河南开封高级中学2026届高三学情调研数学试题（一）+答案

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页河南开封高级中学2026届高三学情调研数学试题（一）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．随着电视剧《沉默的荣耀》的热播，剧中人物原型吴石将军的故居——位于福州市仓山区螺洲镇，其成为游客追寻先烈足迹、缅怀革命精神的热门“红色打卡地”.其中连续10日的游客人数依次为872，963，742，682，1322，1244，674，548，884，993，则这组数据的中位数为（

）A．872 B．878 C．884 D．12832．已知复数z=3+4i，i为虚数单位，z为zA．8−4iC．28−4i3．已知集合A=x|ln2x−A．4,6,C．4,6,4．已知向量a=2,1，b=2,λ，c=−4,μA．25 B．16 C．5 D．45．已知函数fx是定义在R上的偶函数，当x≤0时，fx=x2+aA．−3或−9 B．3或9 C．−3或36．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tanB=A．4 B．−4 C．14 7．已知A4,0，B0,−6，动点P满足PA⋅PB=3A．18 B．27 C．36 D．548．已知函数fx=2x+2+1，函数gx=3x+1+A．mt<nC．mt>n二、多选题9．对于函数fx=sin2xA．fx与gx有相同的最小正周期 B．fxC．fx在区间0,π2上单调递增 D．10．已知椭圆C:x225+y2m=A．当m=9时，MB．当m=9时，C与MC．当n=12时，过F1作与x轴垂直的直线与C交于A，D．当n=12时，若点P为C与M的其中一个交点，则△11．已知正四棱台ABCD−A1B1CA．此四棱台的侧面积为32B．若M是A1D1的中点，则平面C．若点P为平面A1ACC1截此四棱台所得截面上的动点，且D．若点E为棱CC1上的动点，则B三、填空题12．过点2,a作曲线y=1x2图象的切线l，若直线l13．已知数列an为正项等比数列，数列bn满足bn=lnan，若14．甲箱中有7个除颜色外完全相同的球，其中有2个红球、2个蓝球、3个黄球；乙箱中有5个除颜色外完全相同的球，其中有3个红球、2个黄球.现从两个箱子中同时各随机摸出1个球进行交换，则交换后甲箱中恰有3个黄球的概率为______；若交换后甲箱中黄球的个数为X，蓝球的个数为Y，设随机变量ξ=X+Y，则四、解答题15．某游泳馆运营商发现，当日最高气温x（单位：摄氏度）与当日收入y（单位：百元）之间有如下的对应数据，由散点图知，当日最高气温x（单位：摄氏度）与当日收入y（单位：百元）呈线性相关.x（单位：摄氏度）2830323436y（单位：百元）2234506074(1)从表中给出的当日收入的5个数值中任取1个，求其高于当日收入平均值的概率；(2)由上面数据判断，当日最高气温每升高1摄氏度，当日收入大约增加多少元？(3)气象台预报后天的最高气温为39摄氏度，则后天的收入大约为多少元？参考数据：对于一组具有线性相关关系的数据xi,yi(i=16．已知函数fx(1)若数列an=fn，求数列an(2)已知函数fx在x=n(n∈N*)处的切线为直线ln，直线ln17．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=12，AD=BC=5，CD=4，D(1)证明：平面PEF⊥(2)求四棱锥P−(3)求平面PDC与平面18．过椭圆D:x24+y23=1的右焦点作倾斜角为(1)求抛物线C的标准方程；(2)已知M5,0，N−3,0，F是抛物线C的焦点，点P在第一象限，且在C(3)已知T4,0，过抛物线C的焦点F作直线l，l交C于A，B两点，记直线TA，TB的斜率分别为k1，k219．已知a为实数，函数f(x)(1)若f(x)在区间[(2)求函数g((3)当a=4时，证明：∀x1∈答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《河南开封高级中学2026届高三学情调研数学试题（一）》参考答案1．B【详解】将这10个数据从小到大排列，依次为548，674，682，742，872，884，963，993，1244，1322，所以这组数据的中位数为872+2．A【详解】因为z=3+所以z+3．D【分析】求出集合A，利用交集的定义可求得集合A∩【详解】由ln2x−1>ln11又因为B=2,4．C【分析】根据向量垂直和平行列方程，求得λ，μ，根据向量坐标运算求得正确答案.【详解】因为a⊥b，a∥c，所以4+λ=所以3a故3a5．B【分析】根据双曲线的性质，求得其渐近线方程为y=±3【详解】由双曲线C:x2因为函数fx是定义在R上的偶函数，且当x≤0可得f1=f当点P在直线y=3x上时，可得6当点P在直线y=−3x上时，可得所以实数a的值为3或9.6．D【分析】利用同角三角函数商数关系整理tanB=3tanA，可得sin【详解】由tanB=3tanA根据正弦定理，4acosB所以4=47．B【分析】设Px,y，根据PA⋅PB=3可得(【详解】设Px,y由PA⋅PB=故P在以E2点E2,−3到故点P到l的距离的最大值为5+所以△PMN8．B【分析】求出函数mx、nx的解析式，数形结合可得出mt【详解】在y=mx上任意取点x,y，点x因为点y,x在fx=2即mx=log在同一坐标系内画出mx=log得mt<nt<而nt9．