热点题型8-3 妙解圆锥曲线离心率问题全归纳7大题型（解析版）-2026新高考数学热点题型全解全练

妙解圆锥曲线离心率问题全归纳7大题型目录第一部分考向速递洞察考向，感知前沿第二部分题型归纳梳理题型，突破重难题型01椭圆、双曲线中的定义法或公式法求离心率题型02焦点三角形两底角角度已知求离心率题型03斜率乘积求离心率题型04定比分点求离心率题型05余弦定理求离心率题型06构造齐次方程求离心率题型07离心率的范围及最值问题第三部分分层突破固本培优，精准提分A组·基础保分练B组·重难提升练1．（焦点三角形两底角角度已知求离心率）已知椭圆的左、右焦点分别为，，其右顶点为A，若椭圆上一点P，使得，，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意求得、，再由正弦定理以及椭圆的定义，可算得与的关系，进而求出椭圆的离心率.【详解】由题意，，，，由正弦定理得，又，所以，，又，可得，所以椭圆的离心率.故选：B.2．（定比分点求离心率）已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A、B两点，若，则C的离心率为(

)A． B． C．2 D．【答案】A【分析】设出，，利用双曲线的第二定义，结合直线的斜率为，建立等式，即可求得双曲线的离心率.【详解】设，则，过A、B作双曲线右准线的垂线，垂足分别为D、C，过B作AD的垂线，垂足为E.根据双曲线的第二定义可得，，，由直线的斜率为，可得在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，∴，，.故选：A.3．（斜率乘积求离心率）已知椭圆，直线与交于，两点，过点作与垂直的直线交于另一点，记直线的斜率为，若，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根据对称性设出，，三点的坐标，并得到与的表达式，然后由，在椭圆上得到与的关系，因为直线与垂直，所以进一步转化为与的关系，最后利用题目中与的比例以及离心率公式求解.【详解】设，，则，所以，.又，，所以.因为直线与垂直，所以，，所以，所以.又，所以，的离心率.故选：.4．（余弦定理求离心率）已知椭圆的左，右焦点分别为，点在上，若，且，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，利用椭圆的定义求出各边长，利用余弦定理得到方程，即可求出离心率.【详解】

由，可得在同一条直线上，设，则，由椭圆的定义，则因为，则即，解得，所以在中，，在中，，则，化简得，即,解得：.故选：B.5．（构造齐次方程求离心率）已知椭圆的两个焦点为，设过点组平行于的直线交于点Q．若，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先求得，由，可得，从而得到关于，的齐次式方程，解得即可.【详解】由题意，，，过点组平行于的直线方程为，联立，可得，则，，由，可得，即，即，即，整理得，两边同时除以，可得，又，可得，则．故选：C．6．（离心率的范围及最值问题）设为椭圆与双曲线公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点，是以线段为底边的等腰三角形，且若椭圆的离心率，则双曲线的离心率取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据条件得到，结合椭圆的定义和离心率公式得到，求得的取值范围，再由双曲线的定义和离心率公式得到双曲线的离心率，即可求解.【详解】因为，为椭圆与双曲线的公共的左右焦点，是以线段为底边的等腰三角形，且，设（），由椭圆的离心率，即，解得：，由点在第一象限，得双曲线的离心率.故选：D【点睛】关键点点睛：结合椭圆、双曲线的定义域，用半焦距表示出离心率是求解的关键.7．（离心率的范围及最值问题）已知双曲线的左、右焦点分别是，，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用双曲线的定义可得，又，可得，又当轴时最小，可得，即，可得，即可求得双曲线的离心率的取值范围.【详解】由已知，设，则，两式相加得，又，所以，又，所以，当轴时最小，此时，所以，又，则，整理得，又，两边除以得，解得，又双曲线的离心率，所以双曲线的离心率取值范围是.故选：B.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是当轴时最小为，再建立关于的不等式.01椭圆、双曲线中的定义法或公式法求离心率8．已知椭圆的左、右焦点为，，且过右焦点的直线l交椭圆于A、B两点，的周长为20，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据椭圆定义利用焦点三角形的周长列出方程，求出，根据焦点坐标求出，即可求出离心率.【详解】因为的周长为20，所以，由椭圆定义可知：，即，又因为，所以椭圆C的离心率为.故选：B.9．已知椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线与交于两点，若的周长为12，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据椭圆的定义求出，即可求出，从而求出离心率.【详解】依题意及椭圆的定义可知的周长为：，则，又，所以，则离心率.故选：D.10．椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上一点，若的周长为，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据椭圆方程可得，再结合三角形周长，得，进而可得离心率.【详解】因为，所以.因为的周长为，所以，所以，所以椭圆的离心率为，故选：B.02焦点三角形两底角角度已知求离心率11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为，若直线与椭圆交于点，满足，则离心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】若点在轴上方，可得其不符合题意，舍去，若点在轴下方，则有，再结合正弦定理及离心率定义计算即可得解.【详解】由椭圆焦距为，故，故直线经过点，若点在轴上方，有，即，又，则，此时，不符，故舍去；若点在轴下方，有，即，又，则，则，故.故选：C.12．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P为C上一点，若，且，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据，且求得，再根据勾股定理列出关于的方程，解出即可【详解】点椭圆上的点，

