人教版九年级数学下册《平面直角坐标系中的位似》教案

人教版九年级数学下册《平面直角坐标系中的位似》教案

一、课标解读与教材分析：构建单元整体认知框架

（一）课标要求深度解析

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“图形与几何”领域对“图形的相似”主题提出了明确要求。本节课内容直接对应“图形的变化”主线下“图形的位似”具体要求：“在平面直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标（有一个顶点为原点、有一条边在横坐标轴上）分别放大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的。”课标强调通过坐标的量化关系来揭示图形位似变换的本质，将几何直观与代数表达深度融合，体现了数形结合的核心思想。这要求教学不能停留在操作层面，而应引导学生从变换的角度理解图形关系，发展空间观念、几何直观和推理能力。

（二）教材内容的承上启下与系统定位

本节课位于人教版九年级数学下册第二十七章《相似》的第七节，是“相似”单元知识体系中的制高点与综合应用点。在此之前，学生已经系统学习了相似多边形的判定与性质、相似三角形的知识体系，并在上节课初步形成了位似图形（基于尺规作图与定义）的几何直观认识。本节内容“平面直角坐标系中的位似”将之前所有关于图形相似的定性感知与定量描述，置于平面直角坐标系这一强大的“数形转换”平台上进行精确刻画。

教材的编排逻辑清晰：首先回顾位似定义与性质，然后从特殊到一般，探究在平面直角坐标系中以原点为位似中心的图形坐标变化规律，进而推广到以任意点为位似中心的坐标变换规律。这一过程，不仅完善了学生对位似变换的认知结构，更重要的是，它将“位似”这一几何变换彻底“代数化”，为其后续在函数图像变换、工程制图、计算机图形学等领域的应用奠定了坚实的理论基础。因此，本节内容在初中阶段“图形与几何”领域中扮演着桥梁角色，连接了初等几何与解析几何的思想萌芽。

二、学情诊断与教学预设：精准定位认知起点与思维障碍

（一）已有认知基础

1.知识层面：学生熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标表示，能够进行坐标的加减、乘除运算；牢固掌握相似多边形及位似图形的定义与基本性质（对应点连线交于一点、对应边平行、对应边成比例）；具备利用尺规作图进行图形的放大与缩小的操作经验。

2.能力层面：具备一定的数形结合思想意识，能将简单的几何位置关系用坐标进行初步描述；具备通过观察、归纳、猜想进行数学探究的基本活动经验。

3.思维层面：九年级学生抽象逻辑思维进入快速发展期，能够理解从具体实例到一般规律的归纳过程，并对数学的内在统一性（如几何与代数的统一）开始产生兴趣。

（二）潜在学习障碍与思维难点

1.认知冲突点：从“以形论形”的纯几何视角，切换到“以数解形”的坐标视角，部分学生可能存在思维转换困难。特别是当位似中心不在原点时，坐标变化的规律更为复杂，容易与平移、旋转等变换混淆。

2.理解深度瓶颈：学生容易记住“坐标乘以k或-k”的结论，但对其几何意义的理解往往停留在表面——为什么乘以k就是放大或缩小？为什么k为负值就关于原点对称？这背后的相似比、方向性（同侧与异侧）的对应关系是理解的深水区。

3.综合应用挑战：当问题情境需要逆向思维（由坐标变化反推位似中心与相似比），或需要将位似变换与函数图像变换结合时，学生可能出现思路不清、无法建立有效数学模型的问题。

