高等数学课件 第8章 无穷级数 第1节

第八章Advancedmathematics无穷级数高等数学目录/Contents第一节无穷级数的概念与性质第八章无穷级数第二节正项级数及其敛散性判别法第三节任意项级数及其敛散性判别法第四节幂级数第五节函数的幂级数展开式e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、无穷级数的性质目录/Contents第一节无穷级数的概念与性质一、无穷级数的概念一、无穷级数的概念我们先观察一个实际问题．【例l】现有某一资金欲设立一项永久性奖励基金,每年发放一次,每次发放为多少?奖金额为万元,奖金来源为基金的存款利息．设年复利率为,每年结算一次,试问设立该基金所需的资金额应解对于第一年发放的奖金万元,最初需投入的本金与奖金因此最初应投入的本金为（万元）：

；为发放第二年的奖金万元,最初需投入的本金与之间的因此最初应投入的本金为（万元）：

；一、无穷级数的概念之间的关系为．关系为.依此类推,为发放第年的奖金万元,最初应投入的本金为（万元）：从而为发放这次奖金,最初要投入的本金总和为（万元）：一、无穷级数的概念.

.如此继续下去,当

无限增大时,上述总和的极限就是该基金的最低资金额

,这是一个无穷级数．下面给出相关定义：一、无穷级数的概念,这时和式中的项数无限增多,于是出现了无穷多个数量依次相加的数学式子一、无穷级数的概念级数的前项和,称为称为级数的前项部分和,简称部分和,记为.即：.定义8.1称为无穷级数,简称级数,记为.其中第项称为级数的一般项(或通项).设给定数列,则表达式称为部分和数列．一、无穷级数的概念显然,当依次取…时,部分和构成一个新的数列:,,,,,级数

去掉前

项的和

余下的项称为余项,记为.即,故.一、无穷级数的概念定义

8.2如果级数

的部分和数列

极限存在,其极限值为

,即,则称级数

收敛,且称

为它的和,记作：当级数

收敛时,余项的极限为零,即.如果部分和数列

极限不存在,则称级数发散.一、无穷级数的概念.【例2】判别下列级数的敛散性：（1）；（2）.解（1）因为,则部分和于是,所以级数

发散.一、无穷级数的概念,（2）因为,则部分和于是,所以级数

收敛,且其和为1,即.一、无穷级数的概念,【例3】

讨论几何级数(等比级数)的敛散性,其中.解

如果,则部分和当

时,有,于是,

所以级数

收敛,且其和为.一、无穷级数的概念.当,则,所以级数

发散.其部分和是

如果,当时,

,于是,显然,当

时,不存在,所以级数发散.当时,级数为所以级数

发散；于是,一、无穷级数的概念综上所述,可得如下重要结论：当时,几何级数收敛,其和为；当时,几何级数发散．一、无穷级数的概念由级数定义知,例1中基金所需的资金额为级数的和,即这是几何级数,公比,显然,由例3得上面级数收敛,且其和为,即设立该基金所需的资金额

应为万元.

,一、无穷级数的概念【例4】判别下列级数的敛散性：（1）；（2）.解

（1）级数的一般项,这是几何级数,公比,因为,所以级数收敛.（2）这是几何级数,公比,因为,所以级数

发散.一、无穷级数的概念e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目录/Contents第一节无穷级数的概念与性质一、无穷级数的概念二、无穷级数的性质性质

8.1

如果级数

与级数都收敛,其和分别为,则级数

也收敛,且

二、无穷级数的性质证明

设

与的部分和分别为和,则级数

的部分和于是.二、无穷级数的性质性质

8.2

如果级数

收敛（发散）,为非零常数,则级数也收敛(发散),且收敛时有.（读者自证.）

二、无穷级数的性质【例5】

判别下列级数的敛散性：（1）；（2）.解

（1）因为几何级数

与都收敛,根据性质1,所以级数收敛.

（2）因为,而级数

与级数都收敛,由性质1、性质2,所以级数

收敛.二、无穷级数的性质性质

8.3

在级数的前面加上或去掉有限项,得到的新级数与原级数具有证明

设将级数

的前项去掉,得级数,于是新级数的部分和有其中

为原级数的前

项和,是原级数前项和.,因为

是常数,所以与同时收敛或同时发散.二、无穷级数的性质相同的敛散性．类似地,可以证明在原级数前面加上有限项,亦不改变其敛散性．例如级数,它是收敛级数

前面加上有限项

后二、无穷级数的性质得到的级数,所以该级数收敛.性质8.4如果级数收敛,则对该级数的项任意加括号后所证明对级数任意加括号它的前项部分和为,则二、无穷级数的性质成的级数仍收敛,且其和不变．可见,数列

是数列的一个子列．由于收敛数列的子列必收敛,因此收敛时,亦收敛,；；；；二、无穷级数的性质应当注意：性质4的逆不成立．即加括号后的级数收敛,例如级数

收敛于零,但级数却是发散的．推论8.1

加括号后的级数发散,原级数必发散．二、无穷级数的性质不能保证原级数收敛．性质

8.5(级数收敛的必要条件)

如果级数

收敛,证明

因为级数

收敛,所以.而,故.注意

一般项趋于零的级数不一定收敛．二、无穷级数的性质则.例如,级数

满足