2025-2026学年江苏省盐城市东台市第二教育联盟九年级（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年江苏省盐城市东台市第二教育联盟九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列函数是二次函数的是（）A.y=3x+1 B.y=3x C.y=3x2 D.2.下列各组图形一定相似的是（）A.两个直角三角形 B.两个菱形 C.两个矩形 D.两个等边三角形3.已知线段a、b、c,其中c是a、b的比例中项，若a=8cm,b=2cm,则线段c长（）A.4cm B.8cm C.2cm D.16cm4.下列说法正确的是（）A.从一副扑克牌中任意抽取1张，抽到“A”是随机事件

B.了解一批电视机的使用寿命适合采用普查

C.要反映一周内每天气温的变化情况适宜采用扇形统计图

D.抛掷一枚硬币，正面朝上是必然事件5.函数y=xm+1是关于x的二次函数，则m的值为（）A.-1 B.0 C.1 D.26.如图，AF、CG为△ABC的中线且交于点O，过点O作BC的平行线，交AB于D，交AC于E，若AC=9，则CE长为（）A.3

B.6

C.4

D.57.如图，AB是⊙O的弦，半径OA=2，∠AOB=120°，则弦AB的长是（）A.

B.

C.

D.8.如图所示的网格是正方形网格，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，则∠ACD的正弦值是（）A.1

B.

C.

D.二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。9.用配方法解方程x2+6x+3=0，方程可化为（x+3）2=m,则m=

.10.在△ABC中，AB=5，∠C=60°，那么AC+2BC的最大值为

.11.如图，点E是▱ABCD内一动点，且∠AEB=90°，AB=4，BC=6.连接CE，分别取CD、CE的中点M、N，连接MN.若∠BAD=120°，则线段MN长度的最小值为

.12.如图，A、B、C、D在⊙O上，AB=BC=DA，AD、BC的延长线交于点P，且∠P=40°，则弧CD的度数为______．

13.荆州市拟实施“引进人才”招聘考试，招聘考试分笔试和面试，其中笔试按60%、面试按40%计算总成绩.如果小张笔试成绩为80分，面试成绩为90分，那么小张的总成绩为

分.14.盐城，一个让人打开心扉的地方，2024年盐城的空气质量指数优良率持续保持在全国前列.下列数据是2024年某一周盐城的空气质量指数：53，41，27，28，32，28，40，则这组数据的中位数是

.15.东台鱼汤面是“中华名小吃”.如图，是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底O为原点建立平面直角坐标系，已知碗口BC宽28cm,碗深OA=9.8cm,则当满碗汤面的竖直高度下降4.8cm时，碗中汤面的水平宽度为

cm（碗的厚度不计）.16.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，已知，AB=20.则∠ABD=

.

三、计算题：本大题共1小题，共9分。17.解方程：x2-2x-2=0．四、解答题：本题共10小题，共93分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。18.(本小题9分)

如图，AB是⊙O的直径，点A，B，C，D在⊙O上，∠ABC=53°，求∠CDB的度数.19.(本小题9分)

如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．

（1）求证：CD与⊙O相切；

（2）若正方形ABCD的边长为1，求⊙O的半径．20.(本小题9分)

如图，AB、AC分别是半⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，过点A作半⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC并延长与AB的延长线交于点F．

（1）求证：PC是半⊙O的切线；

（2）若∠CAB=30°，AB=6，求由劣弧AC、线段AC所围成图形的面积S．21.(本小题9分)

小明参加某个竞答节目，答对两道单选题就顺利通关.第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项.这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一道题的1个错误选项）：

（1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率为______；

（2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用画树状图或列表的方法来求小明顺利通关的概率；

（3）从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”？22.(本小题9分)

已知二次函数y=x2-2x-3.

（1）求该二次函数图象与x轴、y轴的交点；

（2）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数y=x2-2x-3的图象；

（3）结合函数图象，直接写出当-4≤y≤0时，x的取值范围.23.(本小题9分)

如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（-1，0），B（3，0）两点.

