六年级下册数学奥数第29讲：规划与统筹（人教版）

六年级下册数学奥数第29讲：规划与统筹（人教版）

一、课程定位与核心素养导向

本讲属于小学六年级数学奥数拓展体系“应用问题模型化”模块的核心课程，定位为“从经验优化走向理性规划”。内容以人教版六年级下册“数学广角——优化”为知识原点，向上延伸至运筹学中的单目标静态规划初步，涵盖时间序列安排、资源配置调运、工序并行统筹三类基本原型。课程致力于通过真实问题驱动，系统发展学生的数学抽象能力——将生活情境剥离为数量关系与约束条件；逻辑推理能力——在有序枚举、比较择优中形成严谨论证习惯；模型意识——识别不同情境下的共同结构并提炼通用策略。本讲内容在全国小升初选拔测试及各类奥数竞赛中均为必考模块，且常以压轴题形式考查学生综合运用优化思想解决复杂情境问题的能力。

二、教学目标设计

（一）知识与技能目标

1.【重要】准确阐述“规划”与“统筹”的数学内涵，能够区分时间统筹、资源统筹、工序统筹三种基本问题类型。

2.【非常重要】【高频考点】针对“排队等候最短时间”问题，熟练运用“短时优先”原则确定最优顺序，并能处理单位成本（费率）不同时的加权优化情形。

3.【重要】针对“两仓两地物资调运”问题，掌握“设变量—列式—定范围—枚举求最值”四步分析法，能够通过表格或折线图呈现方案与费用的对应关系。

4.【一般】初步了解工序流程图中的关键路径思想，能对双人并行作业任务进行简单的任务分配与时间估算。

（二）过程与方法目标

5.经历“枚举所有可能—计算比较—归纳优化准则—验证反例”的完整建模过程，体会运筹学“整体最优而非局部最优”的核心思想。

6.在小组合作中运用流程图、矩阵表、假设调整等可视化工具，将隐性思考显性化，发展数学交流与批判性思维。

7.通过多组变式数据的认知冲突，打破对优化策略的机械记忆，形成“针对具体目标灵活选择算法”的元认知监控能力。

（三）情感态度与价值观目标

8.感受数学优化在节约资源、提高效率方面的现实力量，培养用数学眼光审视日常规划的习惯。

9.在挑战性问题的逐层破解中获得高峰体验，树立“难题亦可分解”的解题自信。

10.通过赈灾调运、工厂生产等情境素材，渗透社会责任意识与科学决策素养。

三、教学重点、难点与关键点

【教学重点】——【非常重要】【高频考点】【必会】

（一）排队问题中总等待时间最小化的两类优化准则：任务时间相同时的“短时优先”原则；任务时间与单位等待成本均不同时的“成本率×时间”积优先原则。

（二）产销平衡条件下两仓两地调运问题的通用解法框架：变量设定、总运费代数式表达、变量取值范围界定、有限枚举寻优。

（三）用流程图或统筹表完整呈现方案枚举过程，并能用数学语言（如“因为……所以……”）论证方案的最优性。

【教学难点】——【难点】【易错】【拉分点】

（一）当可行方案数量极大时，如何建立有序枚举的框架（如按某一变量从小到大取值）以保证不重不漏。

（二）在费率与时间均不相同的排队问题中，自觉抵制“只看时间”或“只看费率”的单维度思维定势，建立二维乘积比较的认知结构。

（三）调运问题中供需平衡条件的代数转化，以及当变量取值非整数时如何结合题意取整寻优（六年级仅涉及整数解情境）。

【教学关键】——【重要】【策略核心】

以“目标函数—约束条件—可行域—最优解”这一运筹学基本范式为隐性线索，但以儿童可理解的语言（“要什么最少”“哪些东西不能变”“有几种可能”“哪个最好”）进行包装。坚持“先枚举再归纳”的教学路径，防止过早抛出结论性口诀导致思维窄化。

