人教版初中数学九年级下册《28.1.2 余弦和正切》教案

人教版初中数学九年级下册《28.1.2余弦和正切》教案

一、课标解读与教材分析

1.1课标要求分析

根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》的要求，本课时内容属于“图形与几何”领域中的“图形的变化”主题。课标明确指出，学生应“探索并认识锐角三角函数（sinA,cosA,tanA），知道30°，45°，60°角的三角函数值”，并“能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题”。本课时作为锐角三角函数概念的深化与拓展，承载着构建完整三角函数概念体系、发展学生数学抽象能力和模型观念的核心任务。

从核心素养的维度来看，本节课应着力培养学生的：

1.数学抽象：从直角三角形的边角关系中抽象出余弦、正切函数的概念，完成从具体几何关系到抽象函数关系的飞跃。

2.逻辑推理：通过类比正弦概念的形成过程，推理得出余弦、正切的定义，并探索三者之间的内在联系。

3.数学建模：建立用余弦、正切函数刻画直角三角形边角关系的数学模型，并应用于实际问题的解决。

4.直观想象：通过图形动态变化，直观感知锐角大小与邻边/对边比值之间的一一对应关系。

1.2教材地位与作用

本节内容位于人教版九年级下册第二十八章《锐角三角函数》的第一单元。在教材逻辑链条中，它紧随“28.1.1正弦”之后，是锐角三角函数概念体系的有机组成部分。正弦概念的建立为学生提供了研究范式和思维路径，本节课的余弦、正切学习则是该范式的迁移与应用，具有方法论意义。

从知识结构看，正弦、余弦、正切共同构成了刻画直角三角形边角关系的三个基本工具。它们相互关联，互为补充（如互余角的三角函数关系），为后续解直角三角形、三角函数的增减性、以及高中阶段的任意角三角函数学习奠定坚实的认知基础。教材通过“思考”、“探究”、“归纳”等栏目，引导学生自主构建概念，体现了从特殊到一般、从具体到抽象的认知规律。

1.3内容重构与整合思路

在遵循教材主干逻辑的前提下，本设计对教学内容进行适度重构与整合：

1.概念生成一体化：将余弦与正切的概念生成置于同一认知流程中，通过对比学习，突出两者的共性与差异，强化对锐角三角函数“比值”本质的理解。

2.知识网络结构化：提前渗透“三角函数的增减性”这一隐含线索，通过动态几何软件展示角度变化时各比值的变化趋势，为后续的规律总结埋下伏笔。

3.应用情境跨学科化：设计融合物理（力的分解）、工程（坡度计算）、地理（测量问题）等领域的应用问题，体现数学的工具价值，拓展学生视野。

二、学情分析

2.1认知基础分析

学生在学习本课之前已具备以下知识与技能：

1.知识储备：牢固掌握了直角三角形的性质（勾股定理、两锐角互余）；已学习“28.1.1正弦”的概念，理解了锐角三角函数是角度与比值之间的单值函数关系，初步掌握了在直角三角形中利用正弦进行边角计算的方法。

2.技能水平：具备一定的几何直观能力和逻辑推理能力；能够使用计算器求已知锐角的正弦值；初步经历了从具体实例中抽象数学概念的探究过程。

3.活动经验：熟悉小组合作探究的学习模式，能够进行有效的数学交流与表达。

2.2潜在认知障碍诊断

根据教学经验与认知规律分析，学生学习本课可能遇到以下困难：

1.概念混淆：容易混淆正弦、余弦、正切所对应的“边”的关系（对边、邻边、斜边），特别是在非标准位置的直角三角形中，准确识别“∠A的对边”与“∠A的邻边”是一大难点。

