山东省济钢高级中学2025-2026学年高三下学期3月学情检测数学试题（含答案）

山东省济钢高级中学2025-2026学年高三下学期3月学情检测数学试题2026.3一、单选题选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.1.若复数z满足1+iz=i,则zA.-1B.1C.-iD.i2.已知集合U={-2,-1,A.{-2,3}B.{-3.已知等差数列an的前n项和为Sn,若a5与a7是方程x2-8A.41B.42C.43D.444.已知sinα-π6+cosA.-725B.725C.5.已知向量a,b满足a=b，且b在a-A.1B.2C.3D.26.设A,B是两个随机事件,已知PA=35,PB=2A.613B.12C.97.设函数fx=x3+3x2+6xA.2B.1C.-1D.-28.设椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点分别为F1,F2,椭圆E上点P满足PF1⊥PF2,直线PF1和直线PA.32B.53C.10二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.9.下列说法中正确的有()A.若a>b>0,B.若a>b>0,C.若1<a<3,-D.若a<0,ab>10.已知⊙O:x2A.⊙O上一点到直线l:y=B.⊙O和圆C1:C.⊙O和圆C2D.⊙O和曲线C:y2=3x交于A,B11.已知函数y=fnn∈N*的函数值等于n的正因数的个数.A.fB.fC.kD.设bn=2n三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某流水线上生产的一批零件,其规格指标X可以看作一个随机变量,且X∼N98,σ2,对于X≥100的零件即为不合格,不合格零件出现的概率为0.05,现从这批零件中随机抽取500个,用Y表示这500个零件的规格指标X位于区间96,13.一条直线与函数y=lnx和y=ex的图象分别相切于点Px1,y1和点14.已知三棱锥P-ABC的各顶点均在半径为2的球O表面上，∠OB⊥OC，则三棱锥O-ABC的内切球半径为_____；若AP=22四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a(1)求C；(2)若c=3,D为边AB的中点，CD=16.如图,四边形ABCD是等腰梯形,AB//CD,AB=AD=12CD=2,E是CD的中点,O是BD与AE(1)证明:BC⊥平面POB(2)若PO⊥平面ABCE,求二面角A-PB17.为培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某学校每月都会开展学农实践活动.已知学农基地前10个月的利润数据如下表,月份用x表示,t=sinx,利润用y(单位:万元)表示,已知y与x的经验回归方程为x12345678910y4.6834.8193.2821.4861.0822.4414.3144.9793.8241.912t0.8410.9090.141-0.757-0.959-0.2790.6570.9890.412-0.544(1)求a,b的值((2)某班班主任和农学指导教师分别独立从该班5名班级干部名单中各随机选择2人作为组长,设被选出的组长构成集合M,集合M中元素的个数记为随机变量X.(i)求X的分布列及数学期望;(ii)规定:进行多轮选择,每轮出现X=3记为A,出现X≠3记为B,先出现AB为甲胜,先出现AA为乙胜.记P1表示“第一轮为A且最终甲胜的概率”,P2表示“第一轮为B且最终甲胜的概率”,参考数据:i=参考公式:对于一组数据x1,y1,x2,y218.已知P,Q是双曲线Γ:x2a2-y2(1)若点A在Γ上，求Γ的渐近线方程.(2)当O,P,Q,A四点共线时，(i)求Γ的方程;(ii)若B,P,Q三点共线,P,Q两点均不在x轴上,M,N分别为Γ的左、右顶点,直线PM与QN交于点D,证明19.