四、教学资源与前置准备

（一）学情诊断

学生在本讲之前已接触过人教版四年级上册“数学广角——优化”中的烙饼问题与沏茶问题，对“同时做几件事”有朴素认知；部分学优生通过课外培优接触过简单的排队问题。主要薄弱点在于：①无法将“总等待时间”自觉转化为“各任务等待时长之和”；②在方案较多时枚举无序，遗漏最优解；③对“为什么短任务优先”仅停留于举例验证，缺乏从乘法分配律角度的代数理解。针对上述情况，本讲在时间统筹环节专门设计了“变费率”的认知冲突以及“总时间表达式”的符号化尝试，为初中代数建模铺设台阶。

（二）教具与学具准备

1.教师端：交互式电子白板，内置动态流程图生成器、调运方案自动计算对比表；磁性卡片若干（用于黑板上拼摆工序流程）；红蓝双色粉笔。

2.学生端（四人小组）：学习任务单（含四个探究问题空白流程图、调运数据记录表）；A4空白流程图卡片4张；记号笔2支；可擦写塑料套及白板笔（用于快速演算）。

3.环境与组织：课桌按“T”型排列，便于组内两两互助及组间走动观摩；黑板左侧1/3为“方案展示区”，右侧2/3为“模型归纳区”，上下边缘保留为“生成性资源捕捉区”。

五、教学实施过程（核心环节，详案呈现）

（一）启动唤醒：从生活经验到数学命题（约4分钟）

1.【一般】锚点问题激活

教师直接呈现四年级经典问题：“烧水沏茶，洗水壶1分钟，接水1分钟，烧水8分钟，洗茶杯2分钟，取茶叶1分钟，沏茶1分钟。怎样安排时间最短？”学生几乎不需思考即可答出“烧水的同时洗茶杯、取茶叶”。教师微笑肯定，继而追问：“为什么我们从来不怀疑这个方案？能不能用数学语言证明它确实最短？”片刻沉默后，有学生尝试说“因为其他事都包含在烧水的8分钟里了”。教师顺势提炼：“把可以并列进行的事情放在一起做——这种思想在数学中叫‘统筹’。但今天的问题，事情不再是一个人做，而是多人、多车、多仓库，不能只靠‘同时做’解决。”板书优化后的课题“规划与统筹”，并明确本课将重点研究三种经典模型：排顺序、调物资、分任务。

2.【重要】呈现核心挑战

课件出示三行大字，每行对应本课一个里程碑问题：

① 三个集装箱卸货，时间不同，怎样排队总等待费最少？

② 两个仓库往两个灾区运粮，运费不同，怎样调运总运费最省？

③ 师徒两人加工组装零件，怎样分工总完工时间最短？

教师语言简洁：“这三个问题，就是今天的三个关口。每闯过一关，我们就获得一条优化法则。”明确目标，激发期待。

（二）第一关：时间统筹——排队顺序的最优决策（约13分钟）

1.【非常重要】【高频考点】问题1：纯时间排队

（1）独立枚举

出示例1：“码头卸货，三个集装箱需卸货时间分别为20分钟、15分钟、10分钟，仅有一台吊机。每等待1分钟产生1元仓储费。怎样安排卸货顺序使总仓储费最少？”学生迅速理解总仓储费即总等待时间×1元。教师要求：不急于说答案，在学习任务单上列出所有可能的顺序，并计算每种顺序的总等待时间。巡视发现：约有1/3学生只试了3～4种顺序就断定“短的在先”，另2/3学生能完整写出3！=6种顺序，但计算总时间时部分学生将“等待时间”算错——例如顺序10、15、20，总等待时间应为10+(10+15)+(10+15+20)=80，而非10+15+20=45。教师记录典型错例。

