临汾市2026年高三年级质量监控第一次模拟测试 数学+答案

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临汾市2026年高三年级质量监控第一次模拟测试

数学

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案用0.5mm

黑色笔迹签字笔写在答题卡上。

4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,<a,,则a·b=()

A.√3B.1.C.2D.3

2.已知直线2x+ay+6=0与直线(a-1)x+y+a²-1=0平行，则a=()

A.2B.-1或2

C.-1D.-2或1

3.从1,3,5,7,9这五个数中，依次取出两个不同的数分别为a,b,共可得到lga-lgb的不同

值的个数是()

A.10B.16C.18D.20

4.已知a=0.3°.¹,b=log2s3,c=log₂3.5,则a,b,c的大小关系为()

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<a<b

数学试题第1页(共6页)

5.甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《惊蛰无声》、《飞驰人生3》、《熊猫计划之部落奇遇

记》、《重返狼群》、《熊出没·年年有熊》五部电影中任选一部，则三人看同一部电影的概

率为()

ABCD

6.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,●

AC=6,PA=4,则三棱锥P-ABC外接球的表面积为()

AB.16π

CD.64π

7.已知f(x)=(x²-x)sin(2x-1)+1,数列{a。}满足

则a₂026为()

A.2025B.2026C.4050D.4052

8.阿基米德不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号，圆锥曲线上任意两点

M,N处的切线交于点Q,称△QMN为“阿基米德三角形”.已知抛物线C:y²=4x的焦点为

F,过F的直线l交抛物线C于A,B两点，且|AF|=3|BF|,抛物线C在A,B处的切线交

于点P,则△PAB的面积为()

ABCD

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.下列函数中既是偶函数，又在(0,+∞)上单调递减的是()

A.y=e+B.y=x⁻⁴C.y=3-|x|D.y=ln|x|

数学试题第2页(共6页)

10.已知四校锥P-ABCD的底而是边长为1的菱形，PD⊥平面ABCD,,PD=1,

AC与BD相交于点0,E是线段PB上的动点，则()

A.AC⊥DE

B.PO与底面ABCD所成角的正切值为2

C.二面角D-BP-C的余弦值

D.△AEC面积的取值范围；

11.已知函数f(x)=cos(ax+φ)-sin^(ax+φ)(w>0,0<φ<π)的部分图象如图，则()

Af(x)图象的一条对称轴y4

B.f(x)在区间上单调递增O6

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知随机变量X服从正态分布N(μ,a²),P(X≤-2)=P(X≥8),则μ=.

13.已知在底面边长为4√3,高为4的正三棱柱ABC-A₁B₁C₁内有一个半径为1的小球，该小

球可以在正三棱柱内自由活动，当任意旋转、晃动正三棱柱过程中小球至少与正三棱柱

的一个面相切时，小球球心的轨迹在正三棱柱的内部又会形成一个新的几何体，则该几

何体的体积为.

数学试题第3页(共6页)

14.2026年马年春晚，魔法原子、银河还用、宇树科技及松延动力等机器人厂商的机器人参

与了武术、小品、歌曲、微电影等四大类节目演出，我们国家已经成为人形机器人领域的

强劲竞争者.现有一人形机器人根据指令在平面上能完成下列动作：如图，先从原点0

沿东偏北方向行走一段时间后，再向正北方

向行走一段时间，但何时改变方向不定.假定机器人行走

速度为15m/min,则机器人行走2min时距原点的最远距离

是m,最近距离是m.(第1空2分，第2空3分)

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(13分)

已知数列{a。}满足a₁+a₂+…+an=n²(n∈N*).

(1)求数列{a,}的通项公式；

(2)令,求数列{b。}的前n项和S.

16.(15分)

水体富营养化导致藻类大量繁殖，以2017年中国太湖蓝藻爆发为例：5月初监测发现湖

体中蓝藻细胞密度为每升50万个，随着气温升高至25-30℃且氮磷营养盐浓度超标(总

磷浓度达0.15mg/L),蓝藻进入增长期.5月10日细胞密度增至每升200万个，5月15

日突破每升800万个，5月20日达到每升3200万个，形成面积超150平方公里的绿色水

华带.此次爆发导致湖区溶解氧骤降至2mg/L以下，大量鱼类死亡，自来水厂被迫停产、

所以对水资源的保护刻不容缓，现对某区域的藻类面积y(单位：平方公里)与时间x(单

位：年)的关系，进行监测，得到如下数据：

x/年1234567

y/平方公里611213466101196

数学试题第4页(共6页)

根据以上数据，绘制成如图所示的散点图：

观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用对数函数模型y=a+blnx和指数

函数模型y=c·d分别对两个变量的关系进行拟合.

