2025-2026学年下学期陕西商洛高三数学3月一模试卷（含答案）

商洛市2026年高三年级第一次模拟考试数学考生注意:1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。4．本卷命题范围:高考范围。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设集合A={1,2A.{1}B.{1,2.若复数z满足z−5z=−3iA.−32iB.−33.已知椭圆C:x22m+y2m+2=1，则A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若某社交APP的用户数每月增长10%，则用户数从100万户增加到1000万户需要的时间约为lgA.15月B.25月C.35月D.45月5.在2x2−1xn的展开式中,仅有第A.5B.4C.3D.26.记抛物线E:y2=2pxp>0的焦点为F，P2p4,ttA.23B.34C.47.已知函数fx=sinωx+φω>0,0<φ<π2的最小正周期为T,若fx≤fA.6,28C.0,38.在四棱锥P−ABCD中，△PAB是以AB为斜边的等腰直角三角形,AB//CD,AB=6,CD=8，cos∠ADC=210.A.25πB.85πC.100πD.500π二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。9.有一组样本数据x1,x2,⋯,x8,其平均数为4,方差为s12,中位数为m.在这组数中,去掉一个最大的数6和一个最小的数2,余下6个数据的中位数为nA.m=nB.t<410.已知函数fx=A.曲线y=fx关于直线B.fx的极大值为C.存在xD.fx11.已知集合P=x,y∣x−cosθ2+y−sinθ2=4,0A.CDB.ACC.集合P中的点到原点距离的最大值为3D.白色“水滴”图形的面积是11三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.已知向量a=0,1,b=2,x，若a与13.已知α∈0,π,且2cos14.在学习完“错位相减法”后，善于观察的同学发现对于“等差×等比数列”此类数列求和，也可以用“裂项相消法”求解,例如an=n+1⋅2n=−n+1⋅2n−−n⋅2n+1,故an的前n项和Sn=a1四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(本小题满分13分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a(1)求tanC(2)若c=4，求△16.(本小题满分15分)为研究甲、乙两种治疗方案的疗效，从选择甲、乙方案进行治疗的患者中随机抽取2000名得到如下列联表:效果明显效果不明显合计甲方案10002001200乙方案600200800合计16004002000(1)根据小概率值α=0.001(2)在800名选择乙方案的患者中按效果是否明显用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8名患者中随机抽取4人，设X表示4名患者中效果不明显的人数，求X的分布列和数学期望.附:χ2α0.10.010.001x。2.7066.63510.82817.(本小题满分15分)如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形커膜ABCD是直角梯形，AD⊥CD，BC⊥CD，E为AD的中点，(1)求证:BE⊥平面PAD(2)求直线PC与平面PBE所成的角的正弦值；(3)求平面PAB与平面PBE所成二面角的正弦值.18.(本小题满分17分)已知双曲线C:x2a2−y(1)求C的方程；(2)记C的左、右焦点分别为F1，F2，点P是C上的一点，直线PF1与C交于另一点M，直线PF2与C交于另一点N,设PF1(3)直线y=2x+m与C交于A，B两点，点G在C上，且OG=2OA+tOB19.(本小题满分17分)已知函数fx(1)若a=1，求证:f(2)若a=0，求证:fx在(3)若不等式fx≥2−cosx对任意的x∈商洛市2026年高三年级第一次模拟考试・数学参考答案、提示及评分细则1.B由x2=1,2,4可解得x=±1,±22.B因为z−5z=−3i，所以z1+3i=5，3.A若C的离心率为33，当C的焦点在x轴上，则2m>m+2>0，解得m>2，可得1−m+22m=33，解得m=6;当C的焦点在y轴上,则m+2>2m>0,解得0<m<2,可得14.B设用户数从100万户增加到1000万户需要的时间为t月,则1000=100×(1+0.1)​t,两边取常用对数得tlg1.1=1,所以5.A因为在2x2−1xn的展开式中,仅有第5项的二项式系数最大,所以仅有Cn1最大,n=8,2x2−1x8的通项公式Tk+1=C8k6.C显然Fp2,0,由抛物线定义知PF=2p4+p2=52,设函数fp=2p4+p2,p>0,f′p=8p3+ 12>07.D因为T=2πω,所以fT12=fπ6ω=sinω⋅π6ω+φ=sinπ6+φ=1,又0<φ<π2,所以π6+φ=π2,即φ=π3,又fx在区间8.C如图，由题意可得A，B，C，D共圆，且AB//CD，所以四边形ABCD必为等腰梯形，取AB中点E，CD中点F，则EF⊥AB，因为AB=6，CD=8，cos∠ADC=210，所以EF=7，梯形ABCD的面积为定值.