热点题型9-3 概率与统计题型归纳（学生版）-2026新高考数学热点题型全解全练

概率与统计题型归纳互斥、对立、独立事件的概率解｜题｜策｜略1、互斥事件与对立事件的关系①互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生．②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件．判断互斥对立事件可根据①利用互斥跟对立事件的定义来判断，互斥事件的定义比对立的更严。②可以借助集合的方法来解决事件问题。3、独立事件的概念与判断：设A，B为两个事件，若P(AB)=P(如果事件A，B互相独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立．当P(B)>0时，A与B独立的充要条件是P(A|B)=P(A)．1．（多选）（2025·湖北武汉·模拟预测）已知事件，且，则（

）A．事件与事件互为对立事件B．若事件与事件互斥，则C．若事件与事件互斥，则D．若，则事件与事件相互独立2．（多选）（2025·江苏镇江·模拟预测）为响应校团委发起的“青年大学习”号召，某班组织了有奖知识竞答活动.决赛准备了4道选择题和2道填空题，每位参赛者从6道题中不放回地随机抽取三次，每次抽取1道题作答.设事件为“第次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（

）A．与互斥；与互斥B．不管第几次抽取，抽到选择题的概率都相同C．D．3．（多选）（2026·云南大理·二模）已知甲盒中有2个白球和4个红球，乙盒中有3个白球和2个红球．先从甲盒随机取出一球放入乙盒，设“从甲盒取出的球是白球”为事件，“从甲盒取出的球是红球”为事件；再从乙盒中随机取出一球，设“从乙盒取出的球是白球”为事件，“从乙盒取出的球是红球”为事件，下列说法正确的是（

）A．，是互斥事件 B．，是独立事件C． D．4．（2026·新疆·二模）已知事件的概率均不为0，下列说法正确的是（

）A．若，则事件与为对立事件B．若，则事件与为相互独立事件C．若，则D．若，则5．（多选）（2025·四川泸州·一模）记为事件的对立事件，已知，下列结论正确的是（

）A．若，则B．若与相互独立，则C．若，则D．若，则古典概型的概率解｜题｜策｜略确认是否为古典概型：试验样本空间有限（样本点总数有限），每个样本点发生的可能性相等。明确样本空间：列出或计算所有可能的基本事件总数

n。确定目标事件：明确所求事件包含哪些基本事件，并计数

m。4、计算概率：概率

P=m​检查是否需考虑顺序、分组等,注意计数时使用排列还是组合，确保分子分母一致。1．（2026·四川巴中·一模）某学校围棋社团组织高一与高二的同学比赛，双方各挑选业余一段、业余二段、业余三段三位选手，段位越高水平越高．已知高二每个段位的选手都比高一相应段位的选手强一些.比赛胜负仅由段位决定，段位高者获胜；若段位相同，则高二选手获胜.比赛共三局，每局双方各派一名选手出场，且每名选手只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利．在比赛之前，双方都不知道对方选手的出场顺序，则第一局比赛高一获胜的概率为，在一场比赛中高二获胜的概率为．2．（多选）（2026·湖南株洲·一模）某电脑程序每次等概率随机输出中的一个数，和分别表示输出的前个数中的最大值和最小值．已知每次输出都是独立的，且可以重复输出同一个数．则下列命题正确的是（）A． B．C． D．3．（2026·山东·一模）已知盒中有10张纸条，分别写着1~10共10个数字，随机抽出一张，则恰好抽到3的倍数或抽到4的倍数的概率是（

）A．0.5 B．0.4 C．0.3 D．0.24．（2026·广西南宁·一模）某市十景包含扬美古风、青山塔影、明山锦绣、望仙怀古、伊岭神宫、九龙戏珠、南湖情韵、凤江绿野、邕江春泛、龙虎猴趣，每个景点都有其独特的魅力．某游客计划从这10个景点中随机选择2个景点进行游玩，则青山塔影被选中的概率是．5．（2026·安徽淮南·一模）2025年12月11日淮南市科技馆正式开馆，淮南市某中学有甲、乙、丙、丁等7位学生约好2026年1月1日去科技馆志愿服务．现将7位学生随机分为3组，每组至少一人，则甲乙同组且丙丁同组的概率为（

