山东青岛五十八中杜威实验学校2026届高三一模数学试题（含答案）

机密※启用前2026年青岛五十八中杜威实验学校高三一模数学注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设复数z=21+iA.1+iB.1−iC.−2.若集合A=x xA.A⊆BB.B⊆A3.《九章算术》是中国古代的数学名著,书中有“分钱问题”:现有5个人分5钱,5人分得钱数依次成等差数列,前两人分得钱数之和等于后三人分得钱数之和,则分得钱数最少的一人钱数为()A.13B.12C.24.1+1x21+A.15B.20C.30D.355.已知函数fx=e−x−1A.−∞,1B.1,+∞C.−∞,−6.已知圆台的侧面展开图是半个圆环,侧面积为4π,则圆台上下底面面积之差的绝对值为()A.πB.2πC.4πD.8π7.已知α,β∈0,A.5π4B.π4C.−8.设△AnBnCn的三边长分别为an,bnA.SnB.SnC.S2n−1为递增数列,D.S2n−1为递减数列,二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.在去年的足球联赛上,甲队每场比赛平均失球数是1.5,方差为1.1;乙队每场比赛平均失球数是2.1,方差是0.4,下列说法正确的有()A.平均来说甲队比乙队防守技术好B.乙队比甲队的防守技术更稳定C.每轮比赛甲队的失球数一定比乙队少D.乙队可能有一半的场次不失球10.已知函数fx=sinxA.gfx为偶函数B.fC.gfx在R上没有零点D.fgx11.现进行如下试验:从1,2,3,⋯,10中任选一个数,记为a1,若a1=1,则试验结束;否则再从1,2,⋯,a1−1中任选一个数,记为a2,若a2=1,则试验结束;否则再从1,2,⋯,A.pB.pC.PD.P三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.若向量a,b满足a+b=a−b，且13.双曲线C:x24−y25=1的左焦点为F,点A0,414.已知正四面体ABCD的棱长为22,动点P满足PA2+PB四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图,在三棱锥D−ABC中,AC=AB=BD(1)证明:平面EMN⊥平面ABC(2)若CD=23，求直线MN与平面16.已知a,b,c分别是△ABC内角A(1)若c=2,a=1(2)若AD=DB,cosB=217.甲参加围棋比赛,采用三局两胜制,若每局比赛甲获胜的概率为p0<p<1(1)当p=2(2)为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案.方案一:最终获胜者得3分，失败者得-2分;方案二:最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大.18.已知a,b∈R(1)当a=0时，求f(2)若fx(i)当b=0时,求a(ii)求证:a219.已知O为坐标原点，点W为⊙O:x2+y2=4和⊙M的公共点，OM⋅OW=0，(1)求C的方程；(2)若n>m>0,直线l1:x−y−m=0与C交于点A,B,直线l2:x−y−n=0与C交于点A′,B′,点A,A′在第一象限,记直线A①证明:G，E，H三点共线；②若m+12+n=7，过点H作l1的平行线，分别交线段AA′，BB′于点1.B因为z=21+i故选:B.2.A因为集合A=x x=k故选:A3.C设第n1≤n≤5,n∈N∗所得钱数为an钱,则数列a则5a1+5×42d=故选:C4.C因为1+1x21+x6=1+x6+1x2×1+x6,则1+x6展开式中含5.A当x>0时,当x<0时,且当x=0时,所以fx易知fx为R则f2x所以原不等式的解集为−∞,1故选:A6.B如图:设展开图小圆半径和大圆半径分别为r,R,则圆台侧面积S=π上底面半径r1=πr2π=圆台上下底面面积之差的绝对值为πR故选:B.7.D因为tanαtan而α,β∈0,−π<2α−β故选:D.8.Bb1=2a1∴b又b1由题意,bn∵b∴b由此可知顶点An在以Bn又由题意,bn∴b∴b∴=34a12a124−1故选:B.9.AB甲队每场比赛平均失球数是1.5;乙队每场比赛平均失球数是2.1,平均来说甲队比乙队防守技术好,A选项正确;甲队每场比赛平均失球数方差为1.1;乙队每场比赛平均失球数方差是0.4,乙队比甲队的防守技术更稳定,B选项正确;甲队每场比赛平均失球数是1.5;乙队每场比赛平均失球数是2.1,甲队的平均失球数比乙队少,但是每轮比赛甲队的失球数不一定比乙队少,C选项错误;甲队每场比赛平均失球数是1.5;乙队每场比赛平均失球数是2.1，平均失球数是3.6，乙队有一半的场次不失球则每场比赛平均失球数要小于1.8,D选项错误.