中考数学一轮复习学案：4.2 三角形 （学生版）

【名师导航】2025年中考数学一轮复习学案（全国版）第四章三角形及四边形4.2三角形考点分布考查频率命题趋势考点1三角形的相关概念☆☆数学中考中，有关本专题的部分，每年考查1~3道题,分值为3~9分，通常以选择题、填空题、解答题的形式考查。在考查其他知识点的综合试题里一定用到本专题知识。考点2三角形中的重要线段☆☆☆考点3等腰三角形以及等边三角形☆☆考点4直角三角形勾股定理及其应用☆☆☆考点5直角三角形的性质及计算☆☆☆☆☆☆代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。定理：定理：勾股定理及应用勾股定理及应用应用:主要用于计算勾股定理应用:主要用于计算勾股定理直角三角形的判别方法:（直角三角形的判别方法:（勾股定理的逆定理）若三角形的三边满足则它是一个直角三角形.夯实基础夯实基础考点1.三角形的相关概念1.三角形的概念：由____________的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。2.三角形的分类（1）按____分类：三角形三边都不相等的三角形（2）按_____分类：三角形直角三角形3.三角形三边的关系：三角形任意两边的和______第三边，任意两边的差______第三边。4.三角形的稳定性:三角形三条边的长度确定之后，三角形的形状就唯一确定了.5.三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有_____个内角，且每个内角均大于0°且小于180°。6.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于_______。推论：直角三角形的两个锐角______。7.三角形的内角和定理的应用：（1)在三角形中,已知两个内角的度数,可以求出第三个内角的度数；（2)在三角形中,已知三个内角的比例关系,可以求出三个内角的度数；（3)在直角三角形中,已知一个锐角的度数,可以求出另一个锐角的度数.8.三角形的外角概念：三角形的一边与另一边的_______组成的角，叫做三角形的外角。9.三角形的外角和定理：三角形的外角和等于______．10.三角形的外角的性质：（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的_____；（2）三角形的一个外角______任何一个和它不相邻的内角．考点2.三角形中的重要线段1.三角形的高：从三角形的一个顶点向底边作垂线，____与顶点之间的线段叫做三角形的高。2.三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的______叫做三角形的角平分线。

3.三角形的中线：三角形一边的中点与此边所对______的连线叫做三角形的中线。（1）三角形的中线会把原三角形面积______。（2）一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形_____两边的差。【易错点提示】对三角形三条重要线段的深入理解（1）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段。

（2）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点。考点3.等腰三角形和等边三角形1.等腰三角形（1）等腰三角形的定义：有两条边_____的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．（2）等腰三角形的性质：①等腰三角形的两个_____相等．②等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相_____．（3）等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角______，那么这两个角所对的边也______（简写成“等角对等边”）．（4）等腰三角形的面积公式其中a是底边长，h是底边上的高，S是面积2.等边三角形（1）等边三角形定义：_____条边都相等的三角形，叫做等边三角形.（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于_____.（3）等边三角形的判定：①三条边都_____的三角形是等边三角形；②三个角都_____的三角形是等边三角形；③有一个角为_____的等腰三角形是等边三角形.（4）等边三角形的面积公式其中a是等边三角形的边长，h是任意边上的高，S是面积。3.线段垂直平分线的性质与判定（1）线段的垂直平分线定义：经过线段____并且_____于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。（2）线段垂直平分线的做法求作线段AB的垂直平分线.作法：1）分别以点A，B为圆心，以大于AB/2的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；说明：作弧时的半径必须大于AB/2的长，否则就不能得到两弧的交点了．2）作直线CD，CD即为所求直线．说明：线段的垂直平分线的实质是一条直线.（3）线段垂直平分线的性质：1）线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离______.2）线段的垂直平分线逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的__________.说明：线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件．考点4.直角三角形勾股定理及其应用1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和______斜边的平方.如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么.2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长，满足_______，那么这个三角形是直角三角形.3.勾股数：像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个_____，称为勾股数。【易错点提示】(1)由定义可知，一组数是勾股数必须满足两个条件：①满足a2＋b2＝c2；②都是正整数．两者缺一不可．(2)将一组勾股数同时扩大或缩小相同的倍数所得的数仍满足a2＋b2＝c2(但不一定是勾股数)，以它们为边长的三角形是直角三角形，比如以0.3cm,0.4cm,0.5cm为边长的三角形是直角三角形．考点5.直角三角形的性质及计算1.直角三角形的性质性质1.直角三角形两锐角之和等于______。性质2.直角三角形斜边上的____等于斜边的一半。性质3.直角三角形中，30°角所对的直角边等于_____的一半。2.直角三角形的判定（1）有一个角为_____的三角形是直角三角形。（2）有两个角的和是_____的三角形是直角三角形。（3）一边上的中线等于这条边的_____的三角形是直角三角形。（4）如果三角形的三边长分别为a,b,c若满足_______，那么这个三角形为直角三角形。3.直角三角形面积公式其中a、b是两条直角边的长，c是斜边长，h是斜边上的高，S是直角三角形面积。4.直角三角形相关计算（1）勾股定理可以直接解决直角三角形中已知两边求第三边的问题；如果只知一边和另两边的关系时，也可用勾股定理求出未知边，这时往往要列出方程求解；（2）用于解决带有平方关系的证明问题；（3）与勾股定理有关的面积计算；（4）勾股定理在实际生活中的应用。考点1.三角形的相关概念【例题1】（2024陕西省）如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（）A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【变式练1】（2024长沙一模）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．1，3，4 B．2，2，7 C．4，5，7 D．3，3，6【变式练2】（2024湖南娄底一模）若一个三角形的两边长分别为2cm，7cm，则它的第三边的长可能是（）A．2cm B．3cm C．6cm D．9cm【变式练3】（2024黑龙江大庆一模）将一副三角尺按如图所示的位置摆放，其中O，E，F在直线l上，点B恰好落在DE边上，∠1＝20°，∠A＝45°，∠AOB＝∠DEF＝90°．则∠ABE的度数为（）A．60° B．65° C．70° D．75°考点2.三角形中的重要线段【例题2】（2024四川南充）如图，在中，，平分交于点D，点E为边上一点，则线段长度的最小值为（）A. B. C.2 D.3【变式练1】（2024哈尔滨一模）如图，嘉琪任意剪了一张钝角三角形纸片（∠A是钝角），他打算用折叠的方法折出∠C的角平分线、A．AB边上的中线和高线 B．∠C的角平分线和ABC．∠C的角平分线和AB边上的中线 D．∠C的角平分线、【变式练2】（2024天津一模）如图，△ABC中，∠1=∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB上一点，且CF⊥AD于点H①BG是△ABD的边AD②AD既是△ABC的角平分线，也是△③CH既是△ACD的边AD上的高，也是△ACH的边A．0 B．1 C．2 D．3考点3.等腰三角形以及等边三角形【例题3】（2024福建省）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（）A. B.C. D.【变式练1】（2024辽宁沈阳一模）已知等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个三角形的周长是（）A．22 B．19 C．17 D．17或22【变式练2】（2024山西一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，E为BA延长线上一点，且ED⊥BC交AC于点F．（1）求证：△AEF是等腰三角形；（2）若AB＝13，EF＝12，F为AC中点，求BC的长．【变式练3】（2024上海一模）如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC．若AD＝4，则△ADE的周长为．【变式练4】（2024河北唐山一模）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则∠O的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．75°【变式练5】（2024吉林一模）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若△ABC的周长是20，AB=4，AC=7，则△