，且在中，即，整理得：即故选：D13．已知是，双曲线：（，）的左、右焦点，是右支上一点，且是的直角三角形，则双曲线的离心率为（

）A． B．或C． D．或【答案】B【分析】根据中哪一个角为直角分类讨论，再结合双曲线的定义以及解三角形即可求出．【详解】当时，，，所以，当时，，，，，所以．故选：B．03斜率乘积求离心率14．已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于另一点，若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设出各点坐标，利用点差法得到斜率的表达式，化简即可得到离心率的值.【详解】直线经过原点，设，，..又，，两式相减，得.，.离心率为.故选：B.15．设直线与双曲线交于，两点，若是线段的中点，直线与直线（是坐标原点）的斜率的乘积等于，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】因为点，在双曲线上，利用点差法将点代入双曲线做差化简结合题意可得，利用的平方关系可求出离心率.【详解】设，，则直线的斜率为，直线的斜率为，即．因为点，在双曲线上，所以有，，化简可得：，所以有，离心率为．故选：D．16．已知是双曲线上不同的三点，且关于原点对称，若直线的斜率乘积，则该双曲线的离心率是A．2 B． C． D．【答案】C【详解】由题意，设，则，即，因为，所以，则该双曲线的离心率为；故选C.点睛：在处理圆锥曲线问题或直线和圆锥曲线的位置关系时，往往利用“设而不求”的思想进行处理，如本题中设出点的坐标，但没有求点的坐标，只是利用其横纵坐标间的关系进行求解.17．已知是双曲线上的不同三点，且连线经过坐标原点，若直线的斜率乘积，则该双曲线的离心率A． B． C． D．【答案】B【详解】试题解析：设点，所以，，由可得：，又因为，所以，所以考点：双曲线的性质．18．椭圆的左顶点为，点均在上，且关于原点对称，若直线的斜率之积为，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，根据题设得到，再结合，得到，即可求解.【详解】设，则，，由题有，即，又，则，所以，得到，所以的离心率为，故选：A.04定比分点求离心率19．已知斜率为的直线l经过双曲线的右焦点F，交双曲线C的右支于A，B两点，且，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设出直线l的方程为，联立双曲线，得到两根之和，两根之积，由得到，结合两根之和，两根之积，列出方程，求出离心率.【详解】设，，直线l的方程为，其中，联立得．∴，，由，得，即，∴，即，∴，整理得，∴离心率．故选：C．20．已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则A．1 B． C． D．2【答案】B【详解】因为，所以，从而，则椭圆方程为．依题意可得直线方程为，联立可得设坐标分别为，则因为，所以，从而有①再由可得，根据椭圆第二定义可得，即②由①②可得，所以，则，解得．因为，所以，故选B21．已知椭圆C：的离心率为，过左焦点F作一条斜率为的直线，与椭圆交于A，B两点，满足，则实数k的值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】设出直线方程，联立椭圆方程，由得到A、B两点的纵坐标的关系，进而得到方程，求出实数k的值.【详解】因为离心率，所以，设直线方程为：，则与椭圆联立得：，设，不妨令，由可得：，其中①，②，将代入①②可得：，，从而，解得：，因为，所以.故选：B05余弦定理求离心率22．已知椭圆C：的上顶点为A，左、右焦点分别为、，连接并延长交椭圆C于另一点B，若，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用线段之比可设出两线段，再结合焦半径及椭圆的定义，可求出各线段长度，然后借助余弦定理得到关于的齐次方程，从而可求离心率.【详解】由图可知，，根据，可设，则，所以，由三角形中余弦定理得:,根据直角三角形有：，代入上式可得：，故选：B23．设双曲线：的左右焦点分别为、，过点且斜率为的直线在第一象限交于点，若，则的离心率为（