（2）集体校正与模型初建

邀请一位完整枚举且计算正确的学生上台板演，教师将其方案转化为黑板上直观的时间轴线段图。全班观察发现：无论顺序如何，总等待时间公式均为“第1个时间×3＋第2个时间×2＋第3个时间×1”。教师板书此关系，并引导学生从乘法分配律理解：想让总和最小，就要把最大的时间乘1，最小的时间乘3——即“短时优先”。至此，学生不仅知道结论，更理解了结论背后的代数结构。

（3）【重要】变式1：不同费率排队

课件将仓储费改为：“A箱10分钟，费率3元/分钟；B箱15分钟，费率2元/分钟；C箱20分钟，费率1元/分钟。其他不变。”教师不提示，直接让学生独立求解。约1分钟后，班级出现两种对立意见：甲派坚持按卸货时间（短时优先），顺序A—B—C；乙派认为应把费率高的箱子往前放，顺序A—C—B或A—B—C（仍需计算）。教师组织两派各派代表上台计算两种方案的总费用，结果发现按费率优先（A—C—B）总费用为10×3×3＋20×2×2＋15×1×1？此处故意制造计算混乱，教师引导规范列式：顺序A(10,3)-B(15,2)-C(20,1)：总费=10×3×3+15×2×2+20×1×1=90+60+20=170；顺序A(10,3)-C(20,1)-B(15,2)：总费=10×3×3+20×1×2+15×2×1=90+40+30=160。最优为后者，既不是纯时间优先也不是纯费率优先。学生产生强烈认知冲突。

（4）【难点】模型升级

教师引导观察总费用表达式结构：每个任务对总费用的贡献=该任务时间×该任务费率ד被乘的系数”（取决于它在第几位）。系数固定（3,2,1），因此要使乘积和最小，应将“时间×费率”积最大的任务排在前面（乘最小系数1）。至此，排队问题的完整优化准则得以构建：①若费率相同，按时间从小到大；②若时间相同，按费率从大到小；③均不同时，按时间×费率之积从大到小。学生豁然开朗，教师强调【非常重要】：“这是排队问题的终极算法，适用于所有单队列非抢占式调度。”

2.【热点】问题2：工序并行与关键路径

（1）情境过渡

“排队是只有一台机器，只能挨个做。如果两台机器同时工作，怎么安排？”出示例2：“师傅加工零件8分钟，组装5分钟；徒弟加工12分钟，组装8分钟。加工与组装需在不同工位，两人可同时工作。现需完成2个零件，怎样安排总时间最短？”此问题立即将思维从一维序列拉升到二维并行。

（2）小组实物推演

每组发放两张流程卡片（分别代表师傅、徒弟的时间轴）。学生摆弄发现：若让师傅既加工又组装，会产生等待；若让徒弟只加工、师傅加工+组装，计算后发现总时间仍受限于师傅的工作量。最快小组通过枚举比对，得出最优方案：师傅加工零件1（8分钟）的同时徒弟加工零件2（12分钟）；完成后师傅组装零件1（5分钟），同时徒弟组装零件2（8分钟）。总时间=max(8,12)+max(5,8)=12+8=20分钟。教师追问：“为什么不是8+12+5？因为并行省去了等待。”板书引入“关键路径”概念（不深究定义，只作为形象说法）：总时间由最长的那条任务链决定。

（3）【重要】规律提炼

教师总结：工序统筹的核心是“抓主要矛盾”——尽量让耗时长的工序不闲置，让短工序穿插在长工序的间隙中。这与排队问题的思路恰好互补：排队是“短者优先”，并行是“长者优先”（不让长工序成为瓶颈）。学生初步感受优化策略随约束条件变化而灵活迁移。

（三）第二关：资源统筹——物资调运的最省方案（约15分钟）

1.【非常重要】【高频考点】例3：两仓两地产销平衡问题

（1）真实情境介入

课件播放30秒赈灾物资运输新闻片段，定格于问题：“A仓库80吨，B仓库120吨；甲灾区需100吨，乙灾区需100吨。运费：A→甲10元/吨，A→乙8元/吨；B→甲6元/吨，B→乙12元/吨。怎样调运总运费最省？”教师声明：这不是脑筋急转弯，是有标准解法的一类数学问题，今天我们就当一次物资调度员。

