2025-2026学年湖南省永州市高三第二次模拟考试数学试卷（原卷）

/永州市2026年高考第二次模拟考试数学注意事项：1．本试卷共150分，考试时量120分钟．2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效．3．考试结束后，只交答题卡．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.已知复数满足，则的虚部为（）A.1 B. C.i D.3.展开式中，的系数为（）A.40 B. C.80 D.4.已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，且，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知菱形的边长为2，是的中点，则（）A.1 B.2 C.4 D.66.已知抛物线的焦点为，点在轴上且位于右侧，点在上，若为等边三角形，则（）A.2 B.2 C.2 D.47.已知函数，若且，则（）A. B. C. D.8.在中，内角所对的边分别为，且满足，则（）A.角为锐角 B.2C.2 D.的最大值为二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知某地近一周的最高气温如下：9，11，14，11，10，7，8（单位：），则（）A.这组数据的极差为7 B.这组数据的第40百分位数为8.5C.这组数据众数为11 D.这组数据的方差为10.已知函数，则（）A.在区间上有1个零点B.的周期为C.的值域为D.要得到的图象，可将函数图象向左平移个单位长度11.已知双曲线的左、右焦点分别为，点是的渐近线上一点（在轴上方），直线与圆相切，且与的左、右两支分别交于两点，若，则（）A.以为直径的圆与圆相切 B.的离心率C.线段的中点在直线上 D.的面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.从1，2，3，4四个整数中依次不放回地随机抽取2个数，则第一次抽取数小于第二次抽取的数的概率为___________．13.已知函数，若恒成立，则实数___________．14.在直四棱柱中，分别是棱的中点，是底面内一动点．若直线平面，则三棱锥外接球表面积的最小值为___________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列满足．（1）求的通项公式；（2）求的前项和．16.如图，是半圆直径，是上的两个三等分点，点在底面上的射影为的中点．（1）当时，求点到平面的距离；（2）当时，求平面与平面的夹角的余弦值．17.为了激活全民参与体育赛事的热情，某省举办了足球联赛．已知足球联赛积分规则为：球队胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．球队甲2025年11月将迎来主场与球队乙和客场与球队丙的两场比赛．根据前期比赛成绩，球队甲主场与球队乙比赛：胜利的概率为，平的概率为，负的概率为；球队甲客场与球队丙比赛：胜利的概率为，平的概率为，负的概率为；且每场比赛结果相互独立．（1）设球队甲11月主场与球队乙比赛获得积分为，客场与球队丙比赛获得积分为，求的概率；（2）用表示球队甲11月与球队乙和球队丙比赛获得积分之和，求的分布列与期望．18.已知椭圆经过点为的右焦点．（1）求的标准方程；（2）过点的直线与交于两点（的斜率存在且不为0），设点关于轴的对称点为，的外接圆圆心为．（i）求面积的最大值；（ii）直线与直线的斜率之积是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．19.已知函数．（