2021-2022学年浙江省宁波市慈溪市九年级（上）期中数学试卷-带答案详解

2021-2022学年浙江省宁波市慈溪市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）二次函数的顶点坐标是A． B． C． D．2．（4分）下列事件中，是必然事件的是A．抛掷一枚硬币正面向上 B．从一副完整扑克牌中任抽一张，恰好抽到红桃 C．今天太阳从西边升起 D．从4件红衣服和2件黑衣服中任抽3件有红衣服3．（4分）如图，点，，在上，，则的度数是A． B． C． D．4．（4分）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是A． B． C． D．5．（4分）下列语句中，正确的是A．长度相等的两条弧是等弧 B．相等的圆周角所对的弧相等 C．相等的弧所对的圆心角相等 D．平分弦的直径垂直于弦6．（4分）下列二次函数的图象与轴没有交点的是A． B． C． D．7．（4分）的半径为5，是圆外一点，，，则弦的长为A．4 B．6 C． D．88．（4分）如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤⑥中的一个小正方形涂黑，与图中的阴影部分构成轴对称图形的概率是A． B． C． D．9．（4分）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，它的对称轴为直线．则下列选项中正确的是A． B． C． D．10．（4分）如图，用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为，设经过图中、、三点的圆弧与交于，则图中阴影部分面积A． B． C． D．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）二次函数的图象开口方向：，对称轴为．12．（5分）粉笔盒中有10支白色粉笔和若干支彩色粉笔，每支粉笔除颜色外均相同，从中随机拿一支粉笔，拿到白色的概率为，则其中彩色粉笔的数量为支．13．（5分）一根排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，则截面圆心到水面的距离的长是．14．（5分）函数的图象经过向左平移2个单位，向下平移1个单位，得到的新函数表达式为．15．（5分）一条弦分圆周为，则这条弦所对的圆周角的度数为．16．（5分）如图，在以为直径的半圆中，是半圆的三等分点，点是弧上一动点，连接，，作垂直交于，连接，若，则的最小值是．三、解答题（本大题共8小题，共80分）17．（8分）已知二次函数的图象经过，，三点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求这个二次函数的顶点坐标．18．（8分）如图，在中，．（1）请用无刻度直尺和圆规画出的外接圆；（不写作法，保留作图）（2）若，，求的外接圆的面积．19．（8分）城市小区生活垃圾分为干垃圾、湿垃圾、有害垃圾和可回收垃圾四种不同的类型．（1）甲投放了一袋垃圾，恰好是湿垃圾的概率是．（2）甲、乙分别投放了一袋垃圾，利用树状图或列表求恰好是同一类型垃圾的概率．20．（8分）如图，，，是上的点，其中，过点画．于点．（1）求证：．（2）若，，求的长和图中涂色部分的面积．21．（10分）某经销商销售一种成本价为100元件的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于180元件．在销售过程中发现销量与售价（元之间满足一次函数关系，对应关系如下表所示：120140150170360320300260（1）求与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围．（2）设销售这种商品每天所获得的利润为元，求与之间的函数表达式；该商品销售单价定为多少元时，才能使经销商所获利润最大？最大利润是多少？22．（10分）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为，拱高为．（1）求拱桥的半径．（2）有一艘宽为的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥？并说明理由．23．（12分）如图，抛物线的图象与轴正半轴交于点，与轴交于点，直线的函数表达式为．（1）求抛物线的函数表达式；（2）动点在抛物线段上运动，经过点作轴的平行线交直线于点，求线段的取值范围．24．（14分）如图1，在中，弦平分圆周角，我们将圆中以为公共点的三条弦，，构成的图形称为圆中的“爪形”，弦，，称为“爪形”的爪．（1）如图2，四边形内接于圆，．①证明：圆中存在“爪形”；②若，求证：．（2）如图3，四边形内接于圆，其中，连接．若，此时“爪形”的爪之间满足怎样的数量关系，请直接写出结果．

2021-2022学年浙江省宁波市慈溪市九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）二次函数的顶点坐标是A． B． C． D．【分析】根据题目中的函数解析式可以直接写出该函数的顶点坐标，本题得以解决．【解答】解：二次函数，该函数的顶点坐标为，故选：．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．2．（4分）下列事件中，是必然事件的是A．抛掷一枚硬币正面向上 B．从一副完整扑克牌中任抽一张，恰好抽到红桃 C．今天太阳从西边升起 D．从4件红衣服和2件黑衣服中任抽3件有红衣服【分析】必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可判断．【解答】解：、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，选项不合题意；、从一副完整扑克牌中任抽一张，恰好抽到红桃，是随机事件，选项不合题意；、今天太阳从西边升起，是不可能事件，选项不合题意；、从4件红衣服和2件黑衣服中任抽3件有红衣服，是必然事件，选项符合题意．故选：．【点评】本题考查了必然事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．3．（4分）如图，点，，在上，，则的度数是A． B． C． D．