（2）策略退隐与符号化尝试

教师先引导学生明确“调运量”是未知的。设A运给甲x吨，则A给乙(80－x)吨；B给甲(100－x)吨，B给乙[120－(100－x)]=20＋x吨。总运费表达式：W=10x+8(80－x)+6(100－x)+12(20＋x)。学生化简：10x+640－8x+600－6x+240+12x=(10x－8x－6x＋12x)+(640+600+240)=8x+1480。教师引导发现：W随x增大而增大！那么x越小越省。但x能否为0？可以，A不给甲全给乙，B给甲100吨、给乙20吨，供需平衡。此时运费W=8×0+1480=1480元。全班松一口气，以为问题解决。

（3）【难点】制造冲突，修正认知

教师突然追问：“等等，x是A运给甲的吨数。如果x=0，B给甲100吨，B给乙20吨，B的总运出是120吨，正好。那试试x=80呢？”学生计算x=80，A给甲80、给乙0；B给甲20、给乙100；W=8×80+1480=640+1480=2120元，确实更大。多数学生此时坚信x=0最优。教师不急于肯定，再让尝试x=10、20……有学生发现W一直在增加，并无转折。教师提示：“我们是不是漏了什么约束？A仓库只有80吨，B仓库120吨，给甲、乙的货不能是负数。”刚才的代数式自动满足非负。似乎x越小越好，那么x最小是0？但学生很快有人质疑：如果A一点不给甲，所有甲的需求都由B供应，但B运力足够，没问题。至此，似乎本题答案就是1480元。

（4）【重要】范式突破——枚举比较法

教师放慢语速：“同学们，刚才我们用代数式发现了W=8x+1480，因为8是正数，所以x越小越省。这个推理没错，但有一个隐含前提——x可以取任意实数，但在这里，x只能是哪些数？”学生顿悟：x必须是整数，且0≤x≤80，且(100－x)≤120自动成立。教师板书“变量取值范围”，并带领学生在数轴上标出x可取的整点。紧接着，教师提出一个颠覆性问题：“如果我们换个设未知数的方法，比如设A给乙y吨，结果还会是x越小越好吗？”重新设A→乙=y，则A→甲=80－y，B→甲=100－(80－y)=20+y，B→乙=120－(20+y)=100－y。总运费W'=10(80－y)+8y+6(20+y)+12(100－y)=800－10y+8y+120+6y+1200－12y=(－10y+8y+6y－12y)+(800+120+1200)=(－8y)+2120。此时W'随y增大而减小！y最大能取多少？y≤80且y≤100（因为B→乙=100－y≥0），所以y最大80，此时W'=－8×80+2120=2120－640=1480。两种设法得到同一最小值，但一种显示x越小越好，一种显示y越大越好。教师总结：“这说明，调运问题的答案不依赖你设哪个变量，但必须完整枚举所有可行方案才能确定最值。刚才我们用代数式直接说x=0最好，其实已经默认了x可以无限小，但实际x的下限是0。为了保险，我们以后遇到调运问题，先列代数式，再根据取值范围枚举几个关键点（端点），必要时画折线图。”随即在黑板画出以x为横轴、W为纵轴的散点连线图，学生清晰看到W从x=0到x=80直线上升，最小值确在x=0。

（5）【重要】模型命名与步骤固化

师生共同为这类问题命名：“两仓两地调运模型”。解题步骤规范为：①设其中一个变量；②根据供需平衡用含该变量的式子表示其余运量；③写出总费用代数式并化简；④根据仓库储量与灾区需求确定变量取值范围；⑤在取值范围内枚举整点或观察单调性确定最值点。教师特别强调【非常重要】：“枚举不是盲目试数，而是取端点以及可能的极值点。小学阶段通常一次函数，最值就在边界。”

