第4讲　利用导数研究不等式

第4讲利用导数研究不等式高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026基础自测思维引航考点进阶素养淬炼目录索引基础自测思维引航基础自测1.(人A选必二5.3节习题改编)证明下列不等式:(1)ex>1+x,x≠0;(2)lnx<x<ex,x>0.证明

(1)设f(x)=ex-1-x,x∈R,则f'(x)=ex-1.令f'(x)=0,解得x=0.当x>0时,f'(x)>0,函数f(x)=ex-1-x在区间(0,+∞)上单调递增;当x<0时,f'(x)<0,函数f(x)=ex-1-x在区间(-∞,0)上单调递减.所以,当x=0时,f(x)取得最小值.所以,当x≠0时,f(x)>f(0)=0,即ex>1+x,x≠0.

2.(人A选必二第五章习题)已知函数f(x)=ex-ln(x+m).当m≤2时,求证:f(x)>0.

3.(2023新高考Ⅱ,22节选)证明:当0<x<1时,x-x2<sinx<x.证明

设h(x)=sin

x-x,x∈[0,1],则h'(x)=cos

x-1≤0对∀x∈[0,1]恒成立,且仅在x=0时有h'(0)=0,所以函数h(x)在[0,1]上单调递减.所以对∀x∈(0,1),有h(x)<h(0)恒成立.又因为h(0)=0,所以sin

x-x<0恒成立.所以sin

x<x,x∈(0,1).设g(x)=sin

x-(x-x2),则g'(x)=cos

x+2x-1.令G(x)=cos

x+2x-1,则G'(x)=-sin

x+2>0对∀x∈[0,1]恒成立,所以g'(x)在x∈[0,1]上单调递增,且因为g'(0)=1+0-1=0,所以对∀x∈[0,1],g'(x)≥0恒成立,且仅在x=0时有g'(0)=0,所以函数y=g(x)在[0,1]上单调递增.所以对∀x∈(0,1),有g(x)>g(0)恒成立.又因为g(0)=0,所以sin

x+x2-x>0对∀x∈(0,1)恒成立.所以x-x2<sin

x,x∈(0,1).综上可知,x-x2<sin

x<x,x∈(0,1)成立.

(1)解

由条件知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-ln

x.当x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.即在区间(0,1)内,函数f(x)单调递增;在区间(1,+∞)内,函数f(x)单调递减.

再证明x1+x2<e.方法一:当x2≤e-1时,结论显然成立;当x2∈(e-1,e)时,x1<e-x2⇔f(x1)<f(e-x2)⇔f(x2)<f(e-x2),x2∈(e-1,e),令h(x)=f(x)-f(e-x),x∈(e-1,e),h'(x)=-ln(x(e-x)),则h(x)在区间(e-1,e)内先单调递减后单调递增,故h(x)<0.对x∈(e-1,e),则h(x2)<0,即f(x2)<f(e-x2).故f(x1)<f(e-x2),结合当x∈(0,1)时,f(x)单调递增,有x1<e-x2,即x1+x2<e.

思维引航1.不等式ex≥1+x和ln

x≤x-1在不等式证明中应用,通常称为切线放缩.2.放缩法证明不等式:(1)参数放缩;(2)不等式中的部分项放缩.3.构造函数法证明不等式:构造函数,借助导数研究分析其单调性与极值,从而证明不等式.4.证明双变量不等式的两种基本方法:一是借助两个变量间的等量关系转化为单变量不等式进行证明;二是通过换元(将两个变量的差或商设为新的变量),对不等式进行转化,然后构造函数证明不等式成立.考点进阶素养淬炼考点一单变量不等式的证明

x(-∞,-ln

a)-ln

a(-ln

a,+∞)f'(x)-0+f(x)↘极小值↗所以函数f(x)的单调递增区间是(-ln

a,+∞),单调递减区间是(-∞,-ln

a).综上,当a≤0时,f(x)的单调递减区间是(-∞,+∞),无单调递增区间;当a>0时,f(x)的单调递增区间是(-ln

a,+∞),单调递减区间是(-∞,-ln

a).

ag'(a)

-0+g(a)↘极小值↗

(1)解

f(x)在区间(1,3)内的极值点个数为1.理由如下,依题意f'(x)=x2-2x-a.显然函数f'(x)在区间(1,3)上单调递增.又0<a<3,f'(1)=-a-1<0,f'(3)=3-a>0,所以f'(1)·f'(3)<0,由零点存在定理可知,存在x0∈(1,3),使得f'(x0)=0.所以当1<x<x0时,f'(x)<0,f(x)在区间(1,x0)上单调递减,当x0<x<3时,f'(x)>0,f(x)在区间(x0,3)上单调递增,故f(x)在区间(1,3)内的极值点个数为1.

【对点训练2】(2024全国甲,文20)已知函数f(x)=a(x-1)-lnx+1.(1)求f(x)的单调区间;(2)若a≤2时,证明:当x>1时,f(x)<ex-1.

【对点训练3】(2025山东日照模拟)已知函数f(x)=axlnx.(1)当a>0时,求函数f(x)的单调区间;(2)若a=1,求证:f(x)<ex+cosx-2.

考点二双变量不等式的证明

(1)解

当a=-1时,f(x)=ex+x-