(1)根据散点图判断y=a+blnx与y=c·d(a,b,c,d均为常数)哪一个更适合作为藻类

面积y(单位：平方公里)与时间x(单位：年)的关系的回归方程类型(给出判断即

可，不必说明理由);

(2)根据(1)的判断结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程；

(3)若不及时保护水质，当第八年检测时，请估计藻类面积为多少平方公里.

参考数据：

Yv100.5

62.141.54253550.123.47

其中v₁=lgy;,

参考公式：对于一组数据(u,v₁),(u₂,0₂),…(un,),其回归直线=βu+α的斜率和截

距的最小二乘估计公式分别为

-

数学试题第5页(共6页)

17.(15分)

在锐角△ABC中，角A,B、C的对边分别为

(1)求角B;

(2)当b=2√3时，△ABC的面积为S,周长为L,求的取值范围.

18.(17分)

已知椭圆(a>√3)的右焦点为F,离心率

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点F作直线l(与x轴不垂直)与椭圆C交于A、B两点，在直线x=4上取点P,使

PA//x轴，证明：直线PB恒过定点；

(3)设点Q为椭圆上异于其左右顶点的一点，过Q分别作椭圆C的两条切线

QM、QN,切点分别为M、N,设直线QM、QN的斜率分别为k₁、后₂,证明：k₁k₂为定值.

19.(17分)

已知函数f(x)=bx-a³(a、b∈R且a>1).

(1)当a=e时，y=f(x)在x=2处的切线斜率为0,求b的值；

(2)若对任意的b>2e,函数f(x)有两个不同的零点，求a的取值范围；

(3)当a=e,b>0时，若函有两个不相等的零点x₁,x2,证明：x₁+x₂>2b.

数学试题第6页(共6页)

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数学试题参考答案和评分参考

评分说明：

1.本解答只给出了某些解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根

据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。

2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未

改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超

过该部分正确解答分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就

不再给分。

3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

4.只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。

一.单项选择题

题号12345678

答案BCCACDBB

二.多项选择题

题号91011

答案BCABDBCD

三.填空题

12.313.6√314.第一空30,第二空15√2

第1页，共14页

14.解：设改变方向的地点为M,终点为P,

由于|OM|+|MP|=15×2=30,所以|MP|=30-|OM|,OM∈[0,30],

9

由余弦定理得|oP|=√loM²+|MP²-2|oM|MP|cos∠OMP

=√loM²+(30-IOM|)²+2|oM|(30-oM|)sinθ

=√2(1-sine)-|OM²-60(1-sin0)-|OM|+900

当时，|OP|=30m

当时，1-sinθ>0

结合二次函数的性质可知时

|OP|取得最小值

√2(1-sin0)×15²-60(1-sinθ)×15+900=√450+450sinθ,

第2页，共14页

0≤sinθ<1,450+450sinθ∈(450,900),

√450+450sinθ∈(5√2,30).

结合二次函数的性质可知当|OM|=0或|OM|=30时，

|oP|取得最大值√2(1-sinθ)×0-60(1-sinθ)×0+900=30.

综上所述，lop|∈[15√2,30]最远距离是30m,最近距离是15√2m.

四.解答题

15.解：(1)a₁+a₂+…+a=n²①

当n≥2时a₁+a₂+…+a₋1=(n-1)²②

①—②得aₙ=n²-(n-1)²=2n-13分

当n=1时，a₁=1,符合上式…………5分

综上：a=2n-1,n∈N°6分

(2)…………9分

……………11分

第3页，共14页

……………13分

16.解：(1)根据散点图判断，y=c·d×更适宜作为藻类面积y与时间x

的关系的回归方程类型.………………2分

(2)由y=c·d*,两边同时取常用对数得lgy=1g(c·d*)=Igc+xlgd.