ABD【分析】根据正弦函数和正切函数的图像性质即可求解.【详解】对于A选项，函数y=sin2x的最小正周期为2π2=πy=tan2x的最小正周期为π2对于B选项，令fx=sin2x令gx=tan2x对于C选项，取x1=π4，则fx1=fπ4=对于D选项，函数fx=sin2x函数gx=tan2x综上所述，选项ABD都正确.10．BC【分析】由题意可得m+n=16，对于AB：可知n=7，进而可得【详解】由题意可得25−m=对于选项AB：当m=9时，则n=7，所以且椭圆C的离心率为25−m5=4所以C与M的离心率之积为45对于选项CD：当n=12时，则可得椭圆C：x225+y24所以F1F2联立方程x225+y2所以△PF111．ACD【分析】A记上、下底面的中心分别为O1，O，取AD的中点为N，取A1D1的中点为M，连接OO1，O1M，MN，ON，利用棱台的体积公式可求得OO1=22，进而可得MN=23，进而求解判断；B取A1B1的中点G，连接GM，GM的中点设为T，连接B1D1，BD，OT，分析可得平面【详解】A，如图，记上、下底面的中心分别为O1，O，取AD的中点为N，取A1连接OO1，O1M，则MN为梯形A1ADD而ON=3所以梯形A1ADD1B，取A1B1的中点G，连接GM，GM的中点设为T，连接B则B1D1//B所以平面BDM截此四棱台所得的截面为因为GM=2，B所以梯形BDMGC，因为DO⊥AC，所以DO⊥平面A1因为DP=25，所以点P的轨迹是以O为圆心，半径为2的半圆，弧长l=D，由A知MN=23，则侧棱如图，将侧面B1BCC1和C1CDD1沿棱此时BD的长度即为BE+12．−【分析】借助导数的几何意义计算即可得切线方程，再将2,【详解】设切点为x0,1由直线l与直线m:故−2x03×切线方程为y−1=因为切线过点2,a，代入有13．20【详解】因为数列an为正项等比数列，数列bn满足bn所以bn+1由2b7+14．1835【分析】第一空：分两种情况：从甲箱摸出非黄球、乙箱摸出非黄球；从甲箱摸出黄球、乙箱摸出黄球，再利用古典概型概率公式计算；第二空：先分析ξ=X+【详解】①甲、乙两个箱子中各有一个球交换后，甲箱中恰有3个黄球有两种情况：一种情况是甲、乙两个箱子中取出的均是黄球，此时概率P1另一种情况是甲箱中取出的是红球或蓝球，乙箱中取出的是红球，此时概率P2则甲箱中恰有3个黄球的概率为P1②由题知ξ=当ξ=X+Y=或甲箱中取出的是黄球或蓝球，乙箱中取出的是黄球，此时概率P=当ξ=X+所以Eξ15．(1)3(2)650元(3)9350元【分析】（1）先计算当日收入的平均值，再统计高于平均值的收入个数，最后用古典概型计算概率.（2）先计算x、y、i=15(x（3）先根据a=y−bx【详解】（1）由题可知y=当日收入高于48的有50，60，74，共3个，从当日收入的5个数值中任取1个，其高于当日收入平均值的概率为P=（2）由题可知x=i=15b=i=即当日最高气温每升高1摄氏度，当日收入大约增加650元.（3）a=所以经验回归方程为y=当x=39时，y=16．(1)S(2)T【分析】（1）将数列an=2n+2n拆分为等比数列{（2）先求函数f(x)在x=n处的切线方程，令x=0得到截距b【详解】（1）因为an==2（2）f′直线ln的方程为y令x=得y=所以bn令数列n⋅2n的前nQn2Q两式相减得−Qn=又数列2n的前n项和为2所以数列bn的前n项和T17．(1)证明见解析；(2)91π(3)2114【分析】（1）通过折叠性质，可得DE⊥平面（2）根据几何体体特征，可得四棱锥P−DCFE外接球的球心O在过O′且与平面DC（3）由（2）建立的空间直角坐标系，利用空间向量的方法求出平面PDC与平面【详解】（1）在梯形ABCD中，DE⊥AB又因为PE⊂平面PEF，EF⊂平面PE又因为DE⊂平面DCFE（2）在梯形ABCD中，因为AB∥CD，AB=12，AD所以四边形DCFE为矩形，且EF=CD取EF的中点M，连接PM，则PM因为DE⊥平面PEF，PM⊂平面PEF，故所以以M为原点，过点M与DE平行的直线为x轴，以直线EF为y轴，以直线PM所以M0,0,0，D3,因为四边形DCFE为矩形，所以EC与DF的交点O′到D，所以四棱锥P−DCFE外接球的球心O设O32,0,t，外接球的半径为R，由所以R=9112，所以四棱锥P（3）由（2）得DC=0,4设平面PDC的法向量为则n1⋅D令x1=3设平面PFC的法向量为则n2⋅P令z2=1设平面PDC与平面PFC的夹角为则cosθ=n1⋅n218．(1)y(2)25(3)15【分析】（1）首先求出椭圆右焦点的坐标，然后根据PQ（2）设点Px,y，根据|PM（3）设直线AB方程为x=my+1，与y2=4【详解】（1）椭圆D中，a2=4，b2=3，所以在抛物线C:y2=2所以PQ=2故抛物线C的标准方程为y2（2）设点Px,y，因为|整理得x2因为y2=4x，所以x2因为P在第一象限，所以点P的坐标为4,因为F1,0，所以直线F故直线FP的方程为y与y2=4x联立整理得所以直线FP被C截得的弦长为4（3）由题意知直线AB的斜率不为0，设其方程为x与y2=4x联立，整理得不妨设Ax1,y1，y由k1=y1x又y1y2故1k1−1k因为△ABT由y1y2=−4，得当y1=4时，y故△ABT19．(1)((2)0(3)证明见解析【分析】（1）求出函数f(x)的导数f′(（2）求出函数g(x)的导数g（3）构造函数φ(x)=ln(−2x【详解】（1