热点题型5-1 三角函数恒等变换及求值求角（解析版）-2026新高考数学热点题型全解全练

三角函数恒等变换及求值求角给角求值（特殊角求值）解｜题｜策｜略1、先观察角的关系:寻找互补、互余、和差为特殊角的组合,注意角的倍数关系（二倍、半角等）2、化简方向:统一角→统一函数→化简求值,或直接应用恒等变换消去非特殊角3、常用方法：诱导公式法化为锐角三角函数口诀：奇变偶不变，符号看象限和差化积/积化和差出现三角函数乘积时考虑目标：产生特殊角或相消项倍角/半角公式出现角的倍数关系时使用辅助角公式化为单一三角函数求最值/零点代数变形技巧通分、分解因式、配方1．（多选）（25-26高一上·河北石家庄·月考）下列各式结果为1的有（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】利用倍角公式可求AB，利用两角差的正切公式可求C，对于D，化切为弦，结合辅助角公式即可求解.【详解】对于A：，所以A错误；对于B：，所以B错误；对于C：，所以C正确；对于D：，所以D正确，故选：CD．2．（24-25高三上·广西·月考）计算（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由两角和差的正弦公式求出，再代入原式求解即可.【详解】，代入原式可得.故选：A.3．（2025高三·全国·专题练习）（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】先利用二倍角的余弦公式化简，再将化为，利用两角和与差的正弦公式可求三角函数式的值【详解】.故选：A.4．（2025高三上·安徽六安·专题练习）=（

）A．16 B．32 C． D．【答案】B【分析】利用互余关系通分，再利用平方关系消元，利用正弦、余弦二倍角公式降次，最后利用积化和差公式变形化简即可.【详解】由故选：B4．（多选）（25-26高一上·湖南张家界·期末）下列表达式中，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】选项A，逆用余弦差角公式求解.选项B，利用正切二倍角公式求解.选项C，利用进行替换即可.选项D，利用平方差公式化简之后，再利用二倍角公式化简.【详解】选项A，，选项A正确.选项B，，选项B正确.选项C，，选项C错误.选项D，(，选项D错误.故选：AB给角求值（两角和差正切公式的应用）解｜题｜策｜略对于两角和差的正切公式的应用：tan对于两角和差的正切公式的逆用:tanα+tanβ+1．（25-26高一下·全国·课后作业）化简求值：【答案】【分析】由题意结合两角和的正切公式可得，化简即可得解.【详解】，，原式2．（2025高三·全国·专题练习）．【答案】【分析】利用两角和的正切公式分别求出与的值即可.【详解】∵，，∴．故答案为：4.3．（2025·陕西安康·模拟预测）计算：（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】根据两角和的正切公式化简即可．【详解】因为，所以，所以，故选：D．4．（25-26高三上·河南南阳·期中）tan（

）A．0 B． C．2 D．【答案】B【分析】根据题意，利用两角和的正切公式，进行化简求值，即可得到答案.【详解】由，，所以，原式．故选：B．5．（2025高三·全国·专题练习）化简求值：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题主要涉及三角函数的两角和正切公式及其变形的应用,对于第一小问，需要利用和，和等角度和为的关系进行化简；对于第二小问，直接利用两角和正切公式的变形来求解.【详解】（1）解法1：由，同理得，…，以上各式相乘得原式．解法2：用倒序积求解．设，，从而，所以．（2）解法1：因为，所以，所以．解法2：．给值求值（两角和差公式拆角、拼角）解｜题｜策｜略两角和与差的正余弦与正切①sin(②cos(③tan(在运用两角和与差的三角函数公式时，若已知两角各自的正余弦或正切时，则可以直接套用公式计算。注意角的拆分，通过合理的拆分、配凑把要求的角拆成两个已知三角函数值的角。常见的一些拆角：2α=(α+β)+(α-β);α=(α+β)-β=在已知正弦或者余弦求另外一个值的时候，要注意角的范围确定三角函数在的正负性。注意角的范围，在计算值正负性的时候比较重要。1．（2025·海南·模拟预测）若，且为锐角，为钝角，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先确定的范围，再根据同角三角函数的关系求得的值，利用，可求，最后根据，运用余弦差角公式求值即可.【详解】由题意可知，，所以，，得，又，且，所以，.故选：B．2．（2025·甘肃·一模）若，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用同角三角函数的基本关系求出的值，然后利用两角差的余弦公式可求得的值.【详解】因为，则，所以，，因此，.故选：C.3．（2025·广西·模拟预测）已知，则（