因为△PAB是等腰直角三角形，E为斜边AB的中点，AB=6，所以PE=3，要使四棱锥P−ABCD的体积最大，必有PE⊥平面ABCD，由题意可得点O在EF上.设OE=x,球O的半径为R,则9.AC不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6≤x7≤x8,则x1=2,x8=6,因为x2,x3,x4,x5,x6,x7与x1,x2,⋯,x6,x710.ABD对于A,因为f2−x=2−x−x1−x2=xx−2x−12=fx,所以曲线y=fx关于直线x=1对称,故A正确;对于B,因为f′x=2x−12x2−4x+1,所以当x<2−22或1<x<2+22时,f′x<0,fx递减;当x>2+22或2−22<x<1时,f′x>0,fx递增.11.BCD对于A,方程x−cosθ2+y−sinθ2=4中,令x=0,得cos2θ+y2−2ysinθ+sin2θ=4,所以2sinθ=y−3y,其中θ∈0,π,所以sinθ∈0,1,所以y−3y∈0,2,解得y∈−3,−1∪3,3,所以A0,12.-1由夹角公式得xx2+4=−13.7−338由2cos2α−cosα=1得4cos214.916(2分)−123512(3分)因为2n2bn+1=n+12bnn∈N∗，所以bn+1n+12=12⋅bnn2，又b112=12，所以15.解:(1)由3a+b2=所以由余弦定理,得cosC=因为△ABC中,0<C<π因为sin2C+cos2C=1,所以(2)由c=4和3a+b2因为a2+b2≥2ab,当且仅当所以ab≤12，当且仅当a=b所以△ABC的面积S=12absinC=2316.解:(1)零假设为H0χ2=根据小概率值α=0.001的独立性检验,我们推断H0(2)根据分层随机抽样方法可知，从效果明显的患者中抽取8×600800=200800=2X的取值分别为0,1,2,8分则PX=所以X的分布列为X012P34313分EX=17.(1)证明:因为E为AD的中点，AD=2，所以AE因为BC=CD=1,AD⊥CD,BC⊥CD，所以四边形BCDE是正方形，所以BE⊥AD，2分因为因为PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD(2)解:如图，在平面ABCD中，过点A作AD的垂线为x轴，以A为坐标原点，向量AD,AP方向分别为y、z则P0,设平面PBE的法向量为m=PC=1有EB⋅m=x=0,EP⋅m设直线PC与平面PBE所成的角为θ,则sinθ=(3)解:在(2)的空间直角坐标系中，A0,0,0，AP=0,0,2，AB则AP⋅n=2c=0,AB⋅ncos⟨m,故平面PAB与平面PBE所成二面角的正弦值为1−1018.解:(1)C的渐近线方程为bx±ay=0，设双曲线上一点则bx0又Dx0,y0在C上,所以x02a2−又e=ca=2,c2=a2+b2(2)易得F1−2,0,F22,0，设PxP,所以−2−xP又xP2−yP23=1所以−2⋅xP−又xP+λxM=−因为PF2=μF2N又xP2−yP即xP+μxNxP−μ又xP+μxN=所以2xP解得λ+μ=−103,即λ+(3)设Ax1,y1,Bx2,所以Δ=16m2−4m所以x1+因为OG=2OA+tOB,所以xG=2x1+t即4x所以4tx1当t=0时,等式左边=3,右边=0,因为左边≠当t>0时,t2−4t+3=−当t<0时,t2−4t+3=−8tm2>−8t,解得t综上,t的取值范围为−∞,−3∪19.(1)证明:若a=1，则fx=ex−x+sinx≥ex−x−1，当且仅当sinx=−1时等号成立，2分令gx=ex−x−1,所以g′x=ex−1,所以当4分又等号不能同时取到,所以fx>(2)证明:若a=0,fx=当x≥0时,ex≥1,cos当−π<x<0时，f′x在−π,0上单调递增，又f′−π=所以当一π<x<x0时,f′x<0,当x0<x<0时,f′x>0又f−π=e−π+sin−π=e−π>0,所以fx在−π,x0综上,fx在−π,+∞(3)解:若不等式fx≥2−cosx对任意的x∈−π2,π4又h0=0,所以当x=0因为h′x