2.理解定势：正弦的“先入为主”可能导致学生误认为余弦、正切是独立的新知识，而非同一知识体系下的不同“视角”，难以主动构建三者的内在联系。

3.符号障碍：“cos”和“tan”作为新的数学符号，其抽象性可能使部分学生产生疏离感，影响对概念本质的关注。

4.应用僵化：在解决实际问题时，不善于根据已知条件（已知两边及其关系）灵活选择合适的三角函数，存在机械套用公式的现象。

2.3学习心理与动机分析

九年级学生抽象逻辑思维迅速发展，乐于接受挑战性的智力任务。他们已不满足于“是什么”，更渴望探究“为什么”和“怎么用”。因此，教学设计应：

1.激发探究欲：通过富有挑战性的现实问题（如：仅用测角仪和皮尺，如何测量小河对岸一棵树的高度？），引发认知冲突，驱动主动学习。

2.提供成功体验：设计梯度合理的探究任务，让不同层次的学生都能在“最近发展区”内获得成功，增强学习数学的信心。

3.促进意义建构：引导学生将余弦、正切概念与已有的正弦概念网络相连接，形成结构化的知识体系，体验数学的和谐与统一之美。

三、教学目标

依据课标要求、教材内容和学情分析，确定以下三维教学目标：

3.1知识与技能

1.理解余弦（cosA）和正切（tanA）的概念，能准确叙述其定义，并能正确书写符号。

2.能在直角三角形中，准确地根据锐角A找出它的邻边、对边和斜边，并写出相应的余弦、正切比值表达式。

3.熟记30°、45°、60°这三个特殊角的余弦值和正切值，并能够利用计算器求任意锐角的余弦值和正切值，或由三角函数值求对应的锐角。

4.能根据锐角三角函数的定义，已知直角三角形中的两个元素（至少一边），选择适当的三角函数求出其他未知的边和角。

5.初步了解锐角A的度数变化时，它的余弦值和正切值的变化趋势。

3.2过程与方法

1.经历从特殊到一般、从具体到抽象的概念形成过程，通过类比正弦的学习路径，自主探索和归纳余弦、正切的定义，发展数学抽象和类比推理能力。

2.通过小组合作探究活动，在动态变化的几何图形中观察、发现角度与比值之间的函数关系，增强几何直观和数据分析观念。

3.在解决实际问题的过程中，学会建立直角三角形模型，并灵活选用正弦、余弦或正切进行求解，提升数学建模和应用能力。

3.3情感态度与价值观

1.在探究余弦、正切概念的过程中，感受数学知识之间的内在联系和系统性，体会数学的严谨性与统一性。

2.通过了解三角函数在工程建设、科技创新等领域的广泛应用，认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，增强学习数学的兴趣和用数学服务社会的意识。

3.在小组协作与交流中，养成独立思考、敢于质疑、合作分享的良好学习品质。

四、教学重点与难点

教学重点：余弦函数（cosA）和正切函数（tanA）的概念形成与理解。

确立依据：概念是数学思维的细胞，是一切应用与拓展的基础。准确理解余弦、正切是“锐角A的函数，其函数值等于特定边的比值”这一本质，是本节课的核心任务，也是后续所有学习活动的基石。

教学难点：

1.难点一：在任意位置的直角三角形中，准确、熟练地识别锐角A的邻边与对边。

突破策略：设计“图形变式辨识”活动，通过旋转、翻转直角三角形，让学生在非标准图形中反复练习识别，强调“以目标锐角为参照点”的判定方法，并辅以口诀记忆（“邻”即“挨着”，“对”即“对着”）。

2.难点二：理解当锐角A的度数确定时，它的余弦值和正切值也是唯一确定的，与三角形的大小无关，即函数的“单值性”。

突破策略：利用几何画板等动态软件，演示在保持∠A度数不变的前提下，任意改变直角三角形的大小，引导学生观察并测量发现邻边/斜边

和对边/邻边

的比值始终保持不变，从而深刻理解其函数本质。

3.难点三：在实际问题中，根据具体条件灵活、合理地选择使用正弦、余弦或正切。

突破策略：采用“条件-目标匹配法”进行专项训练。出示一组已知两边或一边一角求其他元素的问题，引导学生先分析“已知什么”、“要求什么”，再根据“要求的目标边与已知边的位置关系”（是对边、邻边还是涉及斜边）来选择合适的三角函数，并总结选择策略。

