，连接．（1）依题意补全图形，并求的大小（用含的式子表示）；（2）在上取点，使，连接．用等式表示线段与的数量关系，并证明．27.在平面直角坐标系中，对于任意两点，和大于0的实数n，称为点M和点N的n阶距离．已知点，，．（1）已知点，点，则___________，___________；（2）已知点，其中．①若，求t的值；②若正方形的内部（不包含边界）存在点Q，使得，直接写出t的取值范围（用含n的式子表示）．

参考答案一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.【答案】B【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，熟练掌握“最简二次根式需满足被开方数不含分母且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式”是解题的关键．依据最简二次根式的定义，从“被开方数不含分母” “被开方数中不含能开得尽方的因数或因式”这两个条件出发，逐一分析每个选项．【详解】解：选项A：，被开方数含有分母，不是最简二次根式，可化简为．选项B：，被开方数不含分母，且是不能开得尽方的数，符合最简二次根式的定义，是最简二次根式．选项C：，被开方数含有分母，不是最简二次根式，可化简为．选项D：，，被开方数是能开得尽方的数，不是最简二次根式，化简后为．故选B．2.【答案】D【分析】依据函数的定义，对于的每一个确定的值，判断是否有唯一确定的值与之对应，来逐一分析选项．本题主要考查了函数的定义，熟练掌握“在一个变化过程中，对于自变量的每一个确定的值，因变量都有唯一确定的值与之对应，就是的函数”是解题的关键．【详解】解：选项A：对于，给定一个的值，通过计算能得到唯一确定的值，所以是的函数．选项B：对于，任意给定一个的值，的结果唯一确定，即有唯一值对应，所以是的函数．选项C：对于，在（即）的范围内，给定一个的值，能得出唯一确定的值，所以是的函数．选项D：对于，当取一个非正数的值时（因为右边），比如，则，，即一个值对应两个值，不满足函数定义中“有唯一确定值对应”的要求，所以不是的函数．故选D．3.【答案】B【分析】由平行四边形的性质得出∠ABC＝∠ADC＝80°，由，即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC＝80°，∵∠ADB＝25°，∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝80°﹣25°＝55°，故选：B．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．4.【答案】C【分析】勾股定理求出AB，根据直角三角形斜边中线的性质得到OP的长．【详解】解：∵，B（0，3），∴OA=4，OB=3，∴，∵P为线段AB的中点，∴OP==，故选：C．【点睛】此题考查了勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，正确掌握勾股定理求出AB是解题的关键．5.【答案】A【分析】根据直线和直线相交于点，即可确定方程组，直接求解即可．【详解】解：根据题意，可得方程组，根据函数图像与方程组解的关系可知，函数图像的交点坐标就是联立函数解析式构成的方程组的解，则根据直线和直线相交于点得，故选：A．【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握两者之间的关系：函数图像的交点坐标就是联立函数解析式构成的方程组的解是解题的关键．6.【答案】A【分析】通过计算一元二次方程的判别式，根据的值判断方程根的情况．若，方程有实数根；若，方程有两个不相等实数根．本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握“一元二次方程的根的情况由判别式决定，时有实数根，时有两个不相等实数根”是解题的关键．【详解】解：对于一元二次方程，其中，，．∴判别式．∴方程有两个实数根．故选A．7.【答案】B【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答．【详解】解：A、，不能组成三角形，故此选项不符合题意；B、，，，是直角三角形，故此选项符合题意；C、，是等腰三角形，不一定是直角三角形，故此选项不符合题意；D、，，，不是直角三角形，故此选项不符合题意；故选：B．8.【答案】B【分析】本题主要考查了平均数、中位数的统计概念及应用，熟练掌握“平均数的加权计算、中位数的确定方法（根据数据个数找到中间位置对应的区间）”是解题的关键．分别根据平均数、中位数的计算方法和定义，对四个推断逐一进行分析判断，需要结合表格数据和相关统计概念来验证每个推断是否合理．【详解】解：推断①：先计算男生的总服务时长和女生的总服务时长（可通过人均时长估算），男生人均，人数；女生人均，人数．∴这400名学生志愿服务时长的平均数，∴可判断这名学生志愿服务时长的平均数在~之间，该推断合理．推断②：个数据，中位数是第和个数据的平均数．统计各时间段人数：有人；有人；前两个时间段共人；有人，累计人，说明第和个数据在这个区间，∴中位数在~之间，该推断合理．推断③：设的初中生人数为，则初中生总人数为．无论是多少（为非负整数），将初中生数据排序后，中位数位置对应的区间一定在，∴初中生志愿服务时长的中位数一定在~之间，该推断合理．推断④：设初中生人数为，则高中生人数为．由于不确定，高中生各时间段人数分布不确定，其数据排序后中位数可能不在~之间，所以说“可能”错误，该推断不合理．综上，合理推断的序号是①②③，故选B．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.【答案】【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数得到，然后解不等式即可．【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，∴，解得，故答案为：．10.【答案】40【分析】根据勾股定理，正方形的面积解答即可．本题考查了勾股定理，正方形的面积，熟练掌握定理是解题的关键．【详解】解：根据题意，得，且，故，故答案为：40．11.【答案】【分析】本题主要考查了比较一次函数的函数值大小，根据解析式可得y随x增大而减小，再由即可得到答案．【详解】解：∵一次函数解析式为，，∴y随x增大而减小，∵点是一次函数图象上的两个点，且，∴，故答案为：．12.【答案】2【分析】根据含30°角的直角三角形的性质求出AB，再根据三角形中位线定理解答即可．【详解】解：在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，则AB＝2BC＝4，∵点M，N分别为AC，BC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴MN＝AB＝2，故答案为：2．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、含30°角的直角三角形的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．13.【答案】【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理，正方形的性质，连接，，交于，此时的值最小，求出长，即可求出答案．