）A． B．5 C． D．【答案】A【分析】结合和差角公式及同角基本关系进行化简即可求解．【详解】因为，所以，所以，即，所以，即故选：A.4．（2025·江苏南京·模拟预测）若，，且都为锐角，则（

）A． B． C． D．1【答案】D【分析】先利用同角的正余弦的平方关系可求得，，再根据，利用两角差的正弦公式求值即可.【详解】因为都为锐角，所以，所以，，所以，因为。，所以，因为，，所以，所以.故选：D.5．（2025·江苏徐州·模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，展开即可求解.【详解】，，两式联立可得，故选：A给值求值（利用正余弦乘积求两角和差正余弦）解｜题｜策｜略1、对sin(α±β)=sinαcosβ±2、对cos(α±β)=cosαcosβ∓1．（多选）（2025·黑龙江·二模）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】由三角恒等变换结合同角的三角函数和二倍角公式逐项判断即可.【详解】对于A，，所以，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误；故选：AC.2．（2025·陕西渭南·三模）已知，则.【答案】【分析】由两角和正弦公式及切化弦得到，进而可求解.【详解】由，可得，由，可得：，即，联立可得：，所以，故答案为：3．（25-26高三上·山东临沂·期中）若，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用两角差的正弦公式和切化弦可求得，，进而利用两角和的正弦公式可求得值.【详解】因为，所以，又，所以，所以，，所以，故选：C4．（2025·湖南·一模）已知，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由两角和的正弦结合弦切互化化简即可.【详解】，又，，，又由，得，，即．故选：B5．（25-26高三上·湖南常德·开学考试）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由求得和得代入的展开式即得结果.【详解】由得①由，得，即②所以，，所以.故选：C.给值求值（两角和差公式的逆用）解｜题｜策｜略①sinα②cosα通过公式逆用计算出两角和与差的正余弦值。1．（2025·浙江金华·二模）已知，则.【答案】/【分析】由正弦的和差角公式代入计算，即可得到结果.【详解】因为，即，所以.故答案为：2．（2025·湖北·模拟预测）已知，且，则．【答案】/【分析】利用两角和的余弦公式可求得，进而利用同角间的三角函数的关系可求得.【详解】因为，所以，所以，即，又因为，所以，所以.故答案为：.3．（2025·四川成都·模拟预测）已知，是第三象限角，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根据两角差的正弦公式得，再根据同角三角函数关系式以及两角和的正弦公式，即可求解.【详解】，，又是第三象限角，．从而.故选：B4．（2025·河南·三模）已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意利用两角和差公式可得，进而可得，进而可求.【详解】因为，即，可得，即，．因为，则，可得，又因为，可得．所以．故选：D.5．（24-25高一下·广东佛山·月考）已知满足，则．【答案】【分析】由条件可得，结合两角差的正切公式即可求解.【详解】由，可得：，即，所以，故答案为：给值求值（弦化切）解｜题｜策｜略1、对于题目中给出的分式恰好是正余弦的一次比一次的齐次式或二次比二次的齐次式，则可以上下同除cosα或除2、对于题目中给出的式子每项都是二次式，这时可以用“1=cos2α+sin1．（2025·河南·模拟预测）已知角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，终边经过点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由三角函数的定义得到，再结合同角三角函数商的关系弦化切即可求解.【详解】由角终边经过点，得，所以，故选：B2．（2025·重庆·模拟预测）若，则（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】D【分析】将条件式分别利用和差角公式展开，两式相比弦化切得解.【详解】由，得，，即，即得，即.故选：D.3．（2025·吉林长春·模拟预测）已知，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用同角三角函数之间的关系及二倍角公式化简求值即可.【详解】因为，所以，又，所以.故选：A.4．（2025·四川眉山·模拟预测）已知，且，则（