五、教法学法设计

5.1教法选择

本课将采用“主导-主体”相结合的教学模式，综合运用以下教学方法：

1.情境教学法：创设贯穿始终的“测量大师”挑战情境，将知识学习融入解决系列实际问题的过程中，激发内在动机。

2.探究发现法：围绕核心问题“除了正弦，直角三角形中还有哪些稳定的边比关系？”组织学生进行猜想、验证、归纳，亲身经历知识的“再创造”过程。

3.变式教学法：通过改变直角三角形的摆放位置、边角数据的呈现方式，训练学生对概念本质的把握，克服机械识记。

4.信息技术融合法：充分利用动态几何软件（GeoGebra）的即时测量、动态变化功能，将抽象的“比值不变性”直观化、可视化，突破认知难点。

5.讲练结合法：在关键概念点精讲点拨，随后跟进针对性练习，及时巩固，反馈矫正。

5.2学法指导

引导学生采用以下学习方式，实现深度学习：

1.类比迁移学习：以正弦概念为“锚点”，自主建构余弦、正切的概念图式，实现知识的正向迁移。

2.合作探究学习：以4人异质小组为单位，在探究任务中分工协作，交流辩论，在思维碰撞中深化理解。

3.自主建构学习：鼓励学生动手画图、操作软件、推导特殊角函数值，通过亲身实践建构个人化的知识意义。

4.反思总结学习：在每个学习环节后，引导学生进行反思小结，提炼思想方法，培养元认知能力。

六、教学准备

1.教师准备：

1.2.多媒体课件（含情境动画、探究指引、例题、变式训练题）。

2.3.GeoGebra动态几何文件（预设多个可拖拽的直角三角形模型）。

3.4.实物教具：大三角板、自制坡度模型。

4.5.精心设计的《学习任务单》（含探究记录区、例题解析区、课堂练习区）。

6.学生准备：

1.7.复习正弦函数的定义及特殊角值。

2.8.带好直尺、量角器、科学计算器。

3.9.预习教材相关章节，并提出1-2个疑问。

七、教学过程设计

第一阶段：创设情境，温故引新（预计时间：8分钟）

活动一：情境导入——挑战“不可能”的测量

1.呈现问题：展示一幅图片：一条小河阻挡，需要测量对岸一座古塔AB的高度。我们手头只有测角仪和50米长的皮尺。提问：“上节课，我们利用正弦知识，如果能在岸边测出一点C，使∠ACB为特殊角，并测出BC距离，就能求出AB。但如果岸边空间狭窄，我们只能到达塔底B的正对岸C点，并且只能测量出从C点看塔顶A的仰角∠ACB（非特殊角），以及从C点后退20米到D点，再次测量仰角∠ADB。现在，如何求出塔高？”

2.引发思考：学生利用已有知识尝试解决，会发现仅用正弦无法直接求解。教师指出：“要解决这个更一般的测量问题，我们需要为直角三角形引入新的‘工具’。”

3.回顾旧知：引导学生快速回顾正弦的定义、符号、意义，并板书：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=∠A的对边/斜边=BC/AB。强调其本质是“角度→比值”的函数关系。

4.提出课题：“在一个直角三角形中，除了斜边与对边的比，斜边与邻边、邻边与对边的比，是否也随着角度的确定而确定呢？今天，我们就一起来探索刻画直角三角形边角关系的另外两把‘金钥匙’——余弦和正切。”

【设计意图】通过一个仅用正弦无法便捷解决的现实测量问题制造认知冲突，激发学生探索新知的强烈愿望。同时，在回顾正弦中明确研究对象（直角三角形中的锐角）和研究范式（寻找与角度唯一对应的边之比），为新课的探究提供清晰的方法论指引。

第二阶段：合作探究，建构概念（预计时间：22分钟）

活动二：探究发现——寻找新的“稳定比值”

1.提出猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°。除对边/斜边

（sinA）外，邻边/斜边

和对边/邻边

这两个比值，是否也只与∠A的大小有关，而与三角形的大小无关？请各小组利用《学习任务单》上的两个大小不同但∠A均为30°的直角三角形（网格图或具体数据）进行测量、计算和比较。

2.小组探究：学生分组活动。①测量或读取边长数据；②计算AC/AB

（邻边/斜边）和BC/AC

（对边/邻边）的比值；③比较组内两个三角形对应比值的数值。教师巡视指导，重点关注学生对“邻边”的识别。

3.汇报交流：小组代表汇报计算结果。教师利用GeoGebra进行验证：动态展示保持∠A=30°不变，拖动点B改变三角形大小时，软件实时计算并显示的两个比值始终保持恒定。

4.归纳定义：

1.5.余弦：引导学生类比正弦的定义，给出∠A的余弦定义：∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cosA，即cosA=∠A的邻边/斜边=b/c。

2.6.正切：同样地，∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切（tangent），记作tanA，即tanA=∠A的对边/∠A的邻边=a/b。