）A． B． C． D．条件概率与全概率公式解｜题｜策｜略1、条件概率：一般地,当事件B发生的概率大于0时(即P(B)>0),已知事件B发生的条件下事件A发生的概率,称为条件概率,记作P(A|B),而且P(A|B)=P（1）如果B和C是两个互斥事件，则PB∪C（2）设B和B互为对立事件，则PB2、全概率公式：设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有PB=i=1nPAiP3、贝叶斯公式：设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，PB>0，有PBAi=PA条件概率强调样本空间受限，全概率是由原因推结果的分解求和，贝叶斯是由结果推原因的概率修正。1．（2026·重庆·一模）从1，2，3，4，5，6，7这7个数字中依次不放回地随机选取两个数字，记事件：“第一次抽到的数字是奇数”，事件：“第二次抽到的数字是偶数”，则（

）A． B．C． D．2．（2026·江苏镇江·模拟预测）两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖这6个景点中随机选择1个景点游玩.记事件“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件“两位游客选择的景点不同”，则.3．（2026·海南海口·一模）已知，是随机事件，若，，则（

）A． B． C． D．4．（多选）（2026·山东济南·一模）现进行如下试验：从中任选一个数，记为，若，则试验结束；否则再从中任选一个数，记为，若，则试验结束；否则再从中任选一个数，依次类推，直至选中1为止.记事件“试验过程中，数字被选到”，表示事件发生的概率（），则（

）A．B．C．D．且5．（多选）（2025·江苏南通·模拟预测）甲、乙两个盒子中分别装有大小、形状、质地相同的1个黑球和2个红球.现从两个盒子中各任取一个球放入对方盒子中称为一次操作，重复进行次操作后，甲盒子中恰有0个黑球，1个黑球，2个黑球分别记为事件，，，则（

）A． B．C． D．离散型随机变量的分布列解｜题｜策｜略1、判断分布类型确认随机变量：明确问题中的随机变量

X

及其可能取值识别分布类型：若为不放回抽样且关心“次品数”、“合格数”等→

超几何分布若为独立重复试验（每次成功概率相同）→

二项分布若为有限等可能抽样且涉及特定计数→可考虑古典概型计算2、确定参数并计算概率：根据类型选用公式，依次计算

X

取每一个可能值的概率3、整理分布列，列成表格，验证概率和为1应用与计算：求期望值或方差等。注意：先判断类型再计算，避免公式误用，注意随机变量取值的完整性与互斥性计算后务必检查概率总和是否为1（可避免计算错误）1．（2026·重庆·一模）甲、乙两位同学参加投篮练习，由他们的投篮位置和命中情况确定得分可能为3分、2分、0分，根据以往练习统计数据，甲一次投篮得3分、2分、0分的概率分别为，乙不投3分球，他一次投篮得2分、0分的概率分别为．若甲、乙各投篮一次称为一轮投篮，且甲、乙投篮相互独立，每次投篮也互不影响．(1)记一轮投篮后，甲的得分为，乙的得分为，求；(2)记一轮投篮后，甲乙所得分数之和为随机变量，求的分布列及数学期望．2．（25-26高三上·江西·月考）人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算法创新与工程实践的深度智慧.某科技公司计划开发三款不同的大语言模型.每款模型的研发分为两个主要阶段：算法设计评审和工程部署验收.只有算法设计评审通过后，才能进入工程部署验收，两个阶段相互独立.只有同时通过这两个阶段，模型才能正式上线发布.已知三款模型通过算法设计评审的概率依次为，通过工程部署验收的概率依次为.(1)求三款中恰有两款通过算法设计评审的概率；(2)若已知三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为的概率；(3)经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后，三款模型能成功上线的数量为随机变量，求的分布列及数学期望.3．（2026·江苏徐州·一模）现有除颜色外都相同的3个红球和3个白球，随机取3个球放入一个不透明的袋中，记袋中红球的个数为.从袋中随机摸出一个球，并换入一个另一种颜色的球，经过次摸换，袋中的红球个数记为.(1)求与；(2)求；(3)当时，求随机变量的数学期望.4．（2026·四川巴中·一模）某素质训练营设计了一项闯关比赛．规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次；如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，假定、、互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立．(1)计划依次派甲、乙、丙进行闯关，若，，，求该小组比赛胜利的概率；(2)若依次派甲、乙、丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目的分布，并求的期望；(3)已知，若甲只能安排在第一个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定乙、丙谁先派出．5．（2026·重庆九龙坡·一模）在重庆轨道交通故障排查演练中，三名工程师分别检查三个不同的系统，假设甲发现故障的概率为，乙、丙两人同时发现故障的概率是，甲、丙两人均未发现故障的概率是，且三人各自能否发现故障相互独立．(1)求乙、丙两人各自发现故障的概率；(2)用X表示三人中发现故障的人数，求X的分布列和期望．二项分布及应用解｜题｜策｜略1、判断是否为二项分布满足以下3个条件可判定为二项分布：试验次数固定：共进行

