2025-2026学年湖南省邵阳市高三上册第一次联考数学试卷（原卷）

/2026年邵阳市高三第一次联考试题卷数学本试卷共4页，19个小题．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴区”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．保持答题卡的整洁．考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.已知在复平面内，为等边三角形，点为坐标原点，点对应复数为，点在第二象限，则点对应的复数的虚部为（）A. B. C. D.3.设甲：数列满足，乙：数列是等差数列，则甲是乙的（）A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知非零向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.5.已知直线与圆相交于两点，则劣弧的长为（）A. B. C. D.6.已知实数满足，则（）A. B.C. D.7.已知随机变量，正实数满足，则的最小值为（）A.3 B.4 C.5 D.68.设函数和的零点分别为，其中．当时，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，，过的直线与的右支相交于两点，则下列结论错误的有（）A.的方程为B.C.渐近线方程为D.当时，面积为310.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.B.若，则C.把函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则为偶函数D.若函数的导函数为，则的图象关于点对称11.已知圆台的上、下底面的面积分别为和，则下列结论正确的是（）A.若圆台存在内切球，则内切球的体积为B.若圆台的母线与下底面所成的角为，则圆台的外接球的表面积为C.若圆台的外接球的体积为，则圆台的表面积为D.若圆台的外接球的体积为，则圆台的体积为或三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.设等比数列前项和为，若，，则___________．13.已知多项式，若，则___________．14.已知正四面体棱长为，用满足的动点构成的平面截正四面体，则所得截面的面积为___________．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.在中，内角的对边分别为．已知．（1）若，，求的外接圆的半径；（2）若，求的面积．16.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，,平面为棱上的点．（1）当为棱的中点时，证明：平面；（2）在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．17.国家近年来对机器人的研究，尤其是在人形机器人和具身智能领域方面，出台了一系列的政策，旨在推动技术创新、产业升级和规模化应用．某学校为响应国家号召，培养学生的创新能力，举办机器人比赛，经过初赛，甲班团队和乙班团队进入了决赛阶段．决赛阶段规定：对每一轮比赛，获胜方记1分，另一方记0分，无平局；当两团队累积得分的分差为3分时，比赛结束，累积得分高的团队获冠军．若每轮比赛中，甲班团队获胜的概率为，且每轮比赛的结果相互独立．（1）若比赛结束时恰好进行了3轮比赛，求甲班团队获得冠军的概率；（2）（i）若比赛最多进行5轮，求比赛结束时比赛轮数的分布列及数学期望；（ii）若比赛轮数不限制，求甲班团队获得冠军的概率．18.已知椭圆：的左、右焦点分别为，离心率，过的直线交椭圆于两点，的周长为8．（1）求椭圆的方程；（2）过点且与垂直的直线与椭圆相交于两点，在轴的上方，分别为线段，线段的中点，直线与直线相交于点．（i）直线是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；（ii）求的面积的最小值．19.若函数对任意，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶和函数”．特别地，