）A．2 B． C．3 D．【答案】C【分析】由已知及椭圆的定义得，再由余弦定理即可求解．【详解】设椭圆的焦距为，则，又，所以，由直线的斜率为，所以，结合得，，在中，由余弦定理得，整理得，，解得或（不合题意舍去），故选：C．24．已知双曲线的两个焦点分别为是渐近线上一点，当取最小值时，，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取最小值为b，所以，再根据为直角三角形，可得，再在利用余弦定理可得离心率.【详解】根据题意如图：

点，其中一条渐近线为即，所以的最小值为点到直线的距离，所以，因为为直角三角形，所以，在中，，即，∵，∴，∴，即的离心率为，故选：D.25．已知椭圆的两个焦点为，，，点为上一点，若，，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用椭圆定义得出，在中利用余弦定理可得的值即可.【详解】且，则，因，，则在中利用余弦定理可得，，解得，又，则.故选：C26．已知是椭圆的左右焦点，上两点满足：，，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据焦点三角形的边长关系，利用余弦定理即可求解.【详解】由可知，设，则，,,则由余弦定理可得化简可得，故，（舍去），又,所以，化简可得，故，故选：D06构造齐次方程求离心率27．已知A，B，F分别是椭圆的右顶点，上顶点和右焦点，若过A，B，F三点的圆恰与y轴相切，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用过A，B，F三点的圆恰与y轴相切，求出圆的标准方程，再利用点A在圆上，坐标适合方程即可求解．【详解】由已知可得：，，，线段的垂直平分线方程为，过A，B，F三点的圆恰与y轴相切，所以圆心坐标为，圆的半径为，所以经过A，B，F三点的圆的圆的方程为，在圆上，所以，整理得：，所以，所以，化为：，由，解得．故选：B．28．已知，是双曲线E：（，）的左，右焦点，点M在E上，且垂直x轴，若，则E的离心率为（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】先求得，然后利用建立方程，化简得，求解即可.【详解】因为垂直轴，则M点横坐标为，所以，解得，即，即，所以，得，所以，解得（负根舍去）.故选：A.29．椭圆的左，右焦点分别为、，右顶点为A，点P为第一象限内椭圆上一点，满足，，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先过作x轴的垂线，再结合得出点的坐标，最后应用点在椭圆上，解齐次方程，求出离心率.【详解】

先过作x轴的垂线，垂足为，因为，所以，又因为，所以，所以，所以，所以，又因为，所以，所以，因为点P在椭圆上，所以，所以，所以，化简得，所以，所以，因为，所以.故选：D.30．已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，的中点为，点差法得到齐次式，可求椭圆的离心率．【详解】椭圆，左焦点，下顶点，设，，的中点为，，．，．由，，两式相减得，可化为，得，即，两边平方得，化为：，解得，又，解得．故选：A．07离心率的范围及最值问题31．双曲线：（，）右焦点为，过倾斜角为的直线与双曲线右支交于，两点，则双曲线离心率的范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据过的直线的倾斜角为，且与双曲线右支交于，两点，由求解.【详解】因为过的直线的倾斜角为，所以直线斜率，因为直线与双曲线右支交于，两点，如图所示：由图象知：，所以，又，所以.故选：A.32．已知P为椭圆上一点，为椭圆焦点，且，则椭圆离心率的范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由椭圆的定义有，结合条件可得，再根据的范围可得离心率的范围.【详解】由P为椭圆上一点，.又，所以又，即.即，得，即故选：D【点睛】本题考查椭圆的定义和离心率的求法，属于基础题.33．已知为椭圆的左顶点，、是椭圆上的点.若四边形满足，，则椭圆离心率的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意，结合椭圆的对称性可得，则，设为直线的倾斜角，可得，进而求得的范围，得解.【详解】由题意知，由知为平行四边形，则、关于轴对称，设，（不妨设），将点坐标代入椭圆方程可得，因为，设为直线的倾斜角，则，所以，所以，.所以椭圆离心率的取值范围为.