n

次独立试验每次试验只关注两个结果：“成功”与“失败”，1与0，“正确”或“错误”等成功概率恒定：每次试验中成功概率

p

保持不变

记作：X确定参数与可能取值：明确参数n：试验总次数，p：每次试验的成功概率确定随机变量取值：X（成功次数）的可能取值为0,1,2,…,n概率的计算：使用二项分布概率公式：P列出分布列并计算期望值等。2、二项分布列概率最大值的取得对二项分布列PX=kP(X=k)≥P(X=k-1)P(X=k)≥可解得pn+1-1≤k≤pn+1,k取这个范围内整数，当k由0增加到n1．（2026·全国·模拟预测）投壶游戏起源于中国古代六艺中的“射”艺，是射礼的演变和延续．甲、乙两位同学为了参加投壶游戏比赛，进行了大量的投壶训练．从这些训练数据中随机抽取甲乙各100次投壶数据，其中甲投中目标的次数为80次，乙投中目标的次数为85次．假设每次投壶相互独立，用频率估计概率．(1)若现在让甲投壶4次，求甲投中目标的次数X的分布列及期望；(2)通过分析甲、乙的训练数据发现：若甲发挥正常，投中目标的概率为0.9，发挥不正常，投中目标的概率为0.5；若乙发挥正常，投中目标的概率为0.95，发挥不正常，投中目标的概率为0.6．设甲、乙发挥正常的概率分别为p，q，计算并比较p与q的大小．2．（2026·陕西宝鸡·一模）为了了解全市高中学生体育锻炼情况，现准备在某高中进行抽样调查．已知该高中共有学生1200人，其中男生720人．现按学生性别采用分层抽样方法抽取60人进行调查．调查中把每天锻炼时间超过60分钟的学生称为“锻炼积极者”，否则称为“锻炼不积极者”．已知在样本中：男性“锻炼积极者”共24人，女性“锻炼积极者”共12人．(1)求抽取的60人中男生、女生各多少人．(2)从抽取的60人中随机选取一人，设事件为“选到男生”，事件为“选到锻炼积极者”，试判断事件、是否相互独立，并说明理由．(3)用上面的样本估计总体，若从全市学生中抽取3人，记抽取的3人中“锻炼积极者”的人数为X，求X的分布列和数学期望．3．（2026·湖北荆州·一模）某电商平台对其售卖的一款家电开展甲、乙两种促销活动，活动规则如下：参加活动的消费者只能在甲、乙两种活动中选择一个参加，且仅能参加一次，最多购买一台家电；活动甲设有4个不同的选择题、3个不同的填空题，活动乙设有3个不同的选择题、2个不同的填空题；参加活动的消费者在所选择的促销活动中先后抽取2个不同的题目作答，若两题都答对，则享受按2折购买的优惠，答对一题可享受按5折购买的优惠，全部答错只能享受按8折购买的优惠.小黄对该家电有购买需求，决定参加活动，其答对每道选择题的概率均为0.8，答对每道填空题的概率均为0.4，每次答题相互独立.(1)若小黄选择参加活动乙，求第二题抽到的题目是填空题的概率；(2)该款家电原价为a元/台，小黄应该选择参加甲、乙中的哪个活动？请说明理由.4．（2026·重庆九龙坡·一模）某企业为了提高生产效率和产品质量，更新了机器设备，为了检验新机器生产零件的质量，该企业质检部门要对新机器生产的零件抽样检测.(1)在调试生产初期，质检部门抽检该机器生产的10个零件中有2个为次品，现从这10个零件中随机抽取3个零件，设抽取的零件为次品的个数为，求的分布列和数学期望;(2)在正式生产后，质检部门从新机器生产的一批零件中随机抽取100件进行检验，其中有3件为次品.用频率估计概率，现从新机器生产的这批零件中随机抽取个零件，记这个零件中恰有2件为次品的概率为，求取得最大值时的值.5．（2026·重庆·一模）一顾客参加某商场的抽奖活动，抽奖规则为:抛掷一枚质地均匀的骰子，若掷出的点数大于4，则中奖，否则不中奖，每次抛掷相互独立.设该顾客抽奖次，中奖次数为.(1)若，求的分布列和期望；(2)若，，1，2，3，，，求的最大值；(3)设未出现连续两次不中奖的概率为.求，，，并说明当足够大时，的实际意义.超几何分布及应用解｜题｜策｜略超几何分布的解题步骤：模型识别与参数确定确认试验符合不放回抽样特征，并确定三个参数：总体容量