【分析】直接利用圆周角定理求解．【解答】解：和都对，．故选：．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．4．（4分）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是A． B． C． D．【分析】分别计算自变量为、0、3对应的函数值，然后比较函数值的大小．【解答】解：点，，都在二次函数的图象上，；，，所以．故选：．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．5．（4分）下列语句中，正确的是A．长度相等的两条弧是等弧 B．相等的圆周角所对的弧相等 C．相等的弧所对的圆心角相等 D．平分弦的直径垂直于弦【分析】根据等弧的定义对进行判断；根据圆周角定理对、进行判断；根据垂径定理对进行判断．【解答】解：、长度相等的两条弧不一定为等弧，所以选项错误；、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所以选项错误；、相等的弧所对的圆心角相等，所以选项正确；、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以选项错误．故选：．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．6．（4分）下列二次函数的图象与轴没有交点的是A． B． C． D．【分析】将，选项解析式化为交点式，将，选项解析式化为顶点式求解．【解答】解：，抛物线与轴有交点，选项不符合题意．，抛物线与轴有交点，选项不符合题意．，抛物线与轴有交点，选项不符合题意．，抛物线与轴有交点，选项符合题意．故选：．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的三种解析式．7．（4分）的半径为5，是圆外一点，，，则弦的长为A．4 B．6 C． D．8【分析】过作于，连接，根据含角的直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，再根据垂径定理得出，最后求出答案即可．【解答】解：过作于，连接，则，，，，在中，由勾股定理得：，，过，，即，故选：．【点评】本题考查了含角的直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理等知识点，能熟记垂直于弦的直径平分弦是解此题的关键．8．（4分）如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤⑥中的一个小正方形涂黑，与图中的阴影部分构成轴对称图形的概率是A． B． C． D．【分析】由随机选择标有序号①②③④⑤⑥中的一个小正方形涂黑，共有6种等可能的结果，使与图中阴影部分构成轴对称图形的有3种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：在序号①②③④⑤⑥中的一个小正方形涂黑，有6种等可能结果，其中与图中的阴影部分构成轴对称图形的有②③④这3种结果，所以与图中的阴影部分构成轴对称图形的概率为，故选：．【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．也考查了轴对称图形的定义．9．（4分）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，它的对称轴为直线．则下列选项中正确的是A． B． C． D．【分析】由图象开口向上，可知，与轴的交点在轴的上方，可知，根据对称轴方程得到，于是得到，故错误；根据二次函数的图象与轴的交点，得到，求得，故错误；根据对称轴方程得到，当时，，于是得到，故正确；当时，，，于是得到，即，故错误．【解答】解：由图象开口向上，可知，与轴的交点在轴的上方，可知，又对称轴方程为，所以，所以，，故错误；二次函数的图象与轴交于，两点，，，故错误；，，当时，，，，故正确；当时，，，，，，，故错误，故选：．【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键．10．（4分）如图，用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为，设经过图中、、三点的圆弧与交于，则图中阴影部分面积A． B． C． D．【分析】连接，，．首先证明是等腰直角三角形，利用扇形公式计算即可解决问题．【解答】解：连接，，．，，，，是等腰直角三角形，，，是圆的直径，，，，弧所对的圆心角为，半径，图中阴影部分面积，故选：．【点评】本题主要考查的是扇形面积的计算、等腰直角三角形的判定，锐角三角函数的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）二次函数的图象开口方向：向上，对称轴为．【分析】利用的符号和对称轴公式可得答案．【解答】解：，，图象的开口方向向上，对称轴为直线，故答案为：向上、直线，【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系以及对称轴公式，准确理解图象与系数的对应关系是解决问题的关键．12．（5分）粉笔盒中有10支白色粉笔和若干支彩色粉笔，每支粉笔除颜色外均相同，从中随机拿一支粉笔，拿到白色的概率为，则其中彩色粉笔的数量为15支．【分析】用白色粉笔的数量除以对应概率求出总支数，再减去白粉笔数量即可．【解答】解：根据题意知，粉笔总数量为（支，则彩色粉笔的数量为（支，故答案为：15．【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．13．（5分）一根排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，则截面圆心到水面的距离的长是．【分析】根据垂径定理求出，根据勾股定理求出即可．【解答】解：，过圆心点，，在中，由勾股定理得：，故答案为：．【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，掌握垂径定理，勾股定理．14．（5分）函数的图象经过向左平移2个单位，向下平移1个单位，得到的新函数表达式为．