（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）当0＜x＜3时，请直接写出y的取值范围；

（3）点P为抛物线上的一点，若S△PAB=10，求出此时点P的坐标.24.(本小题9分)

如图1，抛物线y1=ax2-3x+c的图象与x轴的交点为A和B，与y轴交点为D（0，4），与直线y2=-x+b交点为A和C，且OA=OD.

（1）求抛物线的解析式和b值；

（2）在直线y2=-x+b上是否存在一点P，使得△ABP是等腰直角三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由；

（3）将抛物线y1图象x轴上方的部分沿x轴翻折得一个“M”形状的新图象（如图2），若直线y3=-x+n与该新图象恰好有四个公共点，请求出此时n的取值范围.

25.(本小题9分)

定义：平面直角坐标系xOy中，点P（a,b），点Q（c,d），若c=kb,d=-ka,其中k为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级垂变点”.例如，点（6，-4）是点（2，3）的“2级垂变点”.

（1）函数的图象上是否存在点（1，2）的“k级垂变点”？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；

（2）动点A（t,-2t+1）与其“k级垂变点”B分别在直线l1，l2上，直线l2分别与x轴和y轴交于点C、点D；

①若直线l1，l2与y轴围成的图形面积是5，求k的值；

②若关于x的二次函数的图象经过点C和点D，该二次函数的图象与x轴的另一个交点是点E，当该二次函数的顶点落在直线l1上并且满足OC=2OE时，求k的值.26.(本小题9分)

一场暴风雨后，小明家的一扇拱形窗户受损严重，窗框变形需要更换.小明同学参考了一些类似形状的窗框设计，绘制了如图1所示的图形.该图形为轴对称图形，曲线ADB是抛物线的一部分，点O、C和最高点D在同一条直线上.已知AB=120cm,OC=30cm,DC=78cm,点E、F在抛物线上，且关于OD对称，∠BCO=∠BCF.

（1）根据上述信息，请以点O为原点，以AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，并求曲线ADB所在抛物线的关系式；

（2）根据窗框设计图和相关数据，小明同学利用勾股定理计算出了窗棱BC的长，在计算窗棱CF的长时犯了难，请你帮助小明完成计算；

（3）窗框设计完成后，需要定制特殊形状的玻璃，对于图1中ECFD形状的玻璃，工人师傅需要在矩形玻璃中切割出来，现有两种切割方案：

【方案一】在矩形PQMN中切割掉阴影部分（如图2），其中边PN，QM分别在过点C，D作的水平线上，边PQ，NM分别在过点E，F作的铅垂线上；

【方案二】在矩形WRST中切割掉阴影部分（如图3），其中边RS与CF重合，边WT、ST与抛物线有且仅有一个公共点（即边WT、ST刚好贴在抛物线的边缘），边WR经过点E.

本着节约的原则，请你帮小明计算哪种切割方案更节省材料.27.(本小题12分)

为了激发学生对诗词的热情，传承优秀文化，某校开展了诗词知识竞赛活动，竞赛结束后从八年级和九年级参赛学生的成绩（满分100分）中各随机抽取了10名学生的成绩，并进行整理，绘制了如下统计图表：平均数中位数方差八年级a95九年级92.5b根据以上信息，解答下列问题：

（1）表格中的a=______，b=______，______（填“＞”“＜”或“=”）；

（2）根据以上数据，你认为该校八、九年级哪个年级的学生诗词知识掌握较好？请说明理由；

（3）该校八年级300名学生和九年级200名学生参加了本次诗词知识竞赛，得分90分及以上为“优秀”等级，请估计八、九年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数.

1.【答案】C

2.【答案】D

3.【答案】A

4.【答案】A

5.【答案】C

6.【答案】A

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】6

10.【答案】

11.【答案】

12.【答案】30°

13.【答案】84

14.【答案】32

15.【答案】20

16.【答案】15°

17.【答案】解：移项得x2-2x=2，

配方得x2-2x+1=2+1，

即（x-1）2=3，

开方得x-1=±．

解得x1=1+，x2=1-．

18.【答案】37°．

19.【答案】解：（1）证明：连接OM，过O作ON⊥CD于N；

∵⊙O与BC相切，

∴OM⊥BC，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AC平分∠BCD，

∴OM=ON，

∴CD与⊙O相切；

（2）∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=CD=1，∠B=90°，∠ACD=45°，

∴AC=，∠MOC=∠MCO=45°，

∴MC=OM=OA，

∴OC=；

又∵AC=OA+OC，

∴OA+OA=，

∴OA=2-，

即⊙O的半径为2-.

