7年级数学寒假作业15 认识方程、一元一次方程的解法（巩固培优）（解析版）

限时练习：40min完成时间：月日天气：作业15认识方程、一元一次方程的解法一、方程含有未知数的等式叫作方程．例如：x=0，2x=5，y+3=-5，二、方程的解与解方程1.一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解．例如：x=2是方程22.求方程的解的过程，叫作解方程．三、一元一次方程的概念1.一般地，如果方程中只含有一个未知数（元），且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程．例如：x=1，2x-2.一元一次方程的最简形式为x=b3.一元一次方程的标准形式为ax+b=0(a≠四、列简单的一元一次方程列方程就是把实际问题中的等量关系用方程的形式表示出来．列方程的一般步骤如下：（1）审：仔细审题，弄清题中的已知量、未知量和相等关系；（2）设：设出恰当的未知数，并把与相等关系有关的量用未知数表示出来；（3）列：根据题中等量关系列出一元一次方程．五、等式的性质性质内容字母表示示例两个基本事实对称性：如果a=b，那么传递性：如果a=b若a=2，2=c性质1等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等如果a=b若a=b性质2等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等如果a=b，那么ac=bc若a=b，则a六、合并同类项与系数化为11.合并同类项将一元一次方程中含有未知数的项与常数项分别合并，使方程转化为ax=b(a≠0)的形式，变形依据是2.系数化为1方程两边同时除以未知数的系数，使一元一次方程ax=b(a≠0)变形为x=ba(a≠0)的形式，变形的依据是等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等七、移项法解一元一次方程1.移项（1）把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项．（2）移项的目的：使含有未知数的项与常数项分别位于方程的两边，以便为下一步合并同类项创造条件．移项的依据是等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．（3）移项的方法：通常把方程右边的含未知数的项改变符号后移到方程左边，把方程左边的常数项改变符号后移到方程右边．但也不尽然，比如为使未知数的系数不出现负数，也可以把含未知数的项放在右边，常数项放在左边．例如：-x+1=5，移项，得1-5=x，所以-2.移项法解一元一次方程的步骤（1）移项；（2）合并同类项；（3）系数化为1．例如，解方程：10-4y=6y+5，移项，得合并同类项，得-10y=-5八、去括号与去分母1.去括号（1）解含有括号的一元一次方程时，利用去括号法则去掉括号．（2）去括号是为了下一步能用移项法解方程，实质是分配律．（3）去括号各项的变化：①如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来符号相同，例如：+(a-②如果括号外的因数是负数，去括号后要改变原括号内各项的符号，例如：-(a③当括号前不是“+1”或“-1（4）去括号解一元一次方程的步骤：①去括号；②移项；③合并同类项；④系数化为1．2.去分母（1）在含有分数系数的方程两边都乘同一个数（该数为各分母的最小公倍数），使方程中不含分母，这样的变化过程叫作去分母．（2）去分母的目的是将方程中的分数系数转化为整数，再利用去括号、移项、合并同类项、系数化为1解方程．去分母的依据是等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．（3）对于含小数的一元一次方程，先将小数化为分数，再利用去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解方程．九、解一元一次方程的步骤变形名称具体做法变形根据易错点示例3x+1去分母方程两边乘各分母的最小公倍数等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等（1)易漏乘不含分母的项；（2)分子是和、差的形式时，分子容易漏加括号两边同乘12，3(3x+1)+4(x-去括号可按“小、中、大”的顺序去括号，也可灵活决定（1）分配律；（2）去括号法则（1）容易漏乘括号里面的项；（2）容易出现符号错误9x+3+4x-移项把含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等移项容易不变号9x+4x-合并同类项把方程化为ax=b(a≠合并同类项法则系数相加时容易算错7x=65系数化为1方程两边除以未知数的系数等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等（1）系数含字母时,容易不先判断系数是否为0而直接两边同时除以系数；（2）容易把分子、分母颠倒x=十、解含有绝对值的方程根据“x=a，则x=±a”，将绝对值符号去掉，化为两个一元一次方程，再解这两个方程．