故选：B.34．已知椭圆上有动点在任意位置时，总存在椭圆上的另外两点，使的重心为右焦点，则椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先利用点坐标表示的中点的坐标，再代入椭圆方程，利用椭圆方程与基本不等式，表示不等关系式，转化为离心率的不等式，即可求解.【详解】设，的中点为，由，得，而，故，即，整理得，因为的任意性，此不等式恒成立，故，即，解得.故椭圆的离心率的取值范围为.故选：C.35．设椭圆的左，右焦点分别为，点在上运动，点在圆：上运动，且恒成立，则的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由椭圆定义，结合图形可得当四点共线时，据此可得离心率范围.【详解】由题可得圆半径为，因恒成立，则.由椭圆定义，可得，如图，当三点共线时，最大，为，又对于圆外一点P，当三点共线时最大，又，则，即，取最值时，四点共线.则，即，所以，即.故选：C

36．若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先判断点在双曲线外部或在双曲线上，得，再结合过该中点的直线斜率可得另一不等式，最后求解出的范围，结合离心率等式即可求解．【详解】由题意得点在双曲线外部或在双曲线上，则，得，假设存在以为中点的弦，设弦与双曲线交于点，，则，，由点，在双曲线上，得，两式作差得，所以，因为不存在该中点弦，所以直线AB与双曲线至多一个交点，则，也即，所以，则．故选：C．37．设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线的渐近线的斜率小于，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】易得，再由，，设，可得，两边平方即可求解.【详解】因为双曲线的渐近线的斜率小于，所以，则，，设，则所以；由于，因为，所以，则，则，因为，所以故选：B一、单选题1．（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知双曲线的渐近线方程为，则的离心率为（

）A． B． C．3 D．5【答案】B【分析】求出双曲线的渐近线方程，进而求出，再求出离心率.【详解】双曲线的渐近线为，依题意，，所以的离心率.故选：B2．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知曲线：，曲线：的离心率分别为，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据椭圆和双曲线的离心率公式进行求解即可.【详解】曲线的长半轴长为，短半轴长为，所以焦距为.曲线的实半轴长为，虚半轴长为，所以焦距为.由.故选：A3．（2026·四川雅安·一模）已知方程表示焦点在x轴上的双曲线，则其离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由题意可求出m的取值范围，再根据离心率的定义求出其表达式，结合不等式性质即可求得答案.【详解】由方程表示焦点在x轴上的双曲线，得，即得，故双曲线的离心率为，由于，故，故.故选：C4．（2026·河北·模拟预测）数学与建筑的结合造就了许多建筑艺术品，如西安交通大学的校门就是充满数学之美的建筑物，如图．若将该大学的校门内轮廓(忽略水泥建筑的厚度)近似看成双曲线的一部分，且点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】代入点，求出的值，然后利用双曲线的标准方程可得到，即得答案.【详解】根据双曲线方程及点在其上，代入得：，因此双曲线标准形式为，其中，，焦点在轴上，离心率，且，故，故选：D5．（2026·四川广安·一模）已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点．若，，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先计算半通径，再利用椭圆定义即可得到齐次方程求解离心率.【详解】