故选:AB.10.ACD对于A,gfx=cossinxgf−x=cossin−x=cos对于B,fgx=sincosxfg−x=sincos−x=sincosx对于C,令gfx=0,即cossin又−1≤sinx≤1,则sinx=kπ+π2无解,所以对于D,fgx=sincosx,因为假设存在0<T<2π,使得sincosx令x=0,则sin1=sincosT,所以因为0<T<2π,这样的所以fgx的最小正周期为2π,故D故选:ACD.11.BCD对于A,若数字9被选到,有两种情况:第一次选数时,从1到10中选到9,概率为110第一次选到10，第二次从1到9中选到9，概率为110×所以p9=110+1对于B,若数字8被选到,有以下几种情况:第一次就选到8,概率为110A9发生后,下一次从1到8中选到8,概率为1A10发生后,下一次从1到9中选到8,概率为1这几种情况彼此互斥,所以p8=110+1对于C,根据条件概率公式PA若A9发生,即数字9被选到,那么在选到9下一次从1到8中选到8的概率为18,即P若A10发生,即数字10被选到,那么在选到10的情况下,可以下一次从1到9中选到8,也可以是下一次从1到9中选到9，再下一次从1到8中选到8即PA所以PA8∣A9=对于D,对于Ak即选中k的情况,设m为选中数当中不小于k则p=当k≤9时,有结合p10=110所以最大数选取是任意的,始终有pk对于i,j同时选中情况,不妨设i<j,P选中i的概率,则有PA可得PAiAj=P故选:BCD12.5因为a+b=a−b,所以两边平方得a2+b2+2a故答案为:513.9设双曲线C:x24−对于双曲线C:x24−y25=因为点P在双曲线的右支上,所以PF−PF2=则PA+根据三角形三边关系:两边之和大于第三边,可得PA+PF2≥A已知F23,0,所以PA+PF=PA+PF故答案为:914.2建立正四面体的顶点坐标,设四个顶点为A1每条棱长均为22,设动点PPPPPPP因为PA所以z=0,即所有满足条件的点P构成的平面为z=0而A,B,C由对称性可得棱AC交于0,1,0,棱AD交于1,0,0,棱BC交于−1截面四边形的顶点为0,在xoy平面上形成一个菱形,其对角线的长度为2,故面积为2.故答案为:2.15.(1)证明:∵E,M分别为AB,AD又AB⊥BD，∴∵E,N分别为AB,BC又AB⊥AC,∵EN∩EM=E∴AB⊥平面EMN,又∵AB⊂∴平面EMN⊥平面ABC(2)在Rt△ABC中，由AC=则BC=22,又∴BC2+B又AB⊥BD,AB∩∴BD⊥平面以A为原点,分别以AC,AB所在直线为x,y轴,以平行于BD的直线为z则C2则AC=设n=x,y,z则有n⋅AC=2x=0n⋅AD设MN与平面ACD所成角为α,则sinα所以直线MN与平面ACD所成角为π616.13(2)141)因为a2所以cosC因为0∘<C<180因为asinA=csin所以sinA=12,又a<c,所以sin105所以S△(2)因为AD=DB，所以D为AB由题设a2+b2−c2=2ab及余弦定理可得sin设∠BCD=α，在△BCD中，有在△ACD中，有DAsin①②相除，得:sin45∘−αsinα所以cosαsinα=4所以∠BCD的正切值为117.(1)记“甲最终以2:1获胜”为事件A，记“甲最终以2:0获胜”为事件B，“甲最终获胜”为事件C,于是C=A∪B,A由于PA则PC即甲最终获胜的概率为2027(2)由(1)可知，PC=若选用方案一，记甲最终获得积分为X分，则X可取3,−2P则X的分布列为:X3-2p31则EX若选用方案二,记甲最终获得积分为Y分,则Y可取1,0,P则Y的分布列为:Y10p31则EY所以EX由于0<p<1于是p=1当0<p<12当12<p<118.(1)a=0时,当b≤1时,f′x≥0当b>1时,x∈[0,lnb),f′x<0,函数函数fx的极小值是b−(2)(i)当b=0时，因为函数fx存在零点，故若x=0,此时无解,所以x>0,①若a≤0,gx②若a>0,令由零点存在定理可知存在x0所以gx在0,x0上为减函数,在故gxmin=ex0−ax(ii)因为函数fx存在零点,所以fx=ex−ax−若x0=0,则1−a故ax0+bxa2+b2表示原点与直线xx0a2+b2≥x0>0时,要证a2+解法一:即证e2令gx=e2x−令hx=e2x−2x−1,x>0即g′x>0,g故gx>g0=1,故e解法二:令φx=e2xx令φ′x<0,得令φ′x>0,得所以φx19.(1)设Mx,y,⊙M与直线x+MN所以x化简得y2=4x,所以C的方程为:(2)①设线段A′B′的中点为因为l1//l2又因为GE=所以