3.7.概念辨析：教师板书三个定义，并强调：①三个函数都是锐角A的函数；②函数值是一个比值，没有单位；③式子中等号左边的cosA

、tanA

是一个整体符号，表示函数值。

8.变式辨析：教师在黑板上画出几个不同方位（∠A不在左下角）的直角三角形，指认不同的锐角（如∠B），让学生快速说出它的正弦、余弦、正切表达式。此环节重点训练在任意三角形中准确识别“对边”与“邻边”。

【设计意图】本环节是概念建构的核心。通过“猜想-验证-归纳”的科学探究过程，让学生自己发现规律，获得概念。动态几何软件的运用，将“不变性”这一抽象属性变得直观可信，有效突破了教学难点。及时的变式训练则深化了学生对概念本质的理解，避免了形式化记忆。

活动三：深入理解——三角函数的“家族”联系

1.关系探究：引导学生观察三个定义式，思考：

1.2.问题1：sinA与cosA的分母有什么特点？（都是斜边）

2.3.问题2：tanA与sinA、cosA有什么关系？（tanA=sinA/cosA）

3.4.问题3：对于锐角A，sinA和cosA的值在什么范围内？tanA呢？为什么？（0<sinA,cosA<1；tanA>0。利用“直角三角形的边都是正数，且斜边大于直角边”解释。）

5.文化渗透：简要介绍“正弦”（sine）、“余弦”（cosine，意为“余角的正弦”）、“正切”（tangent，意为“切线”）的词源历史，揭示其中蕴含的数学思想（如互余角关系），增进学生对数学文化价值的理解。

【设计意图】将三个概念进行关联性学习，帮助学生构建知识网络，理解它们同属一个体系。数学文化的渗透，使概念变得有温度、有故事，提升了学习的深度和趣味性。

第三阶段：应用新知，掌握求值（预计时间：15分钟）

活动四：特殊角的三角函数值

1.自主推导：请学生以小组为单位，利用含30°、45°的两种特殊直角三角形的三边比例关系，独立推导30°、45°、60°角的余弦值和正切值。

2.形成表格：学生代表板演推导过程。师生共同订正，并完成如下表格的填写（可与正弦值并列）：

锐角A

sinA

cosA

tanA

30°

1/2

√3/2

√3/3

45°

√2/2

√2/2

1

60°

√3/2

1/2

√3

3.观察规律：引导学生观察表格，发现互余角（30°与60°）的三角函数关系：sin30°=cos60°，cos30°=sin60°。初步猜想：sinA=cos(90°-A)。此规律可让学生课后尝试证明。

活动五：计算器操作

1.示范讲解：教师演示使用科学计算器（角度制模式）进行以下操作：①已知锐角A，求cosA,tanA；②已知cosA或tanA的值，求锐角A。

2.学生练习：学生在任务单上完成几组计算和反求练习，同桌互查。

【设计意图】特殊角函数值的推导是培养推理能力和运算能力的重要载体。计算器的规范使用是现代数学学习的基本技能。两者结合，确保了学生既有对“特例”的深刻理解，又有处理“一般”问题的工具。

第四阶段：典例解析，综合应用（预计时间：20分钟）

活动六：基础应用——解直角三角形

例题1：（教材例2改编）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，cosA=3/5，求AB和AC的长。

1.学生分析：已知∠A的余弦值及BC（∠A的对边），要求斜边AB和邻边AC。选择哪个函数？

2.教师引导：从cosA=AC/AB出发，但AC未知。可否先利用sinA？根据sin²A+cos²A=1（可暂时告知，或通过勾股定理推导），可先求sinA，再用sinA=BC/AB求AB。或更直接地，设AC=3k,AB=5k，利用勾股定理列方程。

3.规范板书：展示两种解法，强调方程思想和设参数法的应用。

4.方法提炼：已知一锐角的某个三角函数值及一边，解直角三角形的关键是：先明确所求边与已知边、已知角的关系，再选择直接或间接涉及这些边的三角函数建立方程。

例题2：（跨学科应用）如图，一个滑雪者沿倾斜角为30°的雪坡匀速下滑。已知他的下滑力（沿斜面方向）是重力沿斜面方向的分力，大小为Gsinθ；他对雪坡的压力是重力垂直斜面的分力，大小为G

cosθ。若滑雪者与装备总重为700N，求下滑力和压力的大小。并计算雪坡的坡度（tanθ）。

1.学生求解：直接代入公式计算。

2.意义阐释：指出余弦、正切在物理力学分析中的具体应用，坡度i=tanθ正是工程中的标准定义。

活动七：情境回扣——解决导入问题

引导学生回到课堂开始的“测塔高”问题，建立几何模型（构造两个有公共直角边的直角三角形），利用正切定义列出方程求解。让学生体验用新知识成功解决初始挑战的完整感。

【设计意图】例题设计由易到难，从直接应用到模型建立。例1侧重夯实基础，训练选择函数的策略；例2体现跨学科价值；回扣情境则完成了问题解决的闭环，让学生感受到学习的意义和力量。

