2020年中科大入学笔试内部专属资料附真题及答案

2020年中科大入学笔试内部专属资料附真题及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，则A∪B=（）A.{1,2,3}B.{2,3,4}C.{1,2,3,4}D.{1,3,4}2.函数y=ln(x-1)的定义域是（）A.(1,+∞)B.[1,+∞)C.(-∞,1)D.(-∞,1]3.若向量a=(1,2)，向量b=(3,4)，则a·b=（）A.11B.10C.9D.84.等差数列{an}中，a1=2，d=3，则a5=（）A.14B.13C.12D.115.直线2x-y+3=0的斜率是（）A.2B.-2C.1/2D.-1/26.圆x²+y²=4的半径是（）A.2B.4C.16D.647.函数f(x)=x³的奇偶性是（）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数8.已知sinα=3/5，α是第二象限角，则cosα=（）A.-4/5B.4/5C.-3/5D.3/59.从3个男生和2个女生中选2人参加活动，至少有1个女生的选法有（）A.3种B.6种C.7种D.9种10.不等式x²-3x+2<0的解集是（）A.(1,2)B.(-∞,1)∪(2,+∞)C.[1,2]D.(-∞,1]∪[2,+∞)二、填空题（每题2分，共20分）1.函数y=2x+1的值域是______。2.直线3x+4y-12=0与坐标轴围成的三角形面积是______。3.等比数列{an}中，a1=1，公比q=2，则a5=______。4.已知向量a=(2,3)，向量b=(4,-1)，则a在b方向上的投影是______。5.函数f(x)=log₂(x-1)的定义域是______。6.圆(x-1)²+(y-2)²=9的圆心坐标是______。7.若直线ax+by+c=0与圆x²+y²=1相切，则a²+b²=c²。8.已知sinα=4/5，α是第一象限角，则tanα=______。9.从5个不同的球中选3个球的组合数是______。10.不等式2x+3>5的解集是______。三、判断题（每题2分，共20分）1.空集是任何集合的子集。（）2.函数y=1/x在定义域内是减函数。（）3.向量a=(1,2)与向量b=(2,4)平行。（）4.等差数列{an}中，若a3+a4=a5+a6，则a1+a10=0。（）5.直线2x+3y-6=0的截距式方程是x/3+y/2=1。（）6.圆x²+y²+2x-4y=0的半径是√5。（）7.函数f(x)=x²在(-∞,0)上是增函数。（）8.已知sinα=1/2，则α=30°。（）9.从3个男生和2个女生中选2人参加活动，有10种选法。（）10.不等式x²-4x+4≥0的解集是R。（）四、简答题（每题5分，共20分）1.求函数y=√(x-1)+√(3-x)的定义域。2.已知直线l经过点(2,3)，且斜率为2，求直线l的方程。3.等比数列{an}中，a1=2，a4=16，求公比q和前5项和S5。4.已知向量a=(1,2)，向量b=(3,-4)，求向量a与向量b的夹角。五、讨论题（每题5分，共20分）1.讨论函数y=ax²+bx+c（a≠0）的单调性。2.讨论直线与圆的位置关系。3.讨论等差数列和等比数列的性质。4.讨论不等式的解法。答案：一、单项选择题1.C2.A3.B4.A5.A6.A7.A8.A9.C10.A二、填空题1.R2.63.164.2/55.(1,+∞)6.(1,2)7.相切8.4/39.1010.(1,+∞)三、判断题1.√2.×3.√4.×5.×6.√7.×8.×9.×10.√四、简答题1.要使函数有意义，则x-1≥0且3-x≥0，解得1≤x≤3，所以定义域为[1,3]。2.由点斜式可得直线l的方程为y-3=2(x-2)，即2x-y-1=0。3.由a4=a1q³可得q³=8，q=2，S5=a1(1-q⁵)/(1-q)=2(1-32)/(1-2)=62。4.cos<a,b>=a·b/|a||b|=(1×3+2×(-4))/√(1²+2²)×√(3²+(-4)²)=-5/5√5=-√5/5，所以夹角为135°。五、讨论题1.当a>0时，函数开口向上，对称轴为x=-b/2a，在(-∞,-b/2a)上单调递减，在(-b/2a,+∞)上单调递增；当a<0时，函数开口向下，对称轴为x=-b/2a，在(-∞,-b/2a)上单调递增，在(-b/2a,+∞)上单调递减。2.设圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，直线方程为Ax+By+C=0，圆心到直线的距离d=|Aa+Bb+C|/√(A²+B²)，当d>r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d<r时，直线与圆相交。3.等差数列的性质：若m,n,p,q∈N，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq；等比数列的性质：若m,n,p,q∈N，且m+n=p