广东省深圳市龙岗区龙岭中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷（含答案）

2025-2026学年广东省深圳市龙岗区龙岭中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.龙岭学校综合组老师们开展了五类社团活动：舞蹈、篮球、钢琴、摄影、戏剧，现从中随机抽取1个社团活动进行展示，则抽中戏剧类社团活动的概率是(

)A.25 B.13 C.142.一元二次方程x2−2x=0的解是(

)A.x1=3，x2=1 B.x1=2，x2=0

C.3.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段AB=9，则线段BC的长是(

)A.12B.32C.24.若关于x的一元二次方程x2−3x+m=0有实数根，则m的取值范围是(

)A.m≥94 B.m≤94 C.m>5.如图，身高1.7m的小利(CE)站在距路灯杆5m的C点处，测得她在灯光下的影长CD为2.5m，则路灯的高度AB为(

)A.5.1mB.4.8m

C.3.4mD.4m6.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AO=3，则BD的长为(

)A.3B.4C.5D.67.下列命题中，假命题是(

)A.矩形的对角线相等 B.菱形的对角线互相垂直

C.正方形的对角线相等且互相垂直 D.平行四边形的对角线相等8.如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E在AB边上，点F在OD上，过点E作EG⊥BD，垂足为点G，若EF⊥CF，OF=2，则BE的长为(

)A.3B.2

C.2二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。9.若ab=3，则a+bb的值为

.10.如图，近几年二维码已经成为人民生活不可或缺的一部分，如图正方形二维码的边长为10cm，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右，据此可估计黑色部分的面积的为

cm211.物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法.如图，燃烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像A′B′，设AB=36cm，A′B′=24cm，小孔O到AB的距离为30cm，则小孔O到A′B′的距离为

cm.12.已知一元二次方程2x2−mx+3=0(m为常数)的一个根是12，则此方程的另外一个根的值为

13.如图，已知平行四边形ABCD，AB=4，AD=6，∠B=60∘，M、N分别是AD、BC上的点，将四边形沿MN对折，使B点和D点重合，则折痕MN=

.三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。14.(本小题6分)

解方程：

(1)x2−4x+3=0；

15.(本小题8分)

如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(4,1)，B(2,3)，C(1,2).

(1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；

(2)以原点O为位似中心，在第三象限画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为216.(本小题8分)

某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中，共设置了“交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全”四个主题内容，推荐甲和乙两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同.

(1)甲选择“食品安全”主题的概率为______；

(2)若我们学校现有九年级900人，请你估算出选择交通安全的同学有______人；

(3)请用画树状图法或列表法求甲和乙选择不同主题的概率(主题可用A、B、C、D表示).17.(本小题8分)

如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，数学老师过点B作BE//AC，且让BE=12AC，连接EC.

(1)有同学发现四边形BECO是矩形，请你完成证明过程；

(2)连接ED交AC于点F，连接BF，若AC=6，AB=5，求BF的长18.(本小题9分)

深圳市交警部门提醒市民：“骑行电动车，出门戴头盔，放心平安归”.某惠民商店统计了某品牌头盔的销售量，八月份售出100个，十月份售出144个，且从八月份到十月份月增长率相同.(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；

(2)经调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到了6000元，又尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？

(3)布吉街道计划将布吉站附近一个长为30m，宽为20m的空地规划为一个电动车停车场，如图所示，阴影部分都是宽为x的长方形的道路，若使除道路外，剩余部分的面积是522m2，则道路宽x应为多少？19.(本小题11分)

【问题发现】

数学九年级上册课本第39页读一读是关于一元二次方程的几何解法的内容.介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，例如x2+2x−35=0，可变形为x(x+2)=35.

第1步：如图1，构造一个长为x+2、宽为x、面积为35的矩形；

第2步：如图2，将4个矩形构造成一个边长为(x+x+2)的大正方形，中间恰好是一个边长为2的小正方形.

第3步：大正方形的面积可表示为(x+x+2)2，也可表示为4×35+22，由此可得新方程：(x+x+2)2=144，易得这个方程的正数解为x=5.

注意：这种构造图形的方法只能求出方程的一个根！

【初步尝试】

(1)利用上述一元二次方程的几何解法，求出方程x2+4x−21=0的一个正根，并画图；

(2)尝试：小颖根据赵爽的解法解方程2x2+3x−2=0，请将其解答过程补充完整：

第一步：将原方程变为x2+32x−1=0，即x(______)=1；

第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；(在画图区画出示意图，标明各边长)

第三步：根据大正方形的面积可得新的程：______；

解得原方程的一个根为______；

【思维拓展】

(3)参照以上方法，直接写出关于x的一元二次方程a20.(本小题11分)

根据以下素材，完成倍角三角形的性质探索与应用.定义在三角形中，如果一个角是另一个角的二倍，那么这样的三角形叫做倍角三角形.