N，总体中“成功”元素个数

M，抽取样本量

n

则随机变量

XX

服从超几何分布

X∼H(N,M,n)。2、概率计算

利用超几何概率公式直接计算

X=k

的概率：P3、分布列表示将

X

的所有可能取值及其对应概率整理为分布列（通常用表格形式呈现）。1．（2025·江西·模拟预测）为了保持某自然生态保护区的生态平衡，现用重捕法了解该保护区内某种动物的大致数量（单位：只），随机在保护区内捕捉了100只该动物并做上标记，一段时间后再随机捕捉100只，用表示第二次捕捉的100只中有标记的数量．若以使得的概率最大时的值作为该保护区内这种动物的数量的估计值，则的估计值是．2．（2025·河北·模拟预测）某校航模社团共有名学生，研究“战斗机航模”的有人，其中男生人女生人，另外人研究“无人机航模”．(1)从研究“战斗机航模”的人中任意选出人宣传该社团，已知其中一位是女生，求另一位也是女生的概率；(2)从航模社团中任意选出人参加航模设计大赛，设表示来自研究“无人机航模”的人数，求的数学期望．3．（25-26高三上·重庆·期中）甲、乙两工厂共同生产一种零件，经过抽样调查，质检人员发现:甲工厂生产的一批零件的合格品率为85%；乙工厂生产的另一批零件的合格品率为95%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为89%.(1)设甲工厂生产的这批零件有件，乙工厂生产的这批零件有件.求证:；(2)按照分层随机抽样的方法从两个工厂生产的零件中随机抽取5个，再从这5个零件中抽取3个，记这3个零件中来自乙工厂的个数为，求的分布列和数学期望.4．（2025·四川达州·模拟预测）年末促销是商场常用清理库存和资金回笼的一种措施.某商场对消费超过500元的消费者提供一次抽奖活动，抽奖箱中装有10个同种材质且大小相同的红球、黄球和绿球（绿球的个数最多），消费者从抽奖箱中同时抽取2个小球，若2个小球都是红球即获得一等奖，都是黄球即获得二等奖，其余情况，均是不获奖.若从抽奖箱中同时抽取2个小球，其中黄球和绿球各1个的概率是，某消费者抽奖一次.(1)求其获得一等奖的概率；(2)记抽到的绿球个数为，求的分布列及其期望.5．（2025·山东济宁·一模）为了解高三，1班和2班的数学建模水平，现从两个班级中各随机抽取10名学生参加数学建模能力比赛（满分100分），成绩如下：数据Ⅰ（高三，1班）：68，80，58，75，65，70，54，90，88，92；数据Ⅱ（高三，2班）：72，55，83，59，56，90，83，52，80，95．(1)求数据Ⅰ（高三，1班）的第80百分位数；(2)从上述成绩在60分以下的学生中随机抽取3人作下一步调研，设被抽到的3人中来自于高三，2班的学生人数为，求的概率分布列和数学期望．正态分布的应用解｜题｜策｜略利用正态曲线的对称性求解相关概率问题，主要依据以下两个基本性质：正态曲线关于直线

