广东江门市广德实验学校等2025-2026学年高三下学期开学考试数学试题（含答案）

高三数学注意事项:1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容:高考全部内容.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知向量a=t+1,−2,b=A.-3B.232.设集合A={x∣x<2},A.2B.3C.4D.53.若∀x∈0,1, A.(−∞,1]B.[1,+∞)4.已知F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点，A.23B.53C.265.某元宇宙平台举办“星际文明探索”虚拟文化节，参与者通过完成“星球解谜”“文明共建”“跨服协作”等任务获得互动积分(单位:分).为筛选“核心探索者”(享受专属虚拟道具与后续活动优先资格)，平台将所有参与者积分的第80百分位数定为核心资格门槛线.活动结束后,平台从10万参与者中随机抽取100人的积分数据,将所得数据按照[40,50),[50A.84分B.85分C.86分D.82分6.已知数列an满足a2=6,A.89B.910C.187.已知函数fx对任意的x∈R，fx+y=A.f−1C.fx为偶函数D.y=8.在高为5的正三棱台ABC−A1B1C1中，AB=2A1B1=43,D,E,F分别为侧棱AA1,BB1，A.323B.283C.31二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.设复数z=1A.z+5−3i=C.3+z为纯虚数D.z10.已知函数fx=2A.当fx的最小正周期为π时，B.当fx在0,πC.当fx在0,πD.当ω=2时,fx在0,11.若mn−m=A.当m>0时,m=lnnB.当0C.当m>0时,n三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.若5sinα=2sin13.已知圆C的半径为5,且圆心C与抛物线Ω:x2=16y的焦点关于Ω的准线对称,直线3x+4y+28=0与14.如图，下列有5个圆，每个圆内的上、下、左、右、中五个方位均有1个数字，现从这5个圆中各选一个方位,并记下该方位圆内的数字,要求所得5个数字来自不同的方位(例)如第1个圆选了左方位上的数字，后面4个圆均不能在左方位上选数字)，且这5个数字之积为0，然后将这5个数字排成一个5位数，则共有_____种情况(在排5位数的过程中，若数字相同，但来自不同的圆，也视为不同的情况).四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在△ABC中，角A,B,C(1)求角A的大小；(2)若a=42，求16.如图，在三棱锥P−ABC中，AB⊥AC,PA=PC=25，AB=AC=4，PB=6，M，N分别是AP,AC的中点，E为(1)证明:M,N(2)证明:平面PAC⊥平面ABC(3)求平面AEF与平面ABC夹角的余弦值.17.学校编程社团组织“代码调试挑战”，成员连续完成两段独立的基础代码调试记为完成一次挑战,且两段代码均调试成功才算一次挑战成功.已知成员M在每次挑战中调试第一段代码成功的概率为13.若第一段代码调试成功,成员M信心提升,则调试第二段代码成功的概率为23;若第一段代码调试未成功,成员M会更谨慎,则调试第二段代码成功的概率为(1)求成员M在一次挑战中调试第二段代码成功的概率.(2)该社团组织规定每个成员每次挑战成功可获100元奖励，每次挑战只调试成功两段代码中的一段可获50元奖励.若成员M进行2次“代码调试挑战”，每次挑战成功与否相互独立，设成员M获得的奖励总金额为随机变量X，求X的数学期望EX18.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0(1)求C的标准方程.(2)过点T−3,0的直线l交C于异于顶点的Ax1,y1，Bx2,y2两点，且x1>0，x2<0(i)证明:点H在定直线上.(ii)证明:∠HTE19.已知函数fx(1)当a=e,t=1时，求曲线y=f(2)当a=67,t=1时,记bn=fn+n(3)当a=e,t=e−k时,函数gx=1.C依题意可知a⋅b=4t2.B由题可得:A={x∣x<2}={3.A由x∈0,1,函数y=95x单调递增,当当x=1时,951=95要使∀x∈0,1,95x≥故选:A4.B由椭圆的定义知2a=MF1+设焦距为2c,由题可知,MF12+MF22=所以椭圆C的离心率为e=5.A此次“核心探索者”的核心资格门槛线约为x,因为样本中积分数据在90,100样本中积分数据在80,100的频率为所以样本数据的第80百分位数在区间[80.90)所以90−x×0.025=6.D依题意,an令n=1,得an所以a=2当n=1时上式