三、教学目标与核心素养指向

基于以上分析，确立如下三维目标，并明确其核心素养培养指向：

（一）教学目标

1.知识与技能：

1.2.理解并掌握在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的图形上点的坐标变化规律。

2.3.探索并掌握在平面直角坐标系中，以任意点为位似中心的图形上点的坐标变化的一般规律。

3.4.能根据位似中心、相似比（含方向）在坐标系中准确地画出已知图形的位似图形，或根据坐标变化确定位似中心与相似比。

5.过程与方法：

1.6.经历从特殊（原点）到一般（任意点）的探究过程，体会坐标法研究几何变换的威力。

2.7.通过观察、猜想、验证、归纳等数学活动，发展合情推理与演绎推理能力。

3.8.在解决实际问题的过程中，学会建立坐标系，将几何问题代数化，提升数学建模能力。

9.情感、态度与价值观：

1.10.感受数学知识之间的内在联系（图形变换与坐标运算），体验数形结合的和谐与统一之美。

2.11.在探究活动中培养严谨求实的科学态度和合作交流的意识。

3.12.了解位似变换在科技、艺术（如地图、图纸、图像缩放）等领域的广泛应用，体会数学的价值。

（二）核心素养指向

1.空间观念与几何直观：在坐标系中想象图形经过位似变换后的位置与形状，理解坐标数值变化与图形缩放、方位变化的对应关系。

2.抽象能力与推理能力：从具体坐标数据中抽象出一般变换规律（公式），并进行逻辑推导和证明。

3.运算能力：熟练进行与位似变换相关的坐标运算。

4.模型观念：将“在坐标系中作位似图形”这一任务抽象为“坐标变换模型”，并应用该模型解决问题。

5.应用意识：主动运用位似变换的知识解释或解决现实世界和数学内部的问题。

四、教学重难点

1.教学重点：平面直角坐标系中以原点为位似中心和以任意点为位似中心的位似图形对应点的坐标变化规律。

2.教学难点：

1.3.规律的理解与内化：对坐标变化规律（特别是以任意点为位似中心时）几何意义的深度理解，以及相似比k的符号（正负）与位似图形方向（同侧/异侧）的对应关系。

2.4.规律的综合应用：灵活运用规律进行复杂图形的位似作图，以及逆向解决相关问题。

五、教学准备

1.教师准备：交互式电子白板课件（含GeoGebra动态几何软件制作的动画）、精心设计的探究学案、分层练习卷。

2.学生准备：复习位似定义与性质，直尺、圆规、坐标纸。

六、教学实施过程：基于深度学习的探究性教学

第一课时：原点位似——从数到形，揭示规律

（一）创设情境，温故孕新（预计时间：8分钟）

1.情境引入：

1.2.【展示】一幅校园平面图（网格图），提问：“如果将这幅图在复印机上放大到原来的150%，图上每一个地点的‘位置’如何用数学语言精确描述其变化？”

2.3.【动画演示】利用GeoGebra展示三角形ABC在屏幕上的动态缩放（中心为屏幕中心/O点）。

4.复习回顾：

1.5.提问：什么是位似图形？位似图形的核心性质是什么？（对应点连线交于一点——位似中心；对应边平行；任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比|k|）。

2.6.追问：我们之前如何在网格中（无坐标系）画一个图形的位似图形？（确定位似中心，画出对应点连线并按其比例截取）。

7.问题聚焦：

1.8.教师引导：“网格给了我们参照，但不精确。为了‘精确’地描述和控制这种放大缩小，我们需要一个更强大的数学工具——平面直角坐标系。今天，我们就来研究‘平面直角坐标系中的位似’。”

2.9.板书课题：27.3位似（第2课时）——平面直角坐标系中的位似

（二）合作探究，发现规律（预计时间：22分钟）

探究活动一：原点为位似中心，k>0

1.任务驱动（学案呈现）：

1.2.在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(2，1)，B(4，3)，C(6，2)。

2.3.（1）以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，即相似比k=2。请在坐标纸上画出放大后的△A‘B’C‘。

3.4.（2）测量并填写下表：

原图形顶点

坐标(x，y)

放大后顶点

坐标(x’，y‘)

坐标关系猜想

A

(2，1)

A‘

(,)

x’=__*x，y‘=__*y

B

(4，3)

B‘

(,)

C

(6，2)

C‘

(,)

*（3）你发现的规律是：_________________________。

2.学生活动：

*学生分组，利用坐标纸画图（部分组用尺规通过连线延长截取，部分组可能直接通过观察网格点猜测坐标）。

*教师巡视，关注不同作图方法，引导发现坐标间的倍数关系。

1.交流归纳：

1.2.小组代表汇报作图结果与数据发现：A‘(4，2)，B’(8，6)，C‘(12，4)。关系：x’=2x，y‘=2y。

2.3.教师利用GeoGebra动态验证：输入原三角形顶点，设置k=2的缩放参数，实时显示新三角形顶点坐标，与学生的发现一致。

3.4.初步结论（板书）：以原点O为位似中心，相似比为k（k>0），原图形上点(x，y)的对应点为(kx，ky)。

探究活动二：原点为位似中心，k<0

1.认知冲突：

1.2.教师提问：“如果位似图形与原图形在位似中心的两侧呢？比如，相似比k=-2，这意味着什么？”（引导学生回忆：k的绝对值表示相似比大小，负号表示方向相反，图形在位似中心异侧）。

