高等数学课件 第7章 二重积分 第2节

第七章e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二重积分Advancedmathematics高等数学e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C一、利用直角坐标计算二重积分目录/Contents第二节二重积分的计算二、利用极坐标计算二重积分第二节二重积分的计算三、二重积分的换元法四、广义二重积分图7.4一、利用直角坐标计算二重积分在直角坐标系中我们采用平行于轴和轴的直线分割,

见图7.4,于是小区域的面积为（）,

所以在直角坐标系中,

面积元素可写成,

从而(a)(b)图7.5一、利用直角坐标计算二重积分若积分区域可以表示为其中函数、在上连续,

并且穿过内部平行轴正向的直线与区域的边界最多交于两点,

则称为—型区域(见图7.5).图7.6一、利用直角坐标计算二重积分(a)(b)若积分区域可以表示为其中函数、在上连续,

并且穿过内部平行轴正向的直线与区域的边界最多交于两点,

则称为—型区域(见图7.6).图7.7一、利用直角坐标计算二重积分由二重积分的几何意义,

当时,

二重积分是区域上的以曲面为顶的曲顶柱体的体积(见图7.7).首先讨论积分区域为—型区域的二重积分的计算.在区间上任取一点,

过作平面平行于面,

则此平面于是有,

右端的积分称为二次积分.一般写成,一、利用直角坐标计算二重积分与曲顶柱体的截面是一个以区间,为底,

曲线（对固定的,

是的一元函数）为曲边的曲边梯形（图7.7阴影部分）,

其面积为根据平行截面面积为已知的立体体积公式,所求曲顶柱体的体积为一、利用直角坐标计算二重积分即当积分区域为—型区域时,可以将二重积分化为先对后对的二次积分（累次积分）.这样,当积分区域可以表示为时,一般写成,

有,

,一、利用直角坐标计算二重积分同理,当积分区域可以表示为（即为—型区域）时,的定积分；上的定积分.计算其在区间即:第一次计算积分,计算到把看成常数,把看作的函数,对,再对然后将算得的结果作为第二次积分的被积函数有二次积分一般写成,一、利用直角坐标计算二重积分即当积分区域为—型区域时,可以将二重积分化为先对后对的二次积分（累次积分）.的定积分；上的定积分.计算其在区间二次积分即：第一次计算积分,计算到把看成常数,把看作的函数,对,再对然后将算得的结果作为第二次积分的被积函数特别地：当积分区域为矩形时,有或.；

一、利用直角坐标计算二重积分注意：(1)若穿过内部且平行轴(轴)正向的直线与区域的边界相交多于两个点时,则要将分成几个—型区域(—型区域).(2)若穿过内部且平行轴(轴)正向的直线与区域的边界相交,边界方程不同时,也要将分成几个—型区域(—型区域).当积分区域为矩形且被积函数时,

有.一、利用直角坐标计算二重积分一般在计算二重积分时,应先画出积分区域的草图,再根据被积函数及积分区域的特点,选择适当的二次积分次序,最后计算二次积分.【例1】将二重积分,化为直角坐标系下的二次积分(1)由,围成；

,,,围成；

由(2)由,,围成.(3)

图7.8解

（1）区域如图7.8所示,

后对①

若把二重积分化为先对的二次积分,则区域为所以一、利用直角坐标计算二重积分

（写出两种积分次序）：②若把二重积分化为先对后对的二次积分,则区域为.所以（2）区域如图7.9所示,

①若把二重积分化为先对后对的二次积分,

所以图7.9为

则区域一、利用直角坐标计算二重积分②

若把二重积分化为先对后对的二次积分,则区域为所以.（3）区域如图7.10所示,

①

若把二重积分化为先对后对的二次积分,则区域为所以.图7.10一、利用直角坐标计算二重积分的二次积分,则区域②若把二重积分化为先对后对为

所以.一、利用直角坐标计算二重积分

.【例2】

计算二重积分,其中解由于积分区域是矩形区域

(见图7.11).图7.11所以

且被积函数一、利用直角坐标计算二重积分

【例3】计算二重积分,其中是由直线及所围成的闭区域．解法一

区域如图7.12所示,将它看成一个-型区域,即图7.12一、利用直角坐标计算二重积分所以可以－型区域,即看成是解法二

也可以将于是一、利用直角坐标计算二重积分【例4】计算二重积分,其中是由直线,,及所围成的闭区域.图7.13(a)解画出区域的草图(见图7.13(a)).是—型区域.一、利用直角坐标计算二重积分后对

的二次积分,二重积分可化为先对即.

