《机器人学基础》-第3章

3.1

坐标系的建立方法3.1.1

连杆参数

机器人可以看作由一系列连杆通过关节串联而成的运动链。连杆能保持其两端的关节轴线具有固定的几何关系,连杆特征由ai-1和αi-1两个参数进行描述。如图所示,ai-1

称为连杆长度,表示轴i-1和轴i的公垂线的长度。αi-1称为连杆转角,表示轴i-1和轴i在垂直于ai-1的平面内夹角。3.1

坐标系的建立方法相邻两个连杆i-1和i之间有一个公共的关节轴i,连杆连接由di

和θi

两个参数进行描述。di

称为连杆偏距,表示公垂线ai-1

和公垂线ai

沿公共轴线关节轴i方向的距离。θi称为关节角,表示公垂线ai-1的延长线和公垂线ai

绕公共轴线关节轴i旋转的夹角。当关节为移动关节时,di

为关节变量。当关节为转动关节时,θi为关节变量。

3.1

坐标系的建立方法机器人的连杆均可以用以上四个参数ai-1、αi-1、di

、θi来进行描述。对于一个确定的机器人关节来说,运动时只有关节变量的值发生变化,其他三个连杆参数均为保持不变。用ai-1、αi-1、di

、θi

来描述连杆之间运动关系的规则称为Denavit-Hartenberg参数,简称D-H参数。3.1

坐标系的建立方法3.1.2

连杆坐标系的建立

为了研究机器人连杆之间的位置关系,首先需要在机器人的每个连杆上分别建立一个连杆坐标系,然后描述这些连杆坐标系之间的关系。通常从机器人的固定基座开始对连杆进行编号,固定基座可记为连杆0,第一个可动连杆为连杆1,以此类推,机器人末端的连杆为连杆n。相应地,与连杆n固连的坐标系记为坐标系{N}。3.1

坐标系的建立方法坐标系的建立步骤如下:(1)找出各关节轴,并标出这些轴线的延长线。在下面的步骤(2)至步骤(5)中,仅考虑两个相邻的轴线(关节轴i和i+1)(2)找出关节轴i和i+1之间的公垂线或关节轴i和i+1的交点,以关节轴i和i+1的交点或者公垂线与关节轴i的交点作为连杆坐标系{i}的原点。(3)规定Zi轴沿关节轴i的指向。(4)规定Xi轴沿公垂线从i到i+1,如果关节轴i和i+1相交,则规定Xi轴垂直于关节轴i和i+1所在的平面。(5)按照右手定则确定Yi轴。(6)当第一个关节变量为0时,规定坐标系{0}和坐标系{1}重合。对于坐标系{N},其原点和Xn的方向可以任意选取。但是选取时,通常尽量使连杆参数为0。3.1

坐标系的建立方法按照上述步骤建立的坐标系如图所示,连杆参数可以定义如下:ai-1=沿Xi-1轴,从Zi-1移动到Zi

的距离;αi-1=绕Xi-1轴,从Zi-1旋转到Zi

的角度;di=沿Zi

轴,从Xi-1移动到Xi

的距离;θi=绕Zi

轴,从Xi-1旋转到Xi

的角度。当然,由于Zi

轴和Xi

轴的指向均有两种选择,所以按照上述方法建立的连杆坐标系不是唯一的。3.1

坐标系的建立方法3.1.3相邻连杆之间的齐次变换矩阵

根据坐标系的建立步骤和D-H参数,为了推导机器人坐标系{i}相对于坐标系{i-1}的齐次变换矩阵,可以将坐标系{i-1}到坐标系{i}的变换过程分解为以下步骤:①将坐标系{i-1}绕Xi-1轴旋转αi-1角,使Zi-1轴与Zi

轴平行;②将坐标系{i-1}沿当前Xi-1轴平移距离ai-1,使Zi-1轴与Zi

轴重合;③将坐标系{i-1}绕当前Zi

轴旋转θi

角,使Xi-1轴与Xi

轴平行;④沿Zi

轴平移距离di,使坐标系{i-1}与坐标系{i}完全重合。3.1

坐标系的建立方法每一步变换可以分别写出一个齐次变换矩阵,由于变换是相对于动坐标系的,所以将4个变换矩阵依次右乘可以得到坐标系{i}相对于坐标系{i-1}的齐次变换矩阵:由矩阵连乘可以计算得到的一般表达式:其中，c表示cos，s表示sin3.1