x=μ

对称；2、曲线与

x

轴所围成的总面积为

1。1．（2026·河北邢台·一模）若随机变量，且，则2．（多选）（2026·湖北荆门·模拟预测）目前新能源汽车越来越受到人们的关注与喜爱，其中新能源汽车所配备电池的充电量及正常使用年限是人们购车时所要考虑的重要因素之一．某厂家生产的某一型号的新能源汽车配备了两组电池，且两组电池能否正常使用相互独立．每组电池的正常使用年限（单位：年），，，以下结论正确的是（

）A． B．C． D．这两组电池正常使用年限都不超过20年的概率为0.753．（2026·湖南邵阳·一模）已知随机变量，正实数满足，则的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．64．（多选）（2026·广东肇庆·二模）已知随机变量，则（

）A．B．越大，随机变量的方差越大C．随机变量的分布越集中，的值越小D．的取值在内是小概率事件5．（多选）（2026·陕西延安·一模）陕西省某中学体能测试成绩服从正态分布，已知，则下列说法正确的是（

）（参考数据：）A．B．C．若随机抽取3名学生，则至少2人成绩超过75的概率为D．若随机抽取100名学生，则成绩超过85的人数期望为20随机抽样样本的数字特征解｜题｜策｜略1、众数反映数据出现最频繁的取值，能够体现数据的“最大集中点”，但它对数据整体的分布不敏感，容易忽略其他取值的信息，因此无法全面、客观地反映总体特征。2、中位数将样本数据按大小排列后位于中间位置，可视作频率累积分布的中心分割点，它不受极端值影响，对数据中的异常值具有较好的稳健性，适用于偏态分布或存在极端值的数据描述。3、平均数综合考虑了样本中每一个数据的取值，能够反映出数据总体的集中趋势，包含较为丰富的总体信息。然而，平均数容易受到极端值（离群值）的影响，在数据分布严重偏斜或存在异常值时，其代表性可能会被削弱。如果直方图的形状是对称的，那么平均数与中位数应该大体上差不多；但是如果直方图的性质不是对称的，那么和中位数相比，平均数总在“长尾巴”那边。1．（多选）（2026·广东湛江·一模）一组互不相等的数据从小到大排列为，去掉后，则下列选项正确的有（

）A．极差变大 B．平均数变大 C．中位数变小 D．分位数变大2．（多选）（2026·河北·模拟预测）已知一组样本数据为7，1，3，4，5，1，5，6，则下列说法中正确的是（

）A．这组数据的极差是5 B．这组数据的中位数是4.5C．这组数据的第80百分位数是5.5 D．这组数据的方差是4.253．（2026·云南昭通·模拟预测）棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标.在一批棉花中随机抽测了400根棉花纤维的长度（单位：），整理得到下表数据：纤维长度（）频数30406012010050根据表中数据，关于对样本数据的分析，下列结论中正确的是（