设lgy=v,lgc=a,lgd=β∴诊=a+βx……………4分

……8分

把(4,1.54)代入=â+xβ,得α=0.54……………9分

∴=0.54+0.25x…………10分

∴=10⁰.54+0.25×=3.47×10⁰.25×,

即y关于x的回归方程为=3.47×10⁰25×……………12分

(3)当x=8时，y=3.47×10⁰25×8=347(平方公里)…………14分

所以，若不加治理，第8次检测时，海藻面积约为347平方公里.

第4页，共14页

………………15分

17.解：(1)由题可得

2cosAcosC(tanA+tanC)=tanB,

即

化简可……3分

因为A+B+C=π,sinB≠0

所以,艮……4分

因为B∈(0,π),所以…………6分

(2)解法一：

L=a+b+c=a+c+2√3…7分

由余弦定理可得：

b²=a²+c²-2accosB,即12=a²+c²-ac…………8分

因为12=(a+c)²-3ac,即(a+c+2√3)a+c-2√3)=3ac………10分

第5页，共14页

由正弦定理可得，a=4sinA,c=4sinC12分

…………13分

因为,所以……………14分

所以a+c∈(6,4√3所以……15分

解法二：

由正弦定理可得，a=4sinA,c=4sinC7分

L=a+b+c=a+c+2√3………………8分

第6页，共14页

因为所以……………13分

所

所………………15分

18.解：(1)由题意可知：,又b²=3,故

解得：a²=4,故椭圆C的方程为：………………2分

(2)当kAB=0时，直线BP方程为：y=0.…3分

当kAB≠0时，设直线AB的方程为：x=my+1(m≠0)………4分

第7页，共14页

且交椭圆C分别为点A(x₁,y₁)、B(x₂,y2),联立

得：(3m²+4)y²+6my-9=0

△=36m²+36(3m²+4)=144(m²+1)

……………6分

由图形的对称性知，直线BP恒过的定点在x轴上，

设定点为T(t,0),P(4,y)

则有,即(4-t)y₂=x₂y₁-ty,………8分

…………9分

综上，直线BP恒过定点……10分

(3)设Q(x₀,y%),设切线为：y-yo=k(x-x₀),

第8页，共14页

联立得：

(3+4k²)x²+8k(y%-kx₀)x+4(y%-kx。)²-12=0,…………12分

由△=64k²(y%-kx。)²-16(3+4k²)[(y%-kx。)²-3]=0

得：4k²(y。-kx₀)²-(3+4k²)[(y₀-kx₀)²-3]=0

即-3(yo-kx₀)²+9+12k²=0

即(12-3x₀²)k²+6x₀y₀k-3y²+9=0

,……14分

又Q在椭圆E上，即①

将①代入得

故k₁k₂为定值.…………………17分

19.解：(1)由a=e知f(x)=bx-e*,f'(x)=b-e,

由题知，f'(2)=b-e²=0,故b=e²3分

第9页，共14页

(2)解法一：

∵f(0)=-1≠0,f(x)=bx-a*有两个不同的零点等价于

∴方程有两个不同的根…………4分

则,由g'(x)=0得

当x∈(-∞,0)和时，g'(x)<0,g(x)单减，

时，g'(x)>0,g(x)单增，

………6分

x→-∞时，g(x)→0;x→0-时，g(x)→-∞

x→0+时，g(x)→+00;x→+∞时，g(x)→+∞

………………7分

由题知，Vb>2e,方程有两个不同的根，

故elna≤2e………………8分

得：1<a≤e²………………9分

第10页，共14页

解法二：

当x≤0时，f(x)=bx-a*<0,对Vb>2e,f(x)无零点………4分

当x>0时，令bx-aˣ=0,得bx=a*,

即Inb+Inx=xIna

令g(x)=Inb+Inx-xlna,x>0,

则对Vb>2e,g(x)有两个不同零点，而

则当)时，g'(x)>0,g(x)单增

当时，g'(x)<0,g(x)单减………6分

又x→0+时，g(x)→-∞;x→+∞时，g(x)→-∞0,7分

得即…………8分

故a≤e²,又a>1,