例如，解方程：2x+1=3三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型题型一（一元一次）方程的概念1.给下列各式：①7-8y；②3t2+4t=4；③4+6=10；④2y+1=y-2；⑤3x-1=4；⑥2z>3；⑦48=【答案】②④⑤④⑤【解析】解：根据题意，得是方程的是②3t2+4t=4；④2y+1=y-2；故答案为：②④⑤．是一元一次方程的是④2y+1=y-2；⑤3x-1=4；故答案为：④⑤．题型二列方程2.《儿童算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，问人数是多少？若设人数为x，则下列方程正确的是（）A．8x+3=7x-4 B．8x-3=7x+4C．8x-3=7x+4 D．8x+4=【答案】B【解析】解：设人数为x，根据题意可得：8x-3=7x+4．故选B．题型三（一元一次）方程的解求代数式的值3．已知x=-2是关于x的方程2ax-b+5=0的解，则8a+2b+2032=．【答案】2042【解析】解：∵x=-2是关于x的方程2ax-b+5=0的解，∴-4a-b+5=0，∴4a+b=5，∴8a+2b+2032=24a+b故答案为：2042．题型四由等式的性质判断变形正误4．下列变形正确的是（

）A．若3x-1=2x+1，则3x+2x=1+1B．若3x+1-5C．若1-3x-12D．若x+10.2-【答案】D【解析】解：A：原方程3x-1=2x+1，移项时应将2x移至左边变为3x-2x，-1移至右边变为1+1，正确变形为3x-2x=1+1，选项A错误地将2x的符号写为+2x，故错误；B：展开3x+1-51-x时，3x+1=3x+3正确，但-51-x应展开为C：原方程1-3x-12=x，去分母应两边乘2得2-3x-1=2x，即2-3x+1=2x，合并为3-3x=2xD：原方程x+10.2-x0.3=10，两边同时乘以1故选：D．题型五由等式的性质比较大小5．若a-b>0，则a>b；若a-b=0，则a=b；若a-b<0，则a<b，这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小．(1)试比较代数式5m2-4m+2(2)已知代数式3a+2b与2a+3b相等，试用等式的性质比较a，(3)已知12m-1【答案】(1)5(2)a=b(3)m>n【解析】（1）解：5∵不论m为何值，都有m∴5（2）解：∵3a+2b=2a+3b，∴等式两边同时减去2a+3b，得3a+2b-2a+3b整理得a-b=0，∴a=b．（3）解：∵12根据等式的性质两边同时乘以6可得3m-2n-6=3n-2m整理得5m-5n=6，即5m-n∴m-n>0，∴m>n．题型六由两个一元一次方程解之间的关系求字母的值6．已知关于x的方程3x-72=2+2x3的解是关于y的方程2m-3y5=1-3m【答案】8【解析】解：解方程3x-72=2+2x解方程2m-3y5=1-3m，得∵关于x的方程3x-72=2+2x3的解是关于y的方程∴5=5×17m-5解得m=8故答案为：817题型七一元一次方程的整数解问题7．关于x的一元一次方程16mx-43=【答案】12【解析】解：16去分母，得mx-8=3x-2去括号，得mx-8=3x-6，移项、合并同类项，得m-3x=2解得x=2∵关于x的方程16∴m-3=±1或m-3=±2，，解得m的值为4或2或5或1，∴整数m的所有可能的取值之和为：4+2+5+1=12，故答案为：12．题型八由一元一次方程的解的情况求值8．若关于x的方程m3x+1=-n2+【答案】-1【解析】解：mm3m3∵该方程有无数个解，∴m3-1∴m=1，n=-2，∴m+n=1-2=-1，故答案为：-1．题型九错看或错解一元一次方程问题9．小明在解方程x-22+13=x+a时，误将x+a看成了x-a【答案】x=-【解析】解：根据题意得，x=4是方程x-22∴4-22解得：a=8∴原方程为x-2解得：x=-20即原方程的解为x=-20故答案为：x=-20题型十一元一次方程的遮挡问题10．嘉淇在进行解一元一次方程的练习时，发现有一个方程“3x+7=■-x”中的常数被“■”遮挡．