2021初等数论专升本统考官方指定题库及答案解析

2021初等数论专升本统考官方指定题库及答案解析

一、单项选择题，(总共10题，每题2分)。1.若a和b是互质的正整数，且ab=72，则a+b的最小值是（）。A.17B.18C.19D.202.同余方程3x≡5(mod7)的解是（）。A.x≡1(mod7)B.x≡2(mod7)C.x≡3(mod7)D.x≡4(mod7)3.下列哪个数是模7的原根？（）A.2B.3C.5D.64.若p是奇素数，则关于模p的二次剩余的个数是（）。A.(p-1)/2B.(p+1)/2C.p/2D.p-15.欧拉函数φ(12)的值是（）。A.4B.5C.6D.76.若a≡b(modm)，且d|m，则（）。A.a≡b(modd)B.a≡b(modm/d)C.a≡b(modm)D.以上都不对7.下列哪个同余式组有解？（）A.x≡1(mod2),x≡2(mod4)B.x≡1(mod3),x≡2(mod6)C.x≡1(mod4),x≡2(mod6)D.x≡1(mod2),x≡1(mod3)8.若(a,m)=1，则a^φ(m)≡1(modm)是（）。A.费马小定理B.威尔逊定理C.欧拉定理D.中国剩余定理9.模10的简化剩余系中元素的个数是（）。A.4B.5C.6D.1010.若n是正整数，则φ(n)表示的是（）。A.小于n的正整数个数B.小于n且与n互质的正整数个数C.小于等于n的正整数个数D.小于等于n且与n互质的正整数个数二、填空题，(总共10题，每题2分)。1.若a≡3(mod5)，则a^2≡____(mod5)。2.同余方程2x≡1(mod9)的解是x≡____(mod9)。3.模11的最小正原根是____。4.若p是奇素数，则勒让德符号(2/p)的值当p≡±1(mod8)时为____。5.若m和n是互质的正整数，则φ(mn)=____。6.威尔逊定理指出，若p是素数，则(p-1)!≡____(modp)。7.模15的简化剩余系中元素的个数是____。8.若a和b是整数，且(a,b)=d，则存在整数x和y使得____。9.同余式组x≡2(mod3),x≡3(mod5)的最小正整数解是____。10.若n是正整数，则∑_{d|n}φ(d)=____。三、判断题，(总共10题，每题2分)。1.若a≡b(modm)，则对任意正整数k，有a^k≡b^k(modm)。（）2.模m的完全剩余系的元素个数等于m。（）3.若a是模m的原根，则a的阶是φ(m)。（）4.任意大于1的整数都有原根。（）5.若(a,m)=1，则一次同余方程ax≡b(modm)有唯一解。（）6.若p是素数，则模p的简化剩余系就是1,2,...,p-1。（）7.若a≡b(modm)且c≡d(modm)，则a+c≡b+d(modm)。（）8.若n是合数，则φ(n)一定小于n-1。（）9.中国剩余定理要求模数两两互质。（）10.若a是模m的二次剩余，则a^(φ(m)/2)≡1(modm)。（）四、简答题，(总共4题，每题5分)。1.简述欧拉定理的内容及其证明思路。2.说明如何判断一个整数是否是模奇素数的二次剩余。3.解释什么是模m的简化剩余系，并举例说明。4.简述中国剩余定理的内容及其应用。五、讨论题，(总共4题，每题5分)。1.讨论费马小定理与欧拉定理之间的联系与区别。2.分析模m原根存在的条件，并举例说明。3.探讨二次互反律的意义及其在数论中的应用。4.讨论同余方程有解的判定方法，并结合实例说明。答案和解析一、单项选择题答案1.A解析：72的因数对有(1,72),(2,36),(3,24),(4,18),(6,12),(8,9)，其中互质且积为72的有(8,9)，和最小为17。2.D解析：3x≡5(mod7)，两边乘3在模7下的逆元5，得x≡25≡4(mod7)。3.B解析：模7的原根需满足阶为6，计算得3^1=3,3^2=2,3^3=6,3^4=4,3^5=5,3^6=1，阶为6，是原根。4.A解析：模p的二次剩余个数为(p-1)/2，非剩余也为(p-1)/2。