3.深化探究（学案呈现）：

1.4.接上题，以原点O为位似中心，相似比k=-2，画出△A‘’B‘’C‘’。

2.5.填写坐标，并归纳规律。

6.抽象概括：

1.7.学生发现：A‘’(-4，-2)，B‘’(-8，-6)，C‘’(-12，-4)。关系：x‘’=-2x，y‘’=-2y。

2.8.教师引导学生将k>0和k<0两种情况统一表达。

3.9.核心结论一（板书，并用彩色强调）：

在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，相似比为k（k≠0），那么位似图形与原图形对应点的坐标之比等于k或-k。即：原图形上点P(x，y)的对应点P’的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky)。

4.10.深度对话：

1.5.11.“什么时候用(kx，ky)，什么时候用(-kx，-ky)？”（取决于位似图形与原图形是在位似中心的同侧还是异侧。同侧同号，异侧异号。）

2.6.12.“从坐标运算角度看，(kx，ky)和(-kx，-ky)有没有联系？”（后者可以看作前者关于原点中心对称，即k与-k的关系。）

3.7.13.几何意义再阐释：教师用GeoGebra同时展示k=2和k=-2的两个图形，动态演示当k从正连续变化到负时，图形如何绕原点“翻转”。强调“k的符号决定了方向”。

（三）典例精析，初步应用（预计时间：10分钟）

【例题1】如图，△ABO的三个顶点坐标分别为A(-2，4)，B(-2，0)，O(0，0)。以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO的相似比为3:2。

1.学生审题：明确位似中心（原点）、相似比（3/2，即k=1.5）、未指定方向（需考虑两种情况）。

2.师生共析：

1.3.解法一（同侧）：对应点坐标乘以1.5，得A‘(-3，6)，B’(-3，0)，O(0，0)。连接。

2.4.解法二（异侧）：对应点坐标乘以-1.5，得A‘’(3，-6)，B‘’(3，0)，O(0，0)。连接。

3.5.教师板演一种，学生独立完成另一种。强调O点本身就是位似中心，其对应点仍是自身（0，0）。

6.方法提炼：一选中心，二定k值与符号，三算坐标，四描点连线。

【变式练习】（口答）

四边形ABCD的顶点坐标分别为A(-6，6)，B(-8，2)，C(-4，0)，D(-2，4)。以原点为位似中心，相似比为1/2，写出四边形在其异侧的位似图形的顶点坐标。

（答案：A‘(3，-3)，B’(4，-1)，C‘(2，0)，D’(1，-2)）

（四）课堂小结，布置作业（预计时间：5分钟）

1.小结：引导学生从知识（规律）、方法（坐标法）、思想（数形结合、从特殊到一般）三个层面总结本节课收获。

2.作业：

1.3.基础巩固：教材课后对应习题。

2.4.探究思考：如果位似中心不是原点，比如是点C(2，1)，那么对应点的坐标还有这样简洁的倍数关系吗？如何寻找其规律？

第二课时：一般位似——迁移转化，构建通法

（一）问题导入，激发挑战（预计时间：5分钟）

1.复习提问：上节课我们学习了以原点为位似中心的坐标规律，关键结论是什么？（齐答或个别提问）。

2.抛出核心问题：

1.3.“在坐标系中，位似中心只能是原点吗？”（显然不是）

2.4.“如果位似中心是任意一点P(a，b)，图形上点的坐标变化规律又是怎样的？这规律与我们已学的原点规律有何联系？”

3.5.教师展示一个以点(2，1)为中心放大三角形的动画。“我们能否将这种‘一般情况’转化为我们熟悉的‘特殊情况’来处理？”