第五阶段：总结反思，拓展延伸（预计时间：5分钟）

活动八：课堂小结

1.知识树梳理：师生共同构建以“锐角三角函数”为根，以“正弦”、“余弦”、“正切”为干，以定义、符号、特值、关系、应用为枝的知识树状图。

2.思想方法总结：回顾本节课用到的从特殊到一般、类比迁移、数形结合、方程建模等数学思想方法。

3.情感体验分享：邀请学生分享本节课最深刻的体会或收获。

活动九：布置作业

1.基础性作业：教材课后练习，巩固定义和简单计算。

2.探究性作业：（1）利用网格纸，画几个锐角相等的直角三角形，验证tanA=sinA/cosA。（2）探究：当锐角A增大时，cosA和tanA的值分别如何变化？利用计算器收集数据，尝试描述规律。

3.实践性作业：小组合作，设计一个利用三角函数测量校园内旗杆或教学楼高度的方案（要求至少使用两种不同的方法），并撰写简单的测量报告。

【设计意图】结构化的总结帮助学生将零散知识系统化。分层作业满足了不同学生的需求，探究性和实践性作业将学习从课堂引向课外，从书本引向生活，持续发展学生的探究精神和实践能力。

八、板书设计（主版面）

28.1.2余弦和正切

一、定义（Rt△ABC，∠C=90°）

正弦：sinA=∠A的对边/斜边=a/c

余弦：cosA=∠A的邻边/斜边=b/c

正切：tanA=∠A的对边/∠A的邻边=a/b

强调：∠A的函数；比值；整体符号。

二、特殊角的值

|角A|sinA|cosA|tanA|

|30°|1/2|√3/2|√3/3|

|45°|√2/2|√2/2|1|

|60°|√3/2|1/2|√3|

规律：sinA=cos(90°-A)

三、关系

tanA=sinA/cosA

sin²A+cos²A=1（勾股定理）

四、应用关键

1.准确识别对边、邻边。

2.依据条件，灵活选用函数。

3.建立方程（或设参数）求解。

【设计意图】板书力求简明、系统、美观。左侧呈现核心概念与公式，是学生知识建构的视觉支架；右侧作为机动区域，可用于书写例题的关键步骤或学生生成的精彩观点。整个布局逻辑清晰，重点突出，利于学生课后回顾。

九、作业设计（详细方案）

A组：巩固基础（必做）

1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6。

(1)求sinA,cosA,tanA的值。

(2)求sinB,cosB,tanB的值。

（目的：巩固定义，练习在具体图形中求值，并体会互余角关系）

2.求下列各式的值：

(1)2cos60°+3tan30°（目的：熟练特殊角计算）

(2)已知tanα=√3，求锐角α。（目的：熟练使用计算器反求角度）

3.教材练习题2道（精选）。

B组：拓展探究（选做）

1.规律探索：填写下表，并观察当∠A从0°增大到90°时，cosA和tanA的变化趋势。你能用直角三角形的变化来解释这种趋势吗？

|∠A|10°|20°|45°|70°|80°|

|cosA||||||

|tanA||||||

（目的：为下节课学习三角函数的增减性作铺垫，培养数据分析能力）

2.推理证明：在Rt△ABC中，∠C=90°，求证：tanA=sinA/cosA；sin²A+cos²A=1。

（目的：深化对概念之间内在联系的理解，训练逻辑推理能力）

C组：综合实践（小组合作）

“校园高度测量师”项目

任务：测量学校旗杆（或选定建筑物）的高度。

要求：

1.设计至少两种利用三角函数的测量方案（例如：利用一个仰角及基线长；利用两个不同位置的仰角及基线长）。

2.列出每种方案所需的工具、测量步骤、计算原理（公式）。

3.实地进行测量（注意安全），记录数据，计算高度。

4.比较两种方法的测量结果，分析可能产生误差的原因