）A． B． C．或-1 D．1或【答案】A【分析】利用二倍角公式化简求解即可.【详解】因为，所以，即，得，因此，或，又时，,所以或，又因为时，所以，所以.故选：A5．（25-26高三上·山西大同·期中）若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由两角和差正切公式得到，再结合余弦二倍角公式即可求解.【详解】解析：，可化为，即，即，解得，又.故选：B.给值求值（利用平方）解｜题｜策｜略1、对sina通过该关系式可以对sina±cosα2、遇到asinα+bcosβ3、遇到asinα+bcosα时，可以考虑构造对偶式a1．（2025·江西·二模）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由有，由有，由①+②即可求解.【详解】由有，，即，由有，，即②，①+②得，，即，则，解得.故选：B.2．（2025·安徽·模拟预测）已知，，则，.【答案】【分析】将已知式子平方结合两角和的余弦公式与差的余弦公式计算即得.【详解】因为，，所以，将两个等式分别平方可得：①，②.①+②，得，则，②-①，得：，则.将代入上式，可得

.故答案为：；3．（2025·陕西·模拟预测）若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由正余弦二倍角公式，，结合即可求解．【详解】因为，则，所以．故选：A．4．（2025·湖北黄冈·一模）若，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据条件，利用平方关系得到，进而得，再代入，利用和差角的余弦公式，计算即得.【详解】由两边取平方，可得①，由，两边取平方，可得②，由①②得到，整理得到，又，解得，即，将其代入，可得，即，即，所以，故得.故选：A.5．（2025·山东青岛·三模）若，，则．【答案】/【分析】将题干中的两个式子均平方，再相加即可求出.【详解】由题意可得，，，两式相加得，，即.故答案为：给值求值（二倍角公式、半角公式、降幂公式应用）解｜题｜策｜略二倍角公式①sin2②cos2③tan2降幂公式sin2在求值的时候要注意角的范围，讨论正负。半角公式①sinα=2②cosα③tanα1．（2026·四川广安·一模）若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】因为，进而根据诱导公式与二倍角公式求解即可.【详解】因为，所以故选：B2．（2026·湖北宜昌·模拟预测）已知，为第二象限角，则（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】利用，解出的值，再利用倍角公式可得答案.【详解】已知，且为第二象限角，设，，则有方程组，消元得，解得或，当时，；当时，，由于为第二象限角，需满足，，故舍去的解，因此，，利用倍角公式计算.故选：D3．（2026·广西南宁·一模）已知，则＝（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由二倍角公式可得，由诱导公式可得，结合条件可求结论.【详解】，且，故，故.故选：A4．（2025·江西景德镇·模拟预测）若,则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二倍角公式、诱导公式等求解即可.【详解】,,,.故选：B.5．（2024·重庆·模拟预测）若，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据两角和与差求解的余弦公式求解，进而求出，求出，利用二倍角求出【详解】由，则,由，所以，则，则，故.故选：D给值求角解｜题｜策｜略在给值求角的问题时，主要问题在讨论角的象限。这是可以通过正余弦在不同象限的正负性来确定。在讨论角的范围时，结合已知条件中的角的范围，以及三角函数值的符号，尽量缩小角的范围，防止产生增根。1．（2025·江西宜春·二模）若，，则.【答案】/【分析】根据条件，利用余弦的和差角公式得到，再利用的范围及的性质，即可求解.【详解】因为，所以，则，整理得到，又因为，当时，，不合题意，当时，，则，所以，，由，得到，解得，故答案为：.2．（2025·河南·一模）已知，则角的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，代入得到，再结合基本不等式即可求解.【详解】由题意得，可得，.令，则，当且仅当，即时，等号成立.而是锐角，则.故选：B.3．（2024·新疆·二模）设，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据同角的商数关系以及两角差的正弦公式，利用诱导公式即可得出结果.【详解】由题设，所以，因为，则，又因为，则，又，所以，解得．故选：B4．（2024·海南海口·模拟预测）已知，写出符合条件的一个角的值为.【答案】（答案不唯一）【分析】根据题目条件得到和，从而求出，进而求出角的值.【详解】，故，，即，故，故，即，则，则，可取.故答案为：5．（24-25高三上·湖北荆州·月考）已知且，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用两角差的正弦公式结合求，注意确定角的范围，然后得出结论．【详解】因为且，函数在上单调递减，，，又，，所以，，，，所以，又，，所以，结合，可得，所以，所以，故选：A．万能公式、辅助角公式解｜题｜策｜略万能公式tansinα=2tan辅助角公式asinα+b通过辅助角公式化简后研究函数的单调性、最值、周期与对称性。1．（2025·四川德阳·模拟预测）已知函数，，则的最大值与最小正周期分别为（