【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律平移则可解答．【解答】解：由得到：．所以按照“左加右减，上加下减”的规律，把函数的图象向左平移2个单位，向下平移1个单位，所得到的新函数的表达式是．即：．故答案是：．【点评】本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．15．（5分）一条弦分圆周为，则这条弦所对的圆周角的度数为或．【分析】先画出两种图形，求出两条弧的度数，求出圆心角的度数，再求出圆周角度数即可．【解答】解：分为两种情况：①当点在优弧上时，如图，连接、，弦分圆周为，优弧的度数是，劣弧的度数是，，；②当点在劣弧上时，；故答案为：或．【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键．16．（5分）如图，在以为直径的半圆中，是半圆的三等分点，点是弧上一动点，连接，，作垂直交于，连接，若，则的最小值是．【分析】如图，连接，．证明点在上，运动轨迹是，过点作于．求出，，可得结论．【解答】解：如图，连接，．是半圆的三等分点，，，是等边三角形，作的外接圆，连接，，．，，，，，，，点在上，运动轨迹是，过点作于．在中，，，，，在中，，，，的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查点与圆的位置关系，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，轨迹等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题．三、解答题（本大题共8小题，共80分）17．（8分）已知二次函数的图象经过，，三点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求这个二次函数的顶点坐标．【分析】（1）利用待定系数法求得即可；（2）把（1）中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质即可得到二次函数图象的顶点坐标．【解答】解：（1）设二次函数的解析式为，图象过点，，，二次函数的解析式为；（2），抛物线的顶点坐标为．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．18．（8分）如图，在中，．（1）请用无刻度直尺和圆规画出的外接圆；（不写作法，保留作图）（2）若，，求的外接圆的面积．【分析】（1）利用圆周角定理得到为的外接圆的直径，作的垂直平分线得到的中点，然后以点为圆心，为半径作圆即可；（2）先利用勾股定理计算出的长，从而得到的外接圆半径，然后根据圆的面积公式计算．【解答】解：（1）如图，为所作；（2），，，，的外接圆半径，的外接圆的面积．【点评】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形的外心．19．（8分）城市小区生活垃圾分为干垃圾、湿垃圾、有害垃圾和可回收垃圾四种不同的类型．（1）甲投放了一袋垃圾，恰好是湿垃圾的概率是．（2）甲、乙分别投放了一袋垃圾，利用树状图或列表求恰好是同一类型垃圾的概率．【分析】（1）由于共有4种类型的垃圾，其中有1种是湿垃圾，按照概率计算方法求概率即可；（2）按题意列出树状图，由图可知共有16种可能的情况，其中甲、乙两人投放同一类垃圾的4种情况，最后求概率即可．【解答】解：（1）共有4种类型的垃圾，其中有1种是湿垃圾，甲投放了一袋垃圾，恰好是湿垃圾的概率是．故答案为：．（2）记这四类垃圾为，，，，所以投放同一类垃圾的概率．【点评】本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．20．（8分）如图，，，是上的点，其中，过点画．于点．（1）求证：．（2）若，，求的长和图中涂色部分的面积．【分析】（1）延长交圆与．证明，可得结论；（2）连接，设半径为，利用勾股定理求出，可得结论．【解答】（1）证：延长交圆与．，，，．（2）解：连接，设半径为，，，，，得，，．弧的长．涂色部分的面积．【点评】本题考查扇形的面积，弧长公式，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是掌握垂径定理，学会利用勾股定理构建方程解决问题．21．（10分）某经销商销售一种成本价为100元件的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于180元件．在销售过程中发现销量与售价（元之间满足一次函数关系，对应关系如下表所示：120140150170360320300260（1）求与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围．（2）设销售这种商品每天所获得的利润为元，求与之间的函数表达式；该商品销售单价定为多少元时，才能使经销商所获利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）根据一次函数过，，可求出函数关系式，然后验证其它数据是否符合关系式，进而确定函数关系式；（2）先求出总利润与的函数关系式，再依据函数的增减性和自变量的取值范围确定何时获得最大利润，但应注意抛物线的对称轴，不能使用顶点式直接求．【解答】解：（1）设关系式为，把，，代入得：，解得．故与的之间的函数关系式为，的取值范围为：；（2），，抛物线开口向下，对称轴为，在对称轴的左侧，随的增大而增大，，，随增大而增大，当时，利润最大，最大利润为19200元．【点评】本题考查一次函数、二次函数的性质，求出相应的函数关系式和自变量的取值范围是解决问题的关键，在求二次函数的最值时，注意自变量的取值范围，容易出错．22．（10分）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为，拱高为．（1）求拱桥的半径．（2）有一艘宽为的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥？并说明理由．【分析】（1）根据垂径定理和勾股定理求解；（2）连接，，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）如图，连