）A．棉花纤维的长度的极差估计值大于B．棉花纤维中，其长度低于的棉花纤维数占三分之一C．棉花纤维的长度的中位数估计值介于至之间D．棉花纤维的长度的平均值估计值介于至之间4．（多选）（2026·四川泸州·二模）已知两组样本数据和，其中是的中位数，则这两组样本数据的（

）A．极差不相等 B．中位数相等C．平均数相等 D．标准差可能相等5．（多选）（2026·全国·模拟预测）已知甲、乙两组样本各有1000个数据，甲、乙两组数据合并后得到一组新数据，则（

）A．若甲、乙两组数据的平均数都为a，则新数据的平均数等于aB．若甲、乙两组数据的极差都为b，则新数据的极差可能大于bC．若甲、乙两组数据的方差都为c，则新数据的方差可能小于cD．若甲、乙两组数据的中位数都为d，则新数据的中位数等于d频率分布直方图解｜题｜策｜略频率分布直方图的基本关系（1）面积即频率：每个小矩形的面积=组距×频率/组距=该组数据的频率，且所有矩形面积之和为1。

（2）频率、频数与样本容量的关系：频率=频数样本容量频率=样本容量频数​样本容量=频数÷频率频数=样本容量×频率2、利用直方图估计数字特征的方法

（1）中位数：寻找使得直方图左、右两侧面积均为0.5

的横坐标值，即累积频率首次达到或超过50%的位置。

（2）平均数：取每个小矩形的面积乘以该组区间中点横坐标，再求和

（3）众数：最高矩形所在区间的组中值，代表数据出现最集中的位置。补充说明方差的估计：可先估算各组数据与平均数之差的平方，再结合频率加权计算。图形理解：直方图的纵坐标（频率/组距）越高，表示该区间数据越密集；面积反映比例，是频率分析的基础。1．（2026·湖南株洲·一模）从某社区1万余名居民中随机调查了部分居民，获得了他们的每日运动时长数据，整理得到如下频率分布直方图．

(1)求的值；(2)假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该社区全体居民的每日平均运动时长；(3)若用样本的频率估计总体的概率，现从该社区居民中随机抽取4人，用表示每日运动时长在50分钟以上的居民人数，求随机变量的数学期望．2．（2026·河南南阳·模拟预测）某科技公司开发了一款AI绘画软件，为了测试该软件生成的人像照片的真实度，工程师邀请了100名用户对生成的照片进行评分（满分100分）.将评分数据按，，，，，分成6组，并绘制了如下的频率分布直方图.

(1)求的值；(2)试估计这100名用户评分的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）(3)若从评分在内的用户中，按分层随机抽样的方法抽取5人进行回访，再从这5人中随机抽取2人赠送会员，求这2人来自不同评分区间的概率.3．（2026·辽宁大连·一模）从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中的值；(2)估计月用电量样本数据的中位数；(3)在该小区所有居民用户中随机抽取一用户，已知的月用电量落在区间中，估计的月用电量恰好落在区间中的概率.4．（2026·河北邢台·一模）某学校对某次高三质量检测化学考试成绩进行了汇总，并将化学成绩按赋分规则转换为等级分数(赋分后学生的等级分数全部位于内)，整理后得到如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中m的值，并估计该校高三学生化学等级分数的第70百分位数；(2)用分层随机抽样的方法从等级分数位于内的学生中随机抽出8人，再从这8人中随机抽出3人，记ξ为这3人中等级分数位于内的人数，求ξ的分布列和数学期望.5．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）从某小区抽取100户居民用户进行用水量（单位：吨）调查，将他们的月用水量分成，五组，画出频率分布直方图，如图所示.(1)求的值，并求在被调查的用户中，月用水量在内的户数；(2)用比例分配的分层随机抽样方法从月用水量在和内的用户中选取6户，再从这6户居民中任选3户，记这3户居民中月用水量在内的用户数为，求的分布列与期望.独立性检验解｜题｜策｜略独立性检验的基本步骤