也符合,所以an=n所以1a7.DB:令x=y=0,则f0=f0+f0+2×0×0−8,所以f0=8,故BC:令y=−x,则f0=f所以fx+f−x=2x2+16,显然D:令gx=fx=f所以y=fx−x28.C因为AB=2A1B1=43,则S△可知GG1为正三棱台ABC−A1则三棱台ABC−A1B1取BC的中点N,过点G与BC平行的直线与AB交于点M,以G为坐标原点，GA,GM,GG1则A4可得AB=因为D,E,F分别为侧棱D可得AE=设平面ABF的法向量为n1=x1,令x1=1,则y1=设平面BCD的法向量为n2=x2,令x2=1,则y2=设平面ACE的法向量为n3=x3,令x3=1,则y3=−设Ox0,y0由题意可得:AO⋅n1=x即O0,0,1,则三棱锥O所以三棱台ABC−A1B1C1与三棱锥9.ACz=因为z+5−3i=2−2iz的虚部为1,所以B错误;因为3+z=3+−z在复平面内对应的点为−3,1,位于第二象限,所以故选:AC.10.BCD易知函数fA,当fx的最小正周期为π时,可知2π2ω=π,解得ω=1B,当x∈0,π若fx在0,π上单调,则需满足π3<2ωπ+π3≤C,结合B中分析可知当fx在0,π上恰有两个零点时,需满足2π<2ωπ+π3D,当ω=2时可知fx=sin4x+π3,若x∈0,π4,则4x+π3∈π3,4π311.ACD对A:由m>0且n≠1,则mn−令fx=ex−f令gx=exx则当x>0时,g′x>0,当故gx在0,+∞上单调递增,在−∞,则x≠0时,即f′x>0恒成立,故fx令hx=ex−则当x>0时,h′x>0,当故hx在0,+∞上单调递增,在−∞,则当x≠0时,hx>h则当x∈0,+∞时,fx=ex−1由m>0,则fm>1,又fm=fln又因为fx在0,+∞上单调递增,故m=lnn对B:若m=0,则故当0<n<1时，m可为对C:由A知,当m>0时,m=lnn则n2令μx则μ′故μx在1,+∞上单调递增,即有即n2+2m+3>对D:要使得m−n+12即m−n+1±假设m>0,由A知,m=lnn则只需使得lnn令φxφ′x=1x−1=1−又φ1故存在x∈1,e,使得即∃n∈0,1∪1,+∞,使得12.3由5sinα=2sinα+π313.6由抛物线Ω:x2=16y,可得焦点坐标0,易知点0,4关于y=−4所以圆C的方程为x2圆心0,−12到直线3x+4y+所以PQ14.2304因为这5个数字之积为0,并排成一个5位数,所以第4个圆的上方位被选，则左方位有C41种选择,右方位有C31种选择,下方位有C21且0不能在万位上,先排万位有C41种,剩下的有所以共有C4115.(1)A(2)8(1)因为sin2由正弦定理可得b2由余弦定理可得b2+c2−a2=2bc又因为A∈0,π(2)因为A=π3,a=即b2+c2−又因为b2+c2≥2bc,即当且仅当b=c所以△ABC面积的最大值为116.(1)因为M,N分别是AP,AC因为E为BP上靠近点B的四等分点，F为BC上靠近点B的四等分点，所以EF//PC,所以MN//EF,所以(2)因为PA=25,AB=4,PB因为AB⊥AC,PA∩AC=A,PA,AC⊂因为AB⊂平面ABC,所以平面PAC⊥平面(3)连接PN.因为PA=PC，所以PN则由(2)得平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABCPN⊂平面PAC,所以PN⊥平面以A为坐标原点,以AB,AC所在直线分别为x以过点A且平行于PN的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A0设平面AEF的法向量为n=x,y令y=6,则易得m=0,0,1设平面ABC与平面AEF的夹角为θ,则cosθ所以平面ABC与平面AEF夹角的余弦值为3717.1(2)800(1)设事件A为“第一段代码调试成功”，事件B为“第二段代码调试成功”，已知PA=13，则则PB即PB(2)挑战成功(两段都成功)的概率P1第一段成功、第二段失败PA第一段失败、第二段成功PA所以只成功一段的概率P2两段都失败的概率P3设一次挑战的奖励为X1,则E因为两次挑战相互独立,所以EX18.(1)因为双曲线上的点与坐标原点O之间距离的最小值为2,所以a=因为点P22,t在C所以222+t2=13,解得将点P坐标代入双曲线可得8a2−5所以C的标准方程为x2(2)(i)证明:由题意，设直线AB的方程为x=my联立x=my−3x2则y1又D−2,0,所以lAD联立y=y1x1则2y所以x=所以点H在定直线x=−4(ii)证明:设H−43,h所以cos∠HTEcos∠因为H−43,h在直线l因为y1,y2为5m则y1>y2则1y所以h=所以5m=则cos∠BTH所以cos∠HTE=cos∠BTH19.(1)依题意,fx所以f0所以曲线y=fx在x=0(2)由题意可知a=67,t所以S==100