）A．3， B．3， C．， D．，【答案】C【分析】根据辅助角公式，对函数进行化简，进而根据正弦函数性质，求出函数最大值与最小正周期.【详解】由题意得，其中，则最大值为，最小正周期为.故选：C.2．（内蒙古巴彦淖尔市2025-2026学年高一上学期期末数学试题）已知函数的最大值为，则的最小正周期为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用辅助角公式、三角函数的最值、三角函数的最小正周期等知识求得正确答案.【详解】因为，所以，解得，所以的最小正周期为．故选：B3．（2026高二上·云南·学业考试）已知函数，则的值域为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用辅助角公式合成，再利用三角函数的值域求法可得答案.【详解】，因为，所以的值域为，故选：B.4．（2025高三·全国·专题练习）求函数的最值．【答案】答案见解析【分析】先分类讨论的取值范围，再利用万能公式，引入参数，对参数进行分析，结合判别式法从而求得最值．【详解】若，则；若，则；若，令，则，，，整理成关于的方程：（*），若，则．若，则关于的一元二次方程有实数根，则，解得，且．综上所述．当且仅当，即时，取最小值；同理可得当，即时，取最大值．5．（2025高三·全国·专题练习）化简．【答案】【分析】此题仅含有和，可设，利用万能公式将三角式转化为代数后再化简．【详解】设，则利用万能公式，得.（建议用时：30分钟）1．（25-26高三上·广东·期中）计算的值为.【答案】/【分析】利用降幂公式及两角和的余弦公式计算可得.【详解】故答案为：2．（多选）（25-26高三上·山东淄博·期中）下列化简正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】利用两角差的正切公式可判断A，利用两角差的余弦公式可判断B，利用二倍角公式及两角差的正弦公式判断C，利用二倍角公式及诱导公式判断D.【详解】对于A：因为，则，所以，故A正确；对于B：，故B正确；对于C：，故C错误；对于D：，故D正确；故选：ABD3．（2025·全国·二模）已知，则．【答案】【分析】利用同角三角函数关系得到，凑角，由正切和角公式得到答案.【详解】，即，.故答案为：.4．（24-25高一下·江苏常州·月考）在中，若，则.【答案】【分析】利用两角和的正切公式的变形形式求值.【详解】首先因为，所以.这是因为：若，则，又因为为三角形内角，所以互补，这是不能成立的.所以.因为，所以.又，所以.所以.故答案为：5．（2026·河南鹤壁·一模）已知，且，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先逆用两角和的正弦公式可得的值，再根据同角三角函数的基本关系可得的值，最后利用倍角公式即可得解.【详解】因为，又，所以，所以．故选：B.6．（2024·黑龙江大庆·一模）已知，且，则（

）A．-1 B．