令，代入椭圆则可知：，又因为，所以，根据椭圆定义可知：，所以椭圆的离心率为，故选：B6．（2026·安徽淮南·一模）已知椭圆:的右焦点为，上顶点为，直线交于另一点．若，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量关系得到点坐标，代入椭圆方程化简求解即可.【详解】椭圆右焦点为，上顶点为，设.由得，所以，，即.代入椭圆方程得，整理得，即.又，所以.故选：C.二、填空题7．（2026·辽宁辽阳·一模）已知圆经过双曲线的焦点，且双曲线的虚轴长等于该圆的半径，则双曲线的离心率为.【答案】/【分析】根据题意确定的值，可求双曲线的离心率.【详解】圆的半径为.由题意，对双曲线：，，所以.所以双曲线的离心率为：.故答案为：8．（2026·湖南常德·一模）已知双曲线：左顶点为，右焦点为，过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支相交于点，若，且，则双曲线的离心率为.【答案】【分析】根据斜率公式，勾股定理以及双曲线中关系式，即可联立求解.【详解】由题知，，，，则，，又，设，则，解得，所以.故答案为：9．（2026·陕西咸阳·一模）设椭圆的左、右焦点分别是、，为椭圆上的一点，且，，则该椭圆的离心率为.【答案】/【分析】因为在焦点三角形中，，则，又因为，由即可求解.【详解】，因为。所以，所以，所以故答案为：10．（2026·广西南宁·一模）已知直线经过椭圆的一个焦点，则的离心率为．【答案】【分析】利用椭圆方程求出椭圆的焦点坐标，代入直线中，可得的值，利用离心率的计算方法可得答案.【详解】由椭圆方程可知，长轴在轴上，且，即焦点为，直线经过一个焦点，代入焦点坐标：若焦点为，则，解得，即；若焦点为，则，无解；故，此时，长半轴长为，离心率.因此，椭圆的离心率为.故答案为：一、单选题11．（2026·河北·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，过原点的直线与交于A，B两点，若的面积为，且，则的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据椭圆定义得，，利用面积公式和平行四边形性质求得，再利用余弦定理求解离心率.【详解】如图所示，由椭圆的对称性可知，，且四边形是平行四边形，令，则，可得，故，所以，.由题意知，解得，因为，所以，故.在中，由余弦定理得，即，整理得，所以离心率，故选：D.12．（2026·山东济南·一模）已知椭圆的左､右焦点分别为是的左顶点，为所在平面内一点，且.若与均为等腰三角形，则的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据与均为等腰三角形，结合，分情况讨论三角形的腰长，进而求出椭圆的离心率.【详解】已知椭圆的左、右焦点为，，左顶点.因为为等腰三角形且，所以是等边三角形，边长为，故，点坐标为.又为等腰三角形，，，.由等腰三角形性质，若，则，则，离心率.若，可得，即，则，因为，所以此情况不成立.若，可得，则，化简得，因为，所以，不满足，此情况不成立.因此，椭圆的离心率为.故选：D13．（2026·山东潍坊·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，左､右顶点分别为为上一点，且轴，点在线段上，直线分别交轴于两点，为坐标原点，若，则的离心率为（

）A．2 B．3 C． D．【答案】A【分析】不妨设点在第一象限，求出点的方程，再根据即可求出.【详解】不妨设点在第一象限，由题意得，，设，则，故直线的方程为，令，则，故；直线的方程为，令，则，故，因为，则，得，则的离心率为.故选：A14．（2025·广东广州·模拟预测）已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于，，若，且，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意在中，，在中，，再结合离心率求解即可.【详解】连接，设，，则，因为，所以，在中，，所以，化简得，则，，在中，，所以，即，所以离心率.故选：D15．（2026·安徽合肥·一模）已知双曲线，直线与的两条渐近线分别交于点，若，则的离心率为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出双曲线的渐近线方程，再求出直线与渐近线的交点的坐标，利用得到的关系，最后计算离心率.【详解】双曲线的渐近线方程为.将代入渐近线方程：对于，解得，即点.对于，解得，即点.所以，解得.双曲线的离心率，其中.将代入得：因此，离心率.故选：A16．（2026·陕西·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线分别交双曲线的左、右两支于两点，记的内切圆的圆心为，若的面积之比为5:8:9，则该双曲线的离心率为（

）A． B．3 C． D．【答案】A【分析】根据内切圆的性质，可由面积比得到边长比，设出边长，利用双曲线的概念，结合余弦定理，可得答案.【详解】

由的内切圆的圆心为，得点到三边的距离相等，由，得，设，则，由双曲线定义知：，，则，解得，于是，在中，由余弦定理得，在中，，则，所以该双曲线的离心率为.故选：A二、填空题17．（2026·湖北十堰·一模）已知双曲线：（，），记，经过点，（），且（为原点），则的离心率为.【答案】【分析】根据给定条件，结合双曲线的对称性可得，将代入双曲线方程即可求出离心率.【详解】依题意，是双曲线：的半焦距，令右焦点为，由经过点，（），得点关于轴对称，即，则，于是，而，则，由点在双曲线上，得，即