能找出符合的点的位置是解此题的关键．【详解】解：如图，连接，，交于，四边形是正方形，，，即和关于对称，，，共线时，最短，即在位置，正方形的边长为3，点在边上，，，，由勾股定理得：，的值最小为．故答案为：．14.【答案】【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，先由菱形的性质得到，再由勾股定理求出的长，进而得到的长，最后根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半求解即可．【详解】解：∵在菱形中，对角线交于点O，∴，∴，∴，∴，故答案为：．15.【答案】5【分析】本题考查了矩形与折叠的问题、勾股定理等知识，熟练掌握矩形与折叠的性质是解题关键．先根据矩形的性质可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得．【详解】解：∵四边形是矩形，且，，∴，由折叠的性质得：，∴，∴，设，则，在中，，即，解得，即，故答案为：5．16.【答案】①③④【分析】本题考查了平行四边形的判定、三角形中位线定理、等腰三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据平行四边形的判定、三角形中位线定理、等腰三角形的性质与判定逐个分析即可判断．【详解】解：①因为，，所以四边形是平行四边形，故①正确；②保持的长度不变，改变的大小，不可使成立，故②错误；③保持的大小不变，改变的长度，使得点E为的中点时，成立，证明如下：∵平分交于点D，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故③正确；④保持的大小不变，改变的长度，连接，当时，四边形为平行四边形，证明如下：∵，平分，∴，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，∴，∴四边形为平行四边形，故④正确；∴综上所述，所有的正确结论是①③④．故答案为：①③④．三、解答题（本题共60分，第17题6分，第18-24题每题5分，第25题6分，第26题7分，第27题6分）17.【答案】（1）（2）【分析】（1）根据二次根式乘除运算法则，按照从左到右的顺序，进行计算即可得到结论；（2）根据平方差公式，再根据实数运算法则求解即可得出结论．【小问1详解】解：；【小问2详解】解：．【点睛】本题考查二次根式的运算，涉及到二次根式的加减乘除相关运算法则及平方差公式，熟练掌握相关运算法则及运算顺序是解决问题的关键．18.【答案】，【分析】本题主要考查解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：解得，．19.【答案】见解析．【分析】由平行四边形的性质得，，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论．【详解】证明：∵四边形是平行四边形，∴，，∵，∴，即，又∵，∴四边形是平行四边形，∴．【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明是解题的关键．20.【答案】（1）见解析（2）①OC②对角线互相平分的四边形是平行四边形③有一个角是直角的平行四边形是矩形【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可．【小问1详解】解：作图如图所示．【小问2详解】证明∶∵OA=OB，OC=OD，∴四边形ACBD是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)，∵∠ACB=90°，∴四边形ACBD是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)．故答案为∶①OC②对角线互相平分的四边形是平行四边形③有一个角是直角的平行四边形是矩形．【点睛】本题考查作图一复杂作图，平行四边形的判定和性质，矩形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本作图．21.【答案】小道的宽度为【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．设小道的宽度为，根据栽种鲜花区域的面积为列一元二次方程，求出符合题意得x值即可．【详解】解：设小道的宽度为，，解得：或（舍去），答：小道的宽度为．22.【答案】（1）（2）且【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象平行的条件，利用数形结合的思想是解决本题的关键．（1）将代入，先求出k，再将和k的值代入即可求出b；（2）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当时，对于的每一个值，直线的图象在直线的上方，在的下方，画出临界状态图象分析即可．【小问1详解】解：函数与的图象交于点，∴，解得；【小问2详解】解：由（1）得：，，如图，记，当时，，即在的图象上，当过时，，要满足当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，即函数与的交点在点及点左侧，即，如图，当函数的图象平行函数的图象时，，此时满足：当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，综上：当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，的取值范围为：且．23.【答案】（1）见详解（2）【分析】（1）证是的中位线，得，再证四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论；（2）证是等腰直角三角形，得，则，过D作于点M，则是等腰直角三角形，得，然后由勾股定理得，即可解决问题．【小问1详解】证明：∵四边形是平行四边形，，∵点E为的中点，是的中位线，，，四边形是平行四边形，，，平行四边形为矩形；【小问2详解】解：如图，过点作，交于，，是等腰直角三角形，，四边形是平行四边形，，，，是等腰直角三角形，，，，，，．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定及性质、三角形中位线定理、平行四边形的性质、矩形的判定、勾股定理，掌握判定方法及性质是解题的关键．24.【答案】（1）①30；②200人（2）甲、乙、丙【分析】本题考查了扇形统计图，样本估计总体，求平均数和方差，熟练掌握以上知识点是解题的关键．（1）①根据C等级有10人，扇形图中C等级区域所对应的扇形的圆心角的度数是，进行求解即可；②先根据样本容量计算出A等级人数，然后利用样本估计总体的公式进行计算即可；（2）分别求得方差与平均数，即可求解．【小问1详解】解：①C等级有10人，扇形图中C等级区域所对应的扇形的圆心角的度数是，∴样本容量为；故答案为：30；②（人），∴1200名学生中A等级的人数（人）；【小问2详解】解：，，，，，∴，∵平均分高的同学排序靠前，平均分相同时方差较小的同学排序靠前，∴由前到后的排序为：甲、乙、丙．故答案为：甲、乙、丙．25.【答案】（1）（2）见解析（3）①25；②【分析】本题主要考查了从函数图象中获得信息，画函数图象，求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法．（1）根据表格中的数据求出