2.【一般】变式与拓展

快速出示一组不平衡数据（如A仓100吨，B仓80吨，甲需120吨，乙需60吨），让学生感受供需不平衡时需虚拟库存或虚拟需求，但仅作思维体操，不深入计算，确保核心模型吸收率。

（四）第三关：综合挑战——多约束统筹决策（约6分钟）

1.【难点】【选拔性考点】巅峰问题

“两人送文件：一分部20分钟，二分部30分钟，三分部40分钟。两人从总部同时出发，电动车每车一次只能带一个分部的文件，送达后空车返回总部（返回时间与去程相同）。客户在分部等待文件送到即完成服务，不等待其他人。问如何安排两人各送哪些分部、按什么顺序，使三名客户的总等待时间之和最短？”此问题同时包含任务分配（谁去送）、顺序决策（先送哪后送哪）、并行作业（两人同时出发），是前两个模型的综合。

2.小组攻坚与可视化支援

学生初次接触往往无从下手。教师提示：“可以先固定谁送哪两个分部，再排顺序；也可以先固定顺序，再分配给人。”并下发空白流程图卡。一组学生通过穷举分配方案发现：若让一人送最近的两个点（20和30），另一人送最远的40，则总等待时间=[20+(20+30)]+[40]？需注意两人独立计时，客户等待时间从出发到文件送达那一刻。经过20分钟测算，最优方案为：甲送一分部（20分钟）后立即返回（20分钟），再去二分部（30分钟），此时二分部客户等待时间为20+20+30=70分钟；乙送三分部（40分钟）后返回（40分钟），结束。三分部客户等待40分钟，一分部客户等待20分钟，总和20+70+40=130分钟。另一组发现对调分配：让技术好的？不，数据对称后最优仍是130分钟。但此时有一组提出颠覆方案：甲送一分部（20）后不返回，直接空车？不行，必须回去拿文件。通过反复调整，最终锁定最优值130分钟。

3.思想升华

教师总结：复杂统筹往往没有单一的口诀，必须回到“枚举—计算—比较”的朴素方法。但枚举要有序——先分大类，再细分小类。这正是运筹学中最朴素也最根本的“穷举法”思想。

（五）收敛整理：知识结构化（约2分钟）

1.核心原则回顾

教师引导，学生填充，形成本讲知识网络：

统筹规划

├─时间统筹

│├─单机排队→短时优先；费率不同时→积优先

│└─并行工序→关键路径，填塞空闲

└─资源统筹

└─两仓两地调运→设变量、列式、定范围、枚举/单调性求最值

2.思想点睛

教师引用华罗庚先生名言：“统筹方法，是一种为生产建设服务的数学方法。”本课所学的烧水、排队、调运，看似简单，却是当年优选法、统筹法在工业、农业中广泛应用的基本单元。数学从来不是纸上的游戏，而是改善真实世界效率的工具。

六、板书逻辑结构（黑板上最终呈现形态）

由于本讲信息密集，板书采用左、中、右三分区滚动生成式设计。

左区（方案展示区）：保留例1的六种顺序时间轴、例2的两种工序流程图、例3的x-W折线图。此区域为学生现场生成资源，体现思维轨迹。

中区（模型归纳区）：自上而下依次书写。

①排队优化：总时间=Σ(时间×位置权)→权大者配时小；若费率不同→比较“时间×费率”。

②工序统筹：寻找最长任务链，尽量使短工序与之并行。

③调运优化：设变、列式、化整、定范围、求最值（端点法）。

右区（词汇与思想）：关键词“目标函数”“约束条件”“可行方案”“最优解”以儿童化语言并列写出；下方以红笔大号字书写本课灵魂句：“没有最好的方法，只有最适合目标的方法。”

七、课后延伸与作业系统

（一）【重要】基础巩固作业

1.必做：学校食堂有三个窗口，平均每份餐制作时间分别为4分钟、6分钟、7分钟，每分