例：如图中∠C=2∠A，则△ABC为倍角三角形.任务1概念明晰：

以下几个特殊三角形是倍角三角形的有______.

①等边三角形；②等腰直角三角形；③含30∘的直角三角形；④顶角为36∘的等腰三角形；⑤底角为36性质性质：二倍角的对边与单倍角的对边的平方差，等于单倍角的对边与第三边的乘积.

如图：若∠C=2∠A，则c任务2性质证明：

如图，在倍角三角形ABC中，∠ACB=2∠A，求证：AB2−BC2=BC方法一：平分∠ACB，则∠ACE=∠BCE=∠A.

方法二：延长AC至点D，使CB=CD，则∠D=∠A=∠CBD.

任务3性质应用：

如图，在△ABC中，∠C=2∠B，AB=6，BC=5，则AC=______.

任务4拓展应用：

如图，在△ABC中，∠ABC=3∠A，AC=5，BC=3，则AB=______.

参考答案一、选择题1.D

2.B

3.D

4.B

5.A

6.D

7.D

8.B

二、填空题9.4

11.20

12.3

13.57三、解答题14.解：(1)x2−4x+3=0，

因式分解得：(x−1)(x−3)=0，

解得：x1=1，x2=3；

(2)x(2x−1)=3(2x−1)，

整理得：x(2x−1)−3(2x−1)=0，

因式分解得：(2x−1)(x−3)=015.解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．

(2)如图，△A216.解：(1)由题意知，共有4种等可能的结果，其中甲选择“食品安全”主题的结果有1种，

∴甲选择“食品安全”主题的概率为14.

故答案为：14.

(2)选择交通安全的同学约有900×14=225(人ABCDA(A,A)(A,B)(A,C)(A,D)B(B,A)(B,B)(B,C)(B,D)C(C,A)(C,B)(C,C)(C,D)D(D,A)(D,B)(D,C)(D,D)共有16种等可能的结果，其中甲和乙选择不同主题的结果有12种，

∴甲和乙选择不同主题的概率为1216=34.

17.(1)证明：∵四边形ABCD为菱形，

∴OC=OA=12AC，OB=OD=12BD，AC⊥BD，

∴∠BOC=∠BOA=90∘，

∵BE=12AC，

∴BE=OC，

又∵BE//AC，

∴四边形BECO是平行四边形，

又∵∠BOC=90∘，

∴平行四边形BECO是矩形；

(2)解：AC=6，AB=5，

∴OC=OA=12AC=3，

∴BE=OC=3，

∵∠BOA=90∘，

∴△BOC是直角三角形，

由勾股定理得：OB=AB2−OA2=52−32=4，

∴OB=OD=4，

∵BE//AC，

∵OF是△BED的中位线，

∴OR=12BE=32，

在Rt△BOF中，由勾股定理得：BF=OB2+OF2=42+(32)2=732.

∴BF的长为732.

19.(1)将x2+4x−21=0改为x(x+4)=21，

故21×4+42=(x+x+4)2，

解得：x=3，

故x2+4x−21=0的一个正根为3，

如图，

；

(2)将原方程变为x2+32x−1=0，变形得：x(x+32)=1；

利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形如图：

，

根据大正方形的面积可得新的方程：(x+x+32)2=254，

解得原方程的一个根为x=12.

故答案为：x+32；(x+x+32)2=254，x=12；

(3)方程变形为：x(x+b)=c，

根据赵爽的解法可造方程为：(x+x+b)2=4c+b2，

∵b>0，c>0，

2x+b=±4c+b2(舍去负值)，

∴x=12(4c+b2−b)，

原方程的一个正数解为：x=12(4c+b2−b).

20.解：任务一：①等边三角形的三个角为60∘，无2倍关系，

∴等边三角形不是倍角三角形；

②等腰直角三角形顶角为90∘，底角为45∘，则90∘=45∘×2，

∴等腰直角三角形是倍角三角形；

③含30∘的直角三角形中，三个内角分别为30∘，60∘，90∘，则60∘=30∘×2，

∴含30∘的直角三角形是倍角三角形；

④顶角为36∘的等腰三角形三个内角分别为36∘，72∘，72∘，则72∘=36∘×2，

∴顶角为36∘的等腰三角形是倍角三角形；

⑤底角为36∘的等腰三角形的三个内角分别为36∘，36∘，108∘，无2倍关系，

∴底角为36∘的等腰三角形