如果采用先对后对的二次积分,则直线

将区域分割成两个区域和(见图7.13(b)),

都是—型区域,图7.13(b)一、利用直角坐标计算二重积分其中即后对的二次积分较先对后对的二次积分要复杂.显然,先对一、利用直角坐标计算二重积分【例5】计算二重积分,其中是由直线,及所围成的闭区域

(见图7.14).既是—型,也是—型.解如图7.14所示,区域图7.14若把二重积分化为先对后对的二次积分,则区域为一、利用直角坐标计算二重积分从而

若把二重积分化为先对后对的二次积分,从而则积分区域一、利用直角坐标计算二重积分的类型,分无法进行。由于函数的原函数不能用初等函数表示,因此,上面这个二次积【例6】计算二重积分,其中是由直线及抛物线所围成的闭区域.图7.15的草图

(见图7.15).

解画出区域一、利用直角坐标计算二重积分过程简捷的积分顺序.例4,例5说明,二重积分的计算不但要考虑积分区域而且要结合被积函数选择一种保证二重积分能计算并使计算积分区域是—型区域,.后对的二次积分.先对一、利用直角坐标计算二重积分二重积分可化为即【例7】交换二次积分的次序解由所给的二次积分,可得积分区域画出区域(见图7.16).的二次积分.此时积分区域则.图7.16而后对改变积分次序,即化为先对一、利用直角坐标计算二重积分e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C一、利用直角坐标计算二重积分目录/Contents第二节二重积分的计算二、利用极坐标计算二重积分第二节二重积分的计算三、二重积分的换元法四、广义二重积分设函数在闭区域上连续,下面我们讨论如何利用极坐标计算二重积分,即将二重积分化为极坐标系下的二次积分.将极点与直角坐标系的原点重合,极轴与轴正方向重合.则两者的关系为的直角坐标为

极坐标为,见图7.17,设点图7.17二、利用极坐标计算二重积分从而函数在点处的函数值用极坐标表示为.图7.18假定从极点发出穿过区域内部的射线与区域的边界至多有两个交点,为中心的同心圆和一族以极点为顶点的射线我们用一族以极点（即原点）

将区域分割成许多小区域(见图7.18)所示.

二、利用极坐标计算二重积分将区域分成个小闭区域,而分别为它们的是所有小区域直径中的最大值,在每个小区域中任意取面积,.对任意一个小闭区域有,一点二、利用极坐标计算二重积分由二重积分的定义有其中,表示小闭区域边界所在的两个相邻圆弧和的半径的平均值.即上式是将直角坐标系下的二重积分化为极坐标系下的二重积分的计算.公式.二、利用极坐标计算二重积分,我们令该上取上的一点在小闭区域,点的直角坐标即为就是极坐标系下的面积元素,即其中于是有为计算极坐标系下的二重积分,根据则图7.19二、利用极坐标计算二重积分在区域的外部.见图7.19.（1）极点积分区域的具体特点分以下几种情形：的边界上.在区域(2)极点则图7.20见图7.20.二、利用极坐标计算二重积分(3)极点在区域的内部.见图7.21.则图7.21由二重积分的性质1,闭区域的面积可以表示为二、利用极坐标计算二重积分

图7.22【例8】利用极坐标计算二重积分,其中解积分区域的极坐标形式(见图7.22)为则二、利用极坐标计算二重积分【例9】利用极坐标计算二重积分,其中(见图7.23).

图7.23区域

的极坐标形式为

,的极坐标方程是解(法一)

圆所以二、利用极坐标计算二重积分解

(法二)由于积分区域关于轴对称,被积函数关于是偶函数,所以二、利用极坐标计算二重积分【例10】计算二重积分,其中为圆和圆与直线,所围区域在第I象限内的那部分

(见图7.24).图7.24

解区域的极坐标形式为所以二、利用极坐标计算二重积分如果二元函数的积分区域是无界的,则类似于一元函数,可以定义二元函数的广义积分.

解因为是偶函数,所以,,即设二重积分,其中【例11】计算积分图7.25即积分区域是平面直角坐标系中的第一象限(见图7.25)

设二、利用极坐标计算二重积分下面举例说明.则

在极坐标系下,设则二、利用极坐标计算二重积分而所以

即,所以利用本例的结果,可得到概率统计中标准正态分布的密度函数

的重要性质:

二、利用极坐标计算二重积分【例12】求由曲面与平面所围立体的体积图7.26解

此立体如图7.26所示,它的体积可以看成是一个圆柱体体积曲顶柱体的顶是,底为区域所以其体积为因此所求立体的体积为二、利用极坐标计算二重积分

圆柱体的体积是

减去一个曲顶柱体体积．【例13】计算圆柱面所围的空间区域被球面所截部分的立体的体积．解

如图7.27所示,根据对称性,只要计算出此立体在第一卦限的体积,此立体在第一卦限的部分可以看成是以坐标面上的半圆区域为底,以曲面为顶的曲顶柱体．二、利用极坐标计算二重积分图7.27

就可以得到立体体积.其体积为图

7.28区域在极坐标系下可以表示为如图7.28所示．故所求立体的体积为所以二、利用极坐标计算二重积分e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6