(1)提出零假设H0：X和Y相互独立（即X和Y无关）

(2)根据2×2联表给出的数据算出χ2=nad-bc2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)(其中n=a+b+c+d)，得到随机变量

(3)根据实际问题需要的可信程度（小概率值α）确定临界值k0“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过P(K2≥k0)×100%，即成立；否则就说没有1-1．（多选）（2026·重庆·一模）某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．为分析两种疗法效果是否有差异，采取有放回的简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到如下数据：疗法疗效未治愈治愈甲1552乙663附常用小概率值及其相应的临界值表为：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828计算得．则下列说法正确的是：（

）A．以频率估计概率，有B．以频率估计概率，有C．若取，可以认为疗效与疗法独立D．若取，可以认为疗效与疗法独立疗法疗效总数未治愈治愈甲155267乙66369总数211151362．（2026·湖北十堰·一模）某生态农场用精准农业技术种植番茄，研究两种智能灌溉系统（型与型）对果实品质的影响.农场随机选取200株番茄，记录灌溉类型及果实糖度达标情况，得如下列联表：灌溉系统糖度达标糖度不达标合计型6238100型4555100合计10793200(1)根据小概率值的独立性检验，判断番茄果实糖度达标与灌溉类型是否有关联；(2)该农场同时测试无土栽培技术对产量的影响，已知单株番茄产量（）为，通过测试得到使用无土栽培时的分布列为：11.520.20.50.3使用传统土壤栽培时的分布列为：0.81.21.60.40.40.2从这两种方式栽培的番茄中随机各抽取1株，若使用无土栽培技术与使用传统土壤栽培时番茄的产量相互独立，求抽到的2株番茄总产量大于的概率.附：，其中.0.050.010.0013.8416.63510.8283．（2026·湖北·二模）某健身房为了解“是否喜欢健身操”与年龄的关联性，随机调查了80位会员，得到的数据如表所示（单位：人）：年龄是否喜欢健身操合计喜欢健身操不喜欢健身操青年152540中年202040合计354580(1)根据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢健身操与年龄有关联？(2)已知会员小邹选择“动感单车”“瑜伽”“普拉提”三种项目的概率依次为，，；且小邹在这三种项目中达到“训练标准”的概率依次为，，．若小邹某次训练未达到目标，求他选择的是“瑜伽”项目的概率。附：，．4．（2026·河北沧州·一模）2025年7月15日，搭载天舟九号货运飞船的长征七号遥十运载火箭成功发射，标志着我国航天事业又迈上了一个新台阶.某中学为了解学生对我国航天事业发展的关注度，随机地从该校学生中抽取一个容量为200的样本进行调查，调查结果如下表：性别关注情况高度关注非高度关注女学生30男学生90以频率估计概率，若在这200名学生中随机抽取1人，该学生高度关注我国航天事业发展的概率为．(1)求的值；(2)根据小概率值的独立性检验，判断该校学生对航天事业发展的高度关注是否与学生性别有关．参考公式：，其中．临界值表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.8285．（2026·四川遂宁·一模）冬季气温骤降、空气干燥且气压变化大，慢性阻塞性肺疾病（慢阻肺），哮喘，间质性肺病、肺纤维化，肺炎、支气管炎患者等呼吸系统疾病患者对氧气需求增加，尤其需要制氧机辅助，近年来，我国制氧机产业迅速发展，下表是某地区某品牌制氧机的年销售量与年份的统计表：年份20212022202320242025年份代码12345销量（万台）23.52.589(1)求这种品牌制氧机的销量关于年份代码的线性回归方程，并预测2027年这种品牌制氧机的销量；(2)为了研究不同性别的学生对制氧机知识的了解情况，某校组织了一次有关制氧机知识的竞赛活动，随机抽取了男生和女生各100名，得到如下列联表：学生制氧机知识合计了解不了解男生20女生40合计（ⅰ）根据已知条件，填写列联表；（ⅱ）根据小概率值的独立性检验，判断该校学生对制氧机知识的了解情况与性别是否有关联；(3)从（2）的样本中按对制氧机知识了解和不了解的学生人数进行分层抽取10人，再从这10人中随机抽取4人做某项调查，记这4人中对制氧机知识不了解的人数为，试求的分布列和数学期望.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828回归分析解｜题｜策｜略1、利用相关系数r判断变量的相关性，当|r|越趋近于1时，两变量的线性相关性越强．当变量的线性相关性很强，或者从散点图分析符合线性相关时，可以用最小二乘法的方法求回归系数计算出x，y，i=1n(xi-x)(yi注意：样本点不一定在经验回归直线上，但点(x，残差分析：ei​=量化评价指标:残差平方和