（二）策略探究，构建模型（预计时间：25分钟）

探究活动三：一般位似中心的转化策略

1.搭建思维“脚手架”（学案呈现）：

1.2.已知△ABC，A(1，2)，B(3，1)，C(2，4)。以点P(2，1)为位似中心，相似比k=2，画出△A‘B’C‘（同侧）。

2.3.思考：

（1）如果我们将位似中心P(2，1)平移到原点O，那么为了保持图形的相对位置不变，整个图形（包括△ABC）需要如何平移？平移后△ABC的顶点坐标是什么？

（2）在“新”的坐标系（以P为虚拟原点）中，利用上节课规律，画出△ABC放大2倍后的图形△A1B1C1，其顶点坐标是什么？

（3）最后，要将△A1B1C1放回原坐标系，需要怎么平移？平移后得到的△A‘B’C‘的坐标是多少？

4.分组探究，教师引导：

1.5.学生尝试执行“三步走”策略。教师关键点拨：“平移的目的是什么？”（化未知为已知，将一般中心转化为原点）。

2.6.小组合作完成坐标计算与作图验证。

7.汇报交流，抽象通法：

1.8.步骤解析：

1.2.9.步骤一（整体平移）：将点P(2，1)移至原点O(0，0)。平移向量为(-2，-1)。因此，△ABC各点也按此向量平移：A1(-1，1)，B1(1，0)，C1(0，3)。

2.3.10.步骤二（原点位似）：以原点O为中心，k=2，作△A1B1C1的位似图形△A2B2C2。A2(-2，2)，B2(2，0)，C2(0，6)。

3.4.11.步骤三（整体平移回）：将图形按反向平移向量(2，1)移回。得到最终△A‘B’C‘：A’(0，3)，B‘(4，1)，C’(2，7)。

5.12.过程凝练：教师引导学生用符号语言连贯表达整个过程。设原有点为(x，y)，位似中心为P(a，b)，相似比为k。

1.6.13.平移后点：(x-a，y-b)

2.7.14.原点位似后点：(k(x-a)，k(y-b))（假设同侧，k>0）

3.8.15.平移回后点：(k(x-a)+a，k(y-b)+b)

9.16.核心结论二（板书）：

在平面直角坐标系中，以任意点P(a，b)为位似中心，相似比为k（k≠0），则原图形上点(x，y)的对应点(x’，y‘)的坐标为：

x’=k(x-a)+a

y‘=k(y-b)+b

10.17.公式理解：

1.11.18.当P为原点(0，0)时，公式简化为x‘=kx，y’=ky，与第一课时结论一致。

2.12.19.公式体现了“先平移（至原点），后缩放，再平移（回原位）”的复合变换思想。

3.13.20.k的符号同样控制方向：k>0同侧，k<0异侧。

21.几何画板验证：教师用GeoGebra直接输入公式，动态改变k、a、b的值，实时显示位似图形，验证公式的正确性与普适性。增强学生信任感。

（三）多维应用，深化理解（预计时间：12分钟）

【例题2】四边形OABC的顶点坐标分别为O(0，0)，A(6，0)，B(6，4)，C(0，4)。以点O为位似中心，相似比为-0.5，画出它的位似图形。这是一个特例，可以直接用第一课时结论，巩固k为负值的情况。

【例题3】（逆向思维）已知△ABC顶点A(0，0)，B(3，0)，C(2，4)。△A‘B’C‘的三个顶点坐标分别为A’(2，2)，B‘(5，2)，C’(4，6)。△ABC与△A‘B’C‘是位似图形吗？若是，找出位似中心与相似比。

1.分析：观察对应点坐标变化：A(0，0)->A‘(2，2)；B(3，0)->B’(5，2)；C(2，4)->C‘(4，6)。发现横纵坐标均增加了2，这像什么变换？（平移）。但平移图形是全等的，这里对应边成比例吗？计算AB=3，A’B‘=3？等等，A’B‘也是3？实际上，通过计算发现对应边长度之比均为1:1，且对应点连线AA’、BB‘、CC’交于一点吗？计算斜率发现平行？这引导我们思考：如果先平移，再缩放呢？或者直接用一般公式反推？

2.解法引导：设位似中心为P(a，b)，相似比为k。对任意一对对应点，如A和A‘，代入公式：2=k(0-a)+a；2=k(0-b)+b。对B和B’：5=k(3-a)+a；2=k(0-b)+b。联立方程组，可解出a，b，k。或者更简单地，注意到所有对应点的横纵坐标差都是常数（2），猜测是平移。验证发现对应点连线确实平行（AA‘//BB’//CC‘），且长度相等，这不符合位似定义（对应点连线交于一点）。因此，它们不是位似关系，而是平移关系。此例旨在辨析位似与平移，防止学生机械套用。

3.思维提升：判断是否位似，关键看所有对应点与某一定点（位似中心）是否共线且成比例，或对应点连线是否交于一点。

【例题4】（综合应用）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边在坐标轴上，已知点B(8，0)，D(0，6)。以对角线交点P为位似中心，将矩形ABCD缩小为原来的1/2，求缩小后矩形四个顶点的坐标。

