2025北京十三中分校初二（上）开学考数学试题及答案

初中2025北京十三中分校初二（上）开学考数学考生须知1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷共2页，第Ⅱ卷共4页．2．本试卷满分100分，考试时间50分钟．3．在试卷（包括第Ⅰ卷和第Ⅱ卷）密封线内准确填写学校、班级、姓名、学号．4．考试结束，将试卷及答题纸一并交回监考老师．第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共8小题，每题3分，共24分．）1.下列实数中，是无理数的是（）A. B. C. D.2.在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（）．A.(1，3) B.(1，－3) C.(－1，3) D.(－1，－3)3.一个三角形的两边长分别为7和4，若第三条边的长为x，则x的值可能是（）A.1 B.2 C.8 D.124.如图，直线，平分，，则的度数是（）A. B. C. D.5.2025年，北京市在“十四五”规划框架下，将加速推进人工智能、量子信息、人形机器人等前沿科技领域的创新发展．其中，海淀区量子产业园计划于下半年面向中学生举办“未来科技开放日”活动，预计将吸引大批学生及家长参与．为确保活动顺利开展，主办方需提前完成多项调研与检测工作．以下工作最适合采用全面调查的是（）A.开始活动前，了解海淀区初中学生中，有多少人知道“量子通信”概念B.活动当天，对进入展区的人员进行安全检查C.活动当天，统计到访的中学生对“天工人形机器人”展区的喜爱程度D.活动结束后，了解参观者对展区讲解内容的满意程度6.若实数，，在数轴上对应位置如图所示，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.7.为备战区级春季田径运动会、李明和王华踊跃参加了学校运动队“100米短跑”项目的集中训练．本次集训共5期，每期训练后会对运动员100米短跑的情况进行测试，旨在通过科学系统的训练方法和定期的成绩监测，帮助运动员突破个人最佳成绩．根据两人每期集训的时间、每期集训后的测试成绩绘制成如下两个统计图．以下四个结论正确的是（）A.5期“100米短跑”集训的时间共计是20天B.第1－3期定期监测，李明始终比王华跑得慢C.相邻两期的监测成绩作比较，李明第3期的成绩较之他第2期进步最大D.每期训练的时间以20天为宜，此时能够帮助运动员达到个人的最好成绩8.已知关于x，y的方程组，给出下面四个结论：①当时，该方程组的解和方程的解相同；②存在有理数，使得；③当时，；④对于任意有理数的值始终不变．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A.①④ B.②③ C.②④ D.③④第Ⅱ卷二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分．）9.4x与7的差不小于6用式子表示为______．10.已知是方程的解，则m的值为________．11.如图，要使，需要添加的一个条件为__________．12.如图，为的中线，，，的周长为，则的周长为________．13.在一次有奖竞答的活动中，组织者对每位选手的答题情况进行统计，小强和小亮的答题情况如图1所示．（1）小亮答对的题数为___________；（2）若用扇形图表示小亮答对题数、答错或不答题数的占比情况，则“答对”所在扇形的圆心角是___________．14.若，则_____________．15.如图，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为，若，则的度数为___________．16.在平面直角坐标系中，已知点．点P是线段上一动点，以O，A，P为顶点的三角形的面积记作．（1）___________（填“存在”或“不存在”）一点，使得；（2）将线段向下平移t个单位长度，若存在一点P，使得，则t的最大值是___________．三、解答题：（本大题共7小题，共52分．其中17，21题，每题6分；18题12分；19，20题7分；22题5分；23题9分）17.计算：．18.解二元一次方程组：（1）；（2）．19.解不等式组并求它的所有整数解．20.完成证明并写出推理根据：已知，如图，，，，于H，求证：．证明：，，，（________________），（________________），又，，____________（________________________），______，又，，______，．（________________________）21.某校七至九年级开展“每周课外阅读情况”调查，对学生某一周课外阅读时间（单位：小时）的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a．七年级一班50名学生该周课外阅读时间如下：阅读时间（小时）学生人数1015187b．七年级二班50名学生该周课外阅读时间的频数分布直方图如下（数据分5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组）：c．七至九年级学生人数扇形统计图：d．七至九年级学生共2000人．根据以上信息，回答下列问题：（1）①补全上面的频数分布直方图；②该校七年级学生共___________人；（2）每班将该周课外阅读时间按从高到低的顺序排在前50%（含）的学生授予“班级阅读之星”称号，若七年级小明同学该周课外阅读时间在七年级一班不能被授予“班级阅读之星”称号，但在七年级二班可以被授予“班级阅读之星”称号，则他的阅读时间满足___________；（填符合要求的序号）A．B．C．D．（3）小亮同学分析数据时发现，七年级一班、二班该周课外阅读时间小于2小时的人数均占班级人数的20%，因此他估计全校该周课外阅读时间小于2小时的人数约为400人，你同意小亮同学的说法吗？说明理由．22.参加学校科普知识竞赛决赛的5名同学A，B，C，D，E在赛后知道了自己的成绩，想尽快得知比赛的名次，大家互相打听后得到了以下消息：（分别以相应字母来对应他们本人的成绩）信息序号文字信息数学表达式1C和D的得分之和是E得分的2倍2B的得分高于D3A和B的得分之和等于C和D的总分4D的得分高于E（1）请参照表中第二条文字信息的翻译方式，在表中写出其它三条文字信息的数学表达式；（2）5位同学的比赛名次依次是__________．（仿照第二条信息的数学表达式用“＞”连接）23.在中，是的角平分线，点在射线上，于点，平分交直线于点．（1）如图1，点在线段上，若，．①；（用含的式子表示）②求证：；（2）如图2，点在的延长线上，交的延长线于点，用等式表示与的数量关系，并证明．