已知函数fx(1)求fx在x=(2)若fx≤gx恒成立，求(3)求证:k=1.B因为1+iz=i,所以z=i-1i=i2-2.A由题意可得:A∪B={-1,0,1,3.D由于a5与a7是方程x2-8x+即a5+a7=2因此S11故选:D4.Bsinα所以32所以sinαcos故选:B.5.D因为b在a-b上的投影向量为单位向量,所以所以b⋅a-ba-设b⋅a=m,a两边平方得m-n22=a令m-n2=x,则x2=-2x当x=0时,这时m=n2,此时a=b,当x=-2时,即此时a-故选:D.6.C由已知得PA注意到PA=PA∣B=2故PABP又因为C=A∪B,所以PA故选:C.7.D因为fx=x+13+3x+令gt=t3+3t,g't=由于ga所以a+1+b+1故选:D.8.D由题设,令∠PF1F2=θ,故PF1=2c由F1AF2B=23,令由PA2+PF22所以c2+2mccosθ由PB2+PF12所以c2+3mcsinθ所以2mccosθ+a联立①②，得ecosθ=45,esinθ=所以e=故选:D9.ABD对于A选项,因为a>b>0,c由不等式的基本性质可得-ac>-bd,则ac对于B选项，因为a>b>0，不等式的两边同时除以ab可得因为c<0,由不等式的基本性质可得ca对于C选项,因为1<a<3,-1由不等式的基本性质可得1<a-对于D选项，因为a<0，ab>a2，由不等式的基本性质可得b<a<0，则-故选:ABD.10.BD对于A,圆心O的坐标为0,0,圆心O到直线l:y=x+4的距离为41+1=22所以⊙O上一点到直线l:y=x+4距离的最小值是22对于B,圆C1的标准方程为x+12+y+22所以OC1=12+22=两圆方程相减得x2+y2+2x+4y-4-x2+y2-4=0,化简得x+2y=0.所以两圆的相交弦的直线方程为x对于C,圆C2的标准方程为x+32+y+42所以OC2=3所以⊙O和圆C2:x2+y2对于D,联立x2+y2=4y2=3x,得x2+3所以A1,3,B1,-3,所以11.ACD对于A,6的正因数为1,2,3,6共4个,所以f6=4,故对于B,2025=34×52,它的因数形如所以不同的因数有5×3=15个,即f2025=15对于C,因为6k=2×3k所以S=1-12+1对于D,f2=k=≤5216-1b5b6+12.45由正态分布的性质得质量指标在区间96,100的概率为1-2×0.05=0.9,即1件产品的质量指标位于区间96,故答案为:4513.-2因为fx=lnx,gx=ex,所以f'x=1x,g'x=ex,则y=lnx在点Px1,y1处的切线方程为y-lnx1=1x1x-x1,即y=1x1x+lnx1-1;y=ex14.2如图,根据题意,OA=OB=所以AB⊥AC,设BC的中点为O1,则O1是△ABC外接圆的圆心,则OO1⊥平面S设三棱锥O-ABC内切球的半径为rV即2×由VO-PBC=VP所以当点P到平面OBC的距离最大时,三棱锥O-PBC如图,以O1为坐标原点,O1A,O1B,O1O设点Px,y,z所以x2+y2+z两式相减解得z-代回上式可得2x2+y2=4,所以又平面OBC的一个法向量为n=所以点P到平面OBC的距离为d=所以点P到平面OBC的最大距离为2,所以三棱锥O-PBC的体积最大值为故答案为:22-6；15.1(2)6(1)因为sinBcosAcosC=sinA+CcosAcosC=(2)由于1故4=a2+b2+2cosC=cos2aab=-所以a-16.(1)如图,连接BE.∵AB=12CD,E为又∵AB//DE且AB=AD，∴四边形ABED∴AE⊥OB,AE⊥OP,又与四边形ABED为菱形同理,可知四边形ABCE为菱形,∴AE//BC,∴BC(2)由(1)可知△DAE即△PAE是边长为2的等边三角形，又PO⊥平面所以OA,OB,OP两两互相垂直,以以OA,OB,OP所在直线分别为已知AB=AD则O0∴PA设平面PAB的一个法向量为m=则PA⋅m=x-3设平面PBC的一个法向量为n=则PC⋅n=-2a∴cos⟨故二面角A-PB-C17.(1)由已知公式得i=所以b=所以a=(2)(i)由题意知，X的可能取值为2,3,4，PPP其分布列为X234P1353E当第一轮为A时,若第二轮为B,则甲胜;若第二轮为A,则乙胜,所以P1当第一轮为B时,若第二轮为A,则最终甲胜的概率为25P1,若第二轮为B,则最终甲胜的概率为所以P2=25P1故甲胜的概率P=18.1(2)(i)x2-y2=1；(ii)动点D(1)因为点A在Γ上,所以4a又a>0,所以故Γ的渐近线方程为y=±(2)(i)直线OA的方程为y=由y=34xx2因为a>0,所以所以PQ=解得a2故Γ的方程为x2(ii)证明:因为P,Q两点均不在x轴上,所以直线PQ的斜率不为0,则可设直线PQ的方程为由x=my+2x则Δ=16设Px1,y1,直线PM:y=y1x由y=y1x1=解得x=12,故动点D在定直线x19.(1)f'x=-sinx+11+x,则f'0=-sin(2)设hx由条件可知hx≤0由于h0=0,且h所以x=0是hx的一个极大值点,则又h'x=-sinx+11+x-a下证当a=1时