(1)嘉淇猜想“■”遮挡的常数是1，请你算一算x的值；(2)老师说此方程的解与方程2x-12=【答案】(1)x=-(2)遮挡的常数是19【解析】（1）解：由题意得3x+7=1-x，移项，得3x+x=-7+1，合并同类项，得4x=-6，系数化为1，得x=-3（2）解：2x-1移项，得2x-1合并同类项，得32系数化为1，得x=3，设遮挡的常数为a，把x=3代入方程得3×3+7=a-3，解得a=19．故遮挡的常数是19．题型十一整体换元求一元一次方程的解11．已知关于x的一元一次方程12025x+3=2x+b的解为x=5，那么关于y的一元一次方程12025【答案】y=2【解析】解：将方程120252y+1=4y-1+b∵方程12025x+3=2x+b的解为∴方程120252y+1+3=2解得y=2．故答案为：y=2．1．已知x＝1是方程2-13（a﹣x）＝2x的解，求关于y的方程a（y﹣5）﹣2＝a（2y﹣【答案】见试题解答内容【解析】解：把x＝1代入方程得：2-13（a﹣1）＝解得：a＝1，代入方程a（y﹣5）﹣2＝a（2y﹣3）得：（y﹣5）﹣2＝2y﹣3，解得：y＝﹣4．2．若a、b、c、d是正数，解方程x-a-b-cd+【答案】x＝a+b+c+d．【解析】解：原方程即：x-a-b-cd-1+x-a-b-dc-1+x-a-c-d∴x-a-b-c-dd+∴（x﹣a﹣b﹣c﹣d）（1a+1∵a，b，c，d是正数，∴1a+∴x﹣a﹣b﹣c﹣d＝0，∴x＝a+b+c+d．3．如图，已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a、b满足|a+3|+（b﹣2）2＝0．（1）求A、B所表示的数；（2）点C在数轴上对应的数为x，且x是方程2x+1=12x﹣①求线段BC的长；②在数轴上是否存在点P，使PA+PB＝BC？求出点P对应的数；若不存在，说明理由．【答案】见试题解答内容【解析】解：（1）∵|a+3|+（b﹣2）2＝0，∴a+3＝0，b﹣2＝0，解得，a＝﹣3，b＝2，即点A表示的数是﹣3，点B表示的数是2；（2）①2x+1=12x解得，x＝﹣6，∴BC＝2﹣（﹣6）＝8，即线段BC的长为8；②存在点P，使PA+PB＝BC，设点P的表示的数为m，则|m﹣（﹣3）|+|m﹣2|＝8，∴|m+3|+|m﹣2|＝8，当m＞2时，解得，m＝3.5，当﹣3＜m＜2时，无解，当m＜﹣3时，m＝﹣4.5，即点P对应的数是3.5或﹣4.5．4．王聪在解方程x+a3-1=2x-13去分母时，方程左边的﹣1没有乘3，因而求得方程的解为x【答案】见试题解答内容【解析】解：由题意可得：x+a﹣1＝2x﹣1把x＝2代入得出方程：2+a﹣1＝2×2﹣1解得：a＝2，再把a＝2代入已知方程去分母可得：x+2﹣3＝2x﹣1，解得x＝0．5．先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2）解方程：|x+3|＝2．解：当x+3≥0时，原方程可化为：x+3＝2，解得x＝﹣1；当x+3＜0时，原方程可化为：x+3＝﹣2，解得x＝﹣5．所以原方程的解是x＝﹣1，x＝﹣5．（1）解方程：|3x﹣2|﹣4＝0；（2）探究：当b为何值时，方程|x﹣2|＝b+1①无解；②只有一个解；③有两个解．【答案】见试题解答内容【解析】答：（1）当3x﹣2≥0时，原方程可化为：3x﹣2＝4，解得x＝2；当3x﹣2＜0时，原方程可化为：3x﹣2＝﹣4，解得x=-2所以原方程的解是x＝2或x=-2（2）∵|x﹣2|≥0，∴当b+1＜0，即b＜﹣1时，方程无解；当b+1＝0，即b＝﹣1时，方程只有一个解；当b+1＞0，即b＞﹣1时，方程有两个解．6．已知关于x的方程2[x-2(x-a4)]=3x和x+a【答案】a=24511，x【解析】解：由第一个方程得：x=a由第二个方程得：x=147-4a∵两个方程有相同的解所以a5解得a=245所以x=497．如果关于x的方程5x-16=73与8x-12=x+41【答案】见试题解答内容【解析】解：方程5x-16=73的解为：把x＝3代入方程8x-12=x+412+2|m|得：232=解得：m＝±2．8．（1）小玉在解方程2x-13=x+a2-1去分母时，方程右边的“﹣1”项没有乘6，因而求得的解是x（2）当m为何值时，关于x的方程5m+3x＝1+x的解比关于x的方程2x+m＝5m的解大2？【答案】见试题解答内容【解析】解：（1）错误去分母得：4x﹣2＝3x+3a﹣1，把x＝10代入得：a＝3；（2）方程5m+3x＝1+x，解得：x=1-5m方程2x+m＝5m，解得：x＝2m，根据题意得：1-5m2-2m＝去分母得：1﹣5m﹣4m＝4，解得：m=-19．已知关于x的方程3[x﹣2（x-a3）]＝4x和3x+a【答案】见试题解答内容【解析】解：由方程（1）得x=2由方程（2）得：x=由题意得：27a解得：a=278，代入解得：x∴可得：这个解为272810．解方程：3x-