5.A解析：φ(12)=φ(3×4)=φ(3)φ(4)=2×2=4。6.A解析：若a≡b(modm)，且d|m，则m|a-b，故d|a-b，即a≡b(modd)。7.D解析：A中模2和4不互质，且解矛盾；B、C类似；D模2和3互质，有解。8.C解析：欧拉定理：若(a,m)=1，则a^φ(m)≡1(modm)。9.A解析：模10的简化剩余系为与10互质的数：1,3,7,9，共4个。10.B解析：φ(n)是小于n且与n互质的正整数个数。二、填空题答案1.4解析：3^2=9≡4(mod5)。2.5解析：2在模9下的逆元是5，因2×5=10≡1(mod9)，故x≡5×1=5(mod9)。3.2解析：2^1=2,2^2=4,2^3=8,2^4=5,2^5=10,2^6=9,2^7=7,2^8=3,2^9=6,2^10=1(mod11)，阶为10=φ(11)，是原根。4.1解析：由二次互反律，当p≡±1(mod8)时，(2/p)=1。5.φ(m)φ(n)解析：m和n互质时，φ(mn)=φ(m)φ(n)。6.-1解析：威尔逊定理：(p-1)!≡-1(modp)对素数p成立。7.8解析：φ(15)=φ(3×5)=φ(3)φ(5)=2×4=8。8.ax+by=d解析：裴蜀定理：存在整数x,y使ax+by=(a,b)。9.8解析：解同余式组，x=3k+2，代入x≡3(mod5)得3k≡1(mod5)，k≡2(mod5)，故x=3×2+2=8。10.n解析：数论函数性质，∑_{d|n}φ(d)=n。三、判断题答案1.对解析：同余式两边可乘方。2.对解析：完全剩余系恰好有m个互不同余的整数。3.对解析：原根的定义是阶为φ(m)。4.错解析：只有形如2,4,p^k,2p^k（p奇素数）的整数有原根。5.对解析：因(a,m)=1，a有逆元，故解唯一。6.错解析：模p的简化剩余系是1到p-1中与p互质的数，但p素数时，所有1到p-1都与p互质，故正确；但本题表述不严谨，一般简化剩余系指与m互质的剩余类。7.对解析：同余式可相加。8.对解析：n合数时，有真因子，φ(n)＜n-1。9.对解析：中国剩余定理要求模数两两互质。10.对解析：由欧拉准则，若a是二次剩余，则a^(p-1)/2≡1(modp)，推广到模m需条件。四、简答题答案1.欧拉定理：若正整数a与m互质，则a^φ(m)≡1(modm)。证明思路：考虑模m的简化剩余系，将其每个元素乘以a，仍构成简化剩余系，乘积同余，约去简化剩余系的乘积（与m互质），即得定理。核心是利用剩余系的置换性质。2.判断整数a是否为模奇素数p的二次剩余，可用勒让德符号(a/p)。若(a/p)=1，则是二次剩余；若(a/p)=-1，则是非剩余。计算时利用二次互反律化简，或直接计算a^(p-1)/2modp，若为1则是剩余，为-1则非剩余。3.模m的简化剩余系是指模m的一个完全剩余系中与m互质的那些剩余类代表元构成的集合。例如，模8的简化剩余系为{1,3,5,7}，因为这些数小于8且与8互质，代表所有与8互质的剩余类。4.中国剩余定理：若模数m1,m2,...,mk两两互质，则同余式组x≡a1(modm1),...,x≡ak(modmk)有唯一解模M=m1m2...mk。应用包括解线性同余方程组、大整数计算、密码学等，可将大模数问题分解为小模数问题。五、讨论题答案1.费马小定理是欧拉定理的特殊情况，当模数p为素数时，φ(p)=p-1，欧拉定理变为a^(p-1)≡1(modp)，即费马小定理。区别在于欧拉定理适用于任意模数m，要求(a,m)=1，而费马小定理仅适用于素数模。欧拉定理推广了费马小定理，应用更广泛。2.模m原根存在的条件是m=2,4,p^k或2p^k，其中p为奇素数，k为正整数。例如，模7有原根3，因7是奇素数；模8无原根，因8不满足条件。原根存在时，剩余系可表为原根的幂，简化计算。3.二次互反律是数论核心定理，建立了不同素数二次剩余间的对称关系。公式为(p/q)(q/p)=(-1)^((p-1)/2(q-1)