RSS：越小拟合越好决定系数

R2：

越接近11．（多选）（2025·广东·一模）一组样本数据．其中，求得其经验回归方程为：，残差为．对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为：，其残差为，分布如图所示，且，则（

）A．样本负相关 B．C． D．处理后的决定系数变大2．（多选）（2025·河北·模拟预测）甲乙二人统计变量和变量，得到一组数据并进行回归分析，甲同学首先求出变量的8个数据平均值为2，回归直线方程，乙同学对甲的计算过程进行检查，发现甲将一数据错看成，甲乙二人将错误修正后得到正确回归直线方程，则（

）A．变量的8个数据正确平均值为B．C．变量和变量正相关D．变量和变量的相关系数为43．（多选）（2025·河北秦皇岛·二模）某科技公司统计了一款App最近5个月的下载量，如下表所示，若与线性相关，且经验回归方程为，则（

）月份编号12345下载量万次54.543.52.5A．与负相关 B．C．第7个月的下载量估计为1.8万次 D．残差绝对值的最大值为0.24．（2026·陕西西安·一模）当前，人工智能技术以前所未有的速度迅猛发展，并逐步影响生活的方方面面，人工智能被认为是推动未来社会发展和解决人类面临的全球性问题的重要手段.某公司在这个领域逐年加大投入，以下是近年来该公司对产品研发年投入额（单位：百万元）与其年销售量（单位：千件）的数据统计表.（百万）12345（千件）0.511.535.5(1)根据统计表的数据及参考公式计算样本相关系数，推断两个变量的相关程度；(2)根据（1）问的结果判断是否可以用一元线性回归模型来刻画年销售量和投入额之间的关系？如果可以，根据最小二乘法，建立销售量关于投入额的经验回归方程；如果不可以，请说明理由.(3)该公司科研团队发现样本数据呈现出明显的非线性相关的特征，得到年销售量关于年投入额的非线性经验回归方程为，并计算出的残差平方和，请根据统计表的数据及参考公式，比较线性经验回归方程和非线性经验回归方程的拟合效果哪种更好？并选择拟合精度更高的方程，预测年投入额为6百万元时，产品的销售量约为多少？（计算结果保留到小数点后两位）.参考公式及数据：，，，，，，.5．（2025·湖南永州·模拟预测）某经济研究所为了解居民存款余额变化情况，对2009年至2024年居民存款余额进行统计分析，将2009年看成第1年，依次类推，得到第1~16年的居民存款余额（单位：万亿元）的散点图，如图所示：(1)已知从2021年开始，居民存款余额超过100万亿元，若从2009年至2024年中任取2年，求这2年中恰有一年居民存款余额超过100万亿元的概率；(2)由散点图知，和的关系可用经验回归模型进行拟合，求关于的经验回归方程.参考数据：设，则.参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.（建议用时：30分钟）1．（多选）（2025·云南昭通·模拟预测）甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（

）A．为对立事件B．C．D．2．（多选）（2026·河南郑州·模拟预测）任意抛掷一枚骰子一次，观察它向上一面的点数，得到样本空间为，若事件，事件，事件满足，下列结论中正确的是（

）A．B．事件，，两两独立C．当事件时，D