坐标系的建立方法在定义了连杆坐标系和相应的连杆参数后,可以建立机器人的运动学方程。首先根据连杆参数得到各个连杆变换矩阵,再把这些连杆变换矩阵连乘就可以计算出坐标系{N}相对于坐标系{0}的变换矩阵:3.2坐标系建立的特殊情况在建立机器人的运动学方程时需要一个固定坐标系作为参照来描述机器人连杆坐标系的位姿。通常选取与机器人基座固连的坐标系{0}作为参考坐标系。理论上来说坐标系{0}可以任意确定,但为了便于计算,尽量使连杆参数为0,通常设定坐标系{0}与坐标系{1}的初始状态重合。对于机器人最末端的关节n,若关节n为转动关节,则设定θn=0时,Xn

与Xn-1的方向相同,并确定坐标系{N}的原点使dn=0。若关节n为移动关节,则设定Xn

方向使θn=0,并设定当dn=0时,坐标系{N}的原点确定为Xn

轴与关节轴n的交点。3.3典型机器人的正运动举例例3.1如图所示为一个平面3连杆机械臂,由于3个关节均为转动关节,因此该机械臂也称RRR(或3R)机构。在此机构上建立连杆坐标系并写出D-H参数表,计算该机构的运动学方程。3.3典型机器人的正运动举例建立坐标系如图所示。写出D-H参数表:3.3典型机器人的正运动举例根据D-H参数表可以计算出各相邻两坐标系之间的变换矩阵:c1,s1,c123,s123

等分别表示cosθ1,sinθ1,cos(θ1+θ2+θ3),sin(θ1+θ2+θ3)。其他诸如c2,s2

等可同理得之。3.3典型机器人的正运动举例由可计算出该平面3连杆机械臂的正运动学方程为:3.3典型机器人的正运动举例例3.2如图所示为一个包含一个移动关节的RPR型三自由度机器人,其中P表示关节2为一个移动关节。在此机构上建立连杆坐标系并写出D-H参数表,计算该机构的运动学方程。3.3典型机器人的正运动举例作出该机器人的机构简图并建立连杆坐标系。3.3典型机器人的正运动举例写出D-H参数表3.3典型机器人的正运动举例可以计算出各相邻两坐标系之间的齐次变换矩阵:3.3典型机器人的正运动举例由于关节2是移动关节,其关节变量为d2。由

可计算出该机器人的正运动学方程为:3.3典型机器人的正运动举例例3.3如图所示为日本川崎公司制造的RS10N型工业机器人,它具有典型的工业机器人构型,共有6个自由度,其中前3个关节决定机器人末端的位置,后3个关节轴相交于一点,决定机器人末端的姿态。3.3典型机器人的正运动举例机器人的连杆坐标系建立，由于坐标系{6}的原点位于腕部,在实际应用中为了直观地描述机器人末端执行器的位置,通常在机器人末端点处建立一个与坐标系{6}姿态完全相同的工具坐标系,即坐标系{7}。3.3典型机器人的正运动举例机器人的D-H参数表3.3典型机器人的正运动举例由机械臂的坐标系可以计算得到相邻两坐标系之间的变换矩阵,其中3.3典型机器人的正运动举例则可以计算出机械臂末端相对于基坐标系的位姿矩阵为:3.3典型机器人的正运动举例其中：3.3典型机器人的正运动举例依照上述内容,采用美国MathWorks公司出品的Matlab软件,编写了RS10N型六自由度工业机器人正运动学的完整求解实例,利用此程序可以依据工业机器人各关节角求解其末端位姿3.4坐标系的命名为了保证描述的规范性与通用性,规定了专门的“标准”坐标系命名方式。如图所示,机器人末端安装了特定的工具,需要将工具末端移动到指定位置。标注了以下5个坐标系3.4坐标系的命名1.基坐标系{B}基坐标系{B}即为坐标系{0},与机器人的基座固连。2.工作台坐标系{S}工作台坐标系{S}的选取与机器人的任务相关,机器人的运动都是相对它来进行的,也称任务坐标系、世界坐标系或通用坐标系。3.4坐标系的命名3.腕部坐标系{W}腕部坐标系{W}与机械臂的末端连杆固连,其原点位于机械臂的手腕位置。4.工具坐标系{T}工具坐标系{T}与安装在机器人末端的工具固连,通常根据腕部坐标系来确定。5.目标坐标系{G}目标坐标系{G}用来描述机器人运动结束时工具的位置,通常根据工作台坐标系来确定。习题3.1连杆参数包括哪几个参数?分别表示什么含义?3.2连杆坐标系的建立步骤是什么?3.3相邻连杆之间的齐次变换矩阵的一般表达式是什么?3.4下图为三自由度机械臂,其中关节1和关节2相互垂直,试建立该机械臂的连杆坐标系,写出D-H参数,并计算运动学方程。习题3.5下图所示为三自由度机械臂,关节1和关节2相互垂直,