参考答案第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共8小题，每题3分，共24分．）12345678BCCDBBCC第Ⅱ卷二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分．）9.【答案】【分析】直接根据题意列出不等式即可．【详解】解：4x与7的差不小于6用式子表示为，故答案为：．10.【答案】1【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求数的值即可得到答案．【详解】解：∵是方程的解，，解得：，故答案为：1．11.【答案】（答案不唯一）【分析】本题主要考查了平行线的判定．根据平行线的判定定理解答即可．【详解】解：若添加，，可得；若添加，可得；若添加，可得；故答案为：（答案不唯一）12.【答案】【分析】本题考查了三角形的中线，熟练掌握中线的定义是解题的关键；根据中线的定义得到，然后根据的周长可得，然后计算的周长即可．【详解】解：∵为的中线，∴，又∵的周长为，，∴，∴的周长为，故答案为：．13.【答案】①.②.【分析】此题考查而来条形统计图和扇形统计图的信息关联，读懂题意是关键．（1）根据小强答题总数减去小亮打错或不答的题数即可得到答案；（2）利用乘以“答对”的占比即可得到答案．【详解】（1）解：由图1可知，小亮答对的题数为，故答案为：（2），故答案为：14.【答案】7或【分析】本题考查了平方根，根据平方根的定义直接开平方得，即可求出结果．【详解】解：∵，∴，∴或，或．故答案为：7或．15.【答案】【分析】本题考查长方形与折叠，三角形内角和定理以及平行线的性质．由翻折可求出，进而利用平行线的性质（同旁内角互补），求出，即可求出的度数．【详解】解：由折叠的性质可知，，，∴．∵，∴，∴，故答案为：．16.【答案】（1）不存在；（2）5．【分析】本题主要考查平面直角坐标系中三角形面积的计算，点到直线距离，平移变换等知识点，掌握这些知识点和数形结合是解题的关键．（1）以为底计算三角形面积，即可求得P点到是距离，根据题意和图即可判断；（2）根据平移性质和图象数形结合即可．【小问1详解】解：设P点到的距离为h，则，由题意知，所以，又因为点P是线段上一动点，h不可能为1，所以不存在一点，使得；故答案为：不存在；【小问2详解】由（1）知，只要,则，又因为，所以由图可知，将线段向下平移t个单位长度，若存在一点P，使得，则t的最大值是5．故答案为：5．三、解答题：（本大题共7小题，共52分．其中17，21题，每题6分；18题12分；19，20题7分；22题5分；23题9分）17.【答案】【分析】本题考查了二次根式的混合运算，立方根，先计算立方根、去绝对值并化简二次根式，最后合并即可．【详解】解：．18.【答案】（1）（2）【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握求解方法是解题关键．（1）利用代入消元法求解即可；（2）利用加减消元法求解即可．【小问1详解】解：，将①代入②，得，解得，把代入①，得，∴原方程组的解是；【小问2详解】解：，①②得，，解得，把代入②得，，解得：，∴方程组的解是：．19.【答案】它的整数解为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共部分，然后找出整数解，即可求解．【详解】解：，由①得，x≥﹣3，由②得，x＜2，所以，不等式组的解集是﹣3≤x＜2，所以，它的整数解为：﹣3，﹣2，﹣1，0，120.【答案】见解析【分析】本题考查了平行线的判定和性质，求出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，即可求出答案．【详解】证明：∵，，∴，∴（同旁内角互补，两直线平行），∴（两直线平行，内错角相等），又∵，∴，∴（同位角相等，两直线平行），∴，又∵，∴，∴，∴．（垂直的定义）21.【答案】（1）①图见解析；②700（2）B（3）不同意，因为样本不具有代表性【分析】本题考查频数分布表和频数分布直方图，扇形统计图，抽样调查，读懂相关的统计图表是解题的关键．（1）①将全部50人减去其他各组人数，得到第3组的人数，即可补全直方图；②将全校2000人乘以扇形图中七年级的百分比，即可解答；（2）根据七年级一班，二班的阅读时间分析即可解答；（3）根据抽样调查对样本抽取的要求解答即可．【小问1详解】解：①第3组的学生人数为：（人），补全直方图如下：②（人）∴该校七年级学生共700人．故答案为：700【小问2详解】解：观察表格可发现，七年级一班阅读时间在4小时以上的学生有25人，是全班同学的，而在七年级二班阅读时间在4小时以上的学生有人，少于全班同学的，∴小明的阅读时间满足．故选：B【小问3详解】解：不同意小亮同学的说法，因为样本不具有代表性，不能反映出八年级和九年级的情况．22.【答案】（1）见解析（2）【分析】此题考查推理与论证问题，关键是根据题意得出结论解答．（1）根据题意列出数学表达式即可；（2）根据推理得出几位同学的名次即可．【小问1详解】解：填表如下：信息序号文字信息数学表达式1C和D的得分之和是E得分的2倍2B的得分高于D3A和B的得分之和等于C和D的总分4D的得分高于E【小问2详解】解：由（1）得四个代数式①；②；③；④；由①和③得到一个推论⑤，由②④得⑥，由①得⑦，代入④得到，整理得到⑧，由⑤得⑨，把⑦和⑨代入②得，整理得⑩，最后把⑥⑧⑩结合一起，得到．故答案为：．23.【答案】（1）①；②见解析；（2），见解析【分析】（1）①