*关键：先求位似中心P的坐标（中点坐标公式，P(4，3)），再应用一般公式。注意有同侧缩小（k=0.5）和异侧缩小（k=-0.5）两种情形。

（四）课堂总结，体系构建（预计时间：8分钟）

1.知识网络图（师生共同构建，板书或白板展示）：

位似变换

|

平面直角坐标系中的表达

|

-----------------------------------

||

以原点为位似中心以任意点P(a,b)为位似中心

||

公式：(kx，ky)或(-kx，-ky)公式：(k(x-a)+a，k(y-b)+b)

||

思想：数形结合思想：转化化归

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应用：精确作图、坐标计算、实际建模

2.思想方法升华：

1.3.坐标法的力量：将图形的几何变换（位似）完全代数化、精确化、可计算化。

2.4.转化与化归思想：将“一般点”转化为“特殊点（原点）”，是解决数学问题的通用策略。

3.5.分类讨论思想：k的符号导致两种不同位置的图形，考虑问题要全面。

七、板书设计（贯穿两课时）

主板书区：

课题：27.3平面直角坐标系中的位似

一、以原点O为位似中心

对应点坐标：(kx，ky)（k>0，同侧）

(-kx，-ky)（k<0，异侧）

二、以任意点P(a，b)为位似中心

对应点坐标：x‘=k(x-a)+a

y’=k(y-b)+b

（k的符号决定同/异侧）

三、探究思路

一般情况→平移转化→原点情况→运算→平移回→得结果

四、核心思想

数形结合、转化化归、分类讨论

副板书区：

用于例题演算、学生提问的临时书写、关键步骤强调。

八、教学反思与创新特色

（一）教学反思

1.成功之处：

1.2.采用“特殊→一般”的探究路径，符合认知规律，有效突破了难点。

2.3.充分运用动态几何软件（GeoGebra），使抽象的变换过程可视化、直观化，极大助力了学生对规律几何意义的理解。

3.4.强调公式的推导过程而非机械记忆，注重数学思想方法（转化）的渗透，培养了学生的高阶思维能力。

4.5.例题设计有梯度，既有巩固性练习，又有辨析性、综合性和逆向性问题，满足了不同层次学生的需求。

6.待改进之处：

1.7.对于基础薄弱的学生，从“原点规律”到“一般规律”的推导过程可能仍然显得跳跃。可能需要更细致的“问题串”引导，或增加一个以非原点但在坐标轴上的点为位似中心的过渡环节。

2.8.两课时的容量较大，学生探究与练习时间可进一步优化分配，确保大部分学生能在课上完成核心内容的消化。

（二）创新特色

1.跨学科视野融合：

1.2.信息技术融合：GeoGebra不仅是演示工具，更是猜想验证和自主探究的平台。可设计学生操作环节，如拖动k值滑块观察图形连续变化。

2.3.联系实际应用：引入地图比例尺与坐标、计算机图像缩放（像素处理）、工程图纸的局部放大等实例，作为课后阅读或项目式学习主题，展现数学的实用价值。

3.4.与美术关联：探讨透视画法、艺术设计中的图案缩放与位似变换的原理，体现数学之美。

5.深度学习导向：

1.6.概念深度建构：始终围绕“为什么坐标这样变化？”这一核心问题展开，引导学生从向量平移、相似比定义等多角度解释公式的合理性。

2.7.促进迁移应用：引导学生思考位似变换与已学的平移、旋转、轴对称等变换在坐标系中表达式的异同，尝试用坐标研究这些变换的复合，为高中学习矩阵变换埋下伏笔。

3.8.设计开放性问题：如“给定一个图形和它的两个位似图形（不同中心和相似比），能否还原原图形？”“在坐标系中，如何用位似变换实现将一个图形‘贴’到另一指定位置和大小？”激发学有余力学生的探究欲望。

九、分层作业设计

A层（基础巩固）：

1.教材习题：完成本节所有基础练习题。

2.填空：以点(1，-2)为位似中心，相似比为3，点(4，0)的对应点坐标为______（考虑两种情况）。

3.判断：以点(2，3)为位似中心，将点(5，7)放大到原来的2倍，得到的对应点坐标一定是(8，11)。（）

B层（能力提升）：

1.已知△ABC与△A‘B’C‘是以点P(-1，1)为位似中心的位似图形，A(2，3)对应A’(-7，9)。求相似比k及点P到点B(0，