2022大学初等数论零基础备考题库及答案详解

2022大学初等数论零基础备考题库及答案详解

一、单项选择题（共10题，每题2分）1.两个整数a,b的最大公约数记为d，则下列哪项一定成立？A.d|(a-b)B.d|(a+b)C.d|a且d|bD.d>min(a,b)2.若a≡b(modm),c≡d(modm)，则下列结论错误的是：A.a+c≡b+d(modm)B.a-c≡b-d(modm)C.ac≡bd(modm)D.a/c≡b/d(modm)3.下列哪个数是模7的二次剩余？A.3B.5C.6D.24.设p为奇素数，则欧拉函数φ(p)等于：A.pB.p-1C.p²D.15.同余方程3x≡2(mod5)的解数为：A.0个B.1个C.2个D.3个6.下列哪组数互质？A.(15,25)B.(8,9)C.(21,35)D.(12,18)7.设n为正整数，若2ⁿ-1为素数，则n是：A.合数B.偶数C.奇数D.素数8.威尔逊定理指出：当且仅当p为素数时，有：A.(p-1)!≡1(modp)B.(p-1)!≡-1(modp)C.p!≡0(modp)D.p²≡1(modp-1)9.同余方程组x≡2(mod3),x≡3(mod5)的最小正整数解为：A.8B.15C.23D.3010.设a,b为正整数，则线性不定方程ax+by=c有整数解的充要条件是：A.a|cB.b|cC.gcd(a,b)|cD.c|ab二、填空题（共10题，每题2分）1.若n=2³×3²×5，则n的正约数个数为______。2.计算7¹⁰⁰的末位数字是______。3.欧拉函数φ(24)=______。4.同余方程12x≡15(mod21)的最小正整数解x=______。5.设a=84,b=60，则gcd(a,b)=______。6.若a≡b(modm),则a和b除以m的余数______。7.模11的最小正简化剩余系包含______个整数。8.费马小定理指出：若p为素数，且p∤a，则aᵖ⁻¹≡______(modp)。9.不定方程5x+7y=1的特解(x₀,y₀)可以是(______,______)。10.若n是大于1的整数，则n是合数的充要条件是n有小于______的真因数。三、判断题（共10题，每题2分）1.若a|b且a|c，则a|(b+c)。（）2.任意两个连续整数互质。（）3.若ac≡bc(modm)，则必有a≡b(modm)。（）4.素数有无穷多个。（）5.若a≡b(modm)，则a²≡b²(modm²)。（）6.1是所有正整数的公约数。（）7.模6的完全剩余系中必有偶数。（）8.若p是素数，则φ(pᵏ)=pᵏ-pᵏ⁻¹。（）9.同余方程ax≡b(modm)在gcd(a,m)=1时恰有1个解。（）10.莫比乌斯函数μ(n)对任意素数p有μ(p)=0。（）四、简答题（共4题，每题5分）1.证明：若n是奇数，则8|n²-1。2.叙述并证明裴蜀定理（Bézout'sidentity）。3.设a,m为正整数且互质。利用欧拉定理简述如何求解同余方程ax≡b(modm)。4.计算欧拉函数φ(100)，并列出所有与100互质的小于100的正整数个数。五、讨论题（共4题，每题5分）1.构造同余方程15x≡7(mod25)并分析其解的存在性。若存在解，求出全部解。2.利用孙子定理（中国剩余定理）求解同余方程组：x≡2(mod3)x≡3(mod4)x≡1(mod5)3.设p为奇素数，证明：1²×2²×3²×...×(p-1)²≡(-1)^{(p+1)/2}(modp)。4.讨论模m原根存在的条件，并举例说明模7的最小正原根。---答案及解析一、单项选择题1.C2.D3.A4.B5.B6.B7.D8.B9.A10.C解析：1.gcd(a,b)=d的定义即d|a且d|b。2.除法在模运算中不封闭，需考虑逆元存在性。3.计算平方模7：1²=1,2²=4,3²=2,4²=2,5²=4,6²=1，故3是模7二次剩余。4.素数p的欧拉函数φ(p)=p-1。5.gcd(3,5)=1整除2，故有唯一解x≡4(mod5)。二、填空题1.122.13.84.35.126.相同7.108.19.3,-210.√n解析：1.约数个数公式：(3+1)(2+1)(1+1)=12。2.7¹≡7,7²≡9,7³≡3,7⁴≡1(mod10)，周期4，100÷4余0→末位1。3.φ(24)=φ(8×3)=φ(8)φ(3)=4×2=8。4.方程等价于4x≡5(mod7)，解得x≡3(mod7)。原方程解为3,10,17。5.gcd(84,60)=12。三、判断题1.√2.√3.×4.√5.×6.√7.√8.√9.√10.×解析：3.反例：3×2≡3×4(mod6)，但2≠4(mod6)。5.反例：3≡1(mod2)，但9≠1(mod4)。10.对素数p，μ(p)=-1。四、简答题1.设n=2k+1，则n²-1=4k(k+1)。k与k+1为连续整数故必有一偶数，因此4×2=8整除n²-1。2.裴蜀定理：设a,b为整数，d=gcd(a,b)，则存在整数x,y使ax+by=d。证明可通过带余除法构造递降序列，最终得到d的表达式。3.由欧拉定理a^{φ(m)}≡1(modm)，故解为x≡b·a^{φ(m)-1}(modm)。因a,m互质，逆元存在且唯一。4.φ(100)=φ(4×25)=φ(4)φ(25)=2×20=40。满足条件的数为与100互质且小于100的正整数，共40个。五、讨论题1.gcd(15,25)=5，但5∤7，故无解。解存在的充要条件是gcd(15,25)|7。2.设m₁=3,m₂=4,m₃=5,M=60。计算：M₁=20≡2(mod3)⁻¹≡2M₂=15≡3(mod4)⁻¹≡3M₃=12≡2(mod5)⁻¹≡3x≡2×20×2+3×15×3+1×12×3≡80+135+36≡251≡11(mod60)3.威尔逊