20.【答案】（1）证明：连接OC，

∵PA是半⊙O的切线，A为切点，

∴∠OAP=90°，

∵OD⊥AC，OD经过圆心O，

∴CD=AD，

∴OP是AC的垂直平分线，

∴PC=PA，

∵OC=OA，OP=OP，

∴△OCP≌△OAP（SSS），

∴∠OCP=∠OAP=90°，

∵OC是⊙O的半径，

∴PC是⊙O的切线；

（2）解：∵AB是⊙O的直径，AB=6，

∴OA=OB=3，

∵∠ADO=90°，∠CAB=30°，

∴OD=OA=，

∴AC=2AD=，

∴S△AOC=AC•OD=，

∵∠CAB=30°，

∴∠COB=2∠CAB=60°，

∴∠AOC=180°-60°=120°，

∴S扇形AOC=，

∴S=S扇形AOC-S△AOC=．

21.【答案】

建议小明在第一题使用“求助”

22.【答案】解：（1）当y=0时，x2-2x-3=0，

解得x1=-1，x2=3；

∴抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0）；

当x=0时，y=x2-2x-3=-3，

∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，-3）；

（2）∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，

∴抛物线的顶点坐标为（1，-4），

如图，

（3）当y=-4时，x=1，

当y=0时，x1=-1，x2=3，

∴当-4≤y≤0时，x的取值范围为-1≤x≤3．

23.【答案】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过A（-1，0），B（3，0）两点．

∴抛物线解析式为y=（x+1）（x-3），

即y=x2-2x-3；

∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，

∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）；

（2）当x=0时，y=x2-2x-3=-3，

当x=3时，y=0，

而x=1时，y有最小值-4，

∴当0＜x＜3时，y的取值范围为-4≤y＜0；

（3）设P（t,t2-2t-3），

∵S△PAB=10，

∴×（3+1）×|t2-2t-3|=10，

即t2-2t-3=5或t2-2t-3=-5，

解方程t2-2t-3=5，

解得t1=-2，t2=4，

此时P点坐标为（-2，5）或（4，5）；

方程t2-2t-3=-5没有实数解，

综上所述，P点坐标为（-2，5）或（4，5）．

24.【答案】解：（1）∵D（0，4），

∴OD=4，

∵OA=OD，点A在x的负半轴上，

∴A（-4，0），

把A（-4，0），D（0，4）分别代入y1=ax2-3x+c,得，

解得：，

∴该抛物线的解析式为y1=-x2-3x+4，

把A（-4，0）代入y2=-x+b,得4+b=0，

解得：b=-4；

（2）存在．

在y1=-x2-3x+4中，令y1=0，得-x2-3x+4=0，

解得：x1=-4，x2=1，

∴B（1，0），

如图1，设直线y2=-x-4与y轴交于点G，

则G（0，-4），

∴OG=4，

∵A（-4，0），

∴OA=4，

∴OA=OG，

∴△AOG是等腰直角三角形，

∴∠BAC=45°，

当∠APB=90°时，如图1，过点P作PH⊥x轴于点H，

∵∠BAP=45°，∠APB=90°，

∴∠ABP=45°=∠BAP，

∴PA=PB，即△ABP是等腰直角三角形，

∵PH⊥AB，

∴AH=BH，即H是AB的中点，

∴H（-，0），

∴点P的横坐标为-，

当x=-时，y2=-（-）-4=-，

∴P1（-，-）；

当∠ABP=90°时，则∠APB=∠BAP=45°，

∴BP=AB=5，

∴P2（1，-5）；

综上所述，在直线y2=-x-4上存在点P使得△ABP是等腰直角三角形，点P的坐标为（-，-）或（1，-5）；

（3）∵y1=-x2-3x+4=-（x+）2+，

∴抛物线y1=-x2