A．4 B．7 C．9 D．11【变式练6】（2024南京一模）如图，ΔABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F

考点4.直角三角形勾股定理及其应用【例题4】（2024吉林省）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点C，尺，尺．设的长度为x尺，可列方程为______．【变式练1】（2024陕西一模）如图，在中，，是边的中线，若，，则的长度为________．【变式练2】（2024武汉一模）在△ABC中，D为BC边上的点，AB＝13，AD＝12，CD＝9，AC＝15，求BD的长．【变式练3】（2024上海一模）如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？考点5.直角三角形的性质及计算【例题5】（2024广州）如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（）A.18 B. C.9 D.【变式练1】（2024湖北荆州一模）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AB的长为10km，则M，C两点间的距离为（）A．3km B．4km C．5km D．6km【变式练2】（2024贵州黔西南一模）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝，则BD的长度为________．【变式练3】（2024苏州一模）如图，在Rt△ABC中∠ACT=90°，CD是斜边AB上的中线，AC=4，CD=3。求直角边BC的长考点1.三角形的相关概念1.（2024黑龙江齐齐哈尔）将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是（）A. B. C. D.2.（2024四川德阳）如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中，，则等于（）A. B. C. D.3.（2024江苏连云港）如图，直线，直线，，则__________．4.（2024四川达州）如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则______度．考点2.三角形中的重要线段1.（2024四川凉山）如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是______．2.（2024河北省）如图，的面积为，为边上的中线，点，，，是线段的五等分点，点，，是线段的四等分点，点是线段的中点．（1）的面积为______；（2）的面积为______．考点3.等腰三角形以及等边三角形1.（2024内蒙古赤峰）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（）A.或 B.或 C. D.2.（2024云南省）已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（）A. B.2 C.3 D.3.（2024安徽省）如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（）A. B. C. D.4.（2024重庆市B）如图，在中，，，平分交于点．若，则的长度为________．5.（2024湖南省）一个等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是________度．6.（2024四川遂宁）在等边三边上分别取点，使得，连结三点得到，易得，设，则如图①当时，如图②当时，如图③当时，……直接写出，当时，______．7.（2024湖北省）为等边三角形，分别延长，到点，使，连接，，连接并延长交于点．若，则______，______．8.（2024江苏常州）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，相交于点G，，，．（1）求证：是等腰三角形；（2）连接，则与l的位置关系是________．考点4.直角三角形勾股定理及其应用1.（2024四川德阳）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形．，点是边上一点，则满足的点的个数为（）A.3 B.2 C.1 D.02.（2024江苏盐城）如图，在中，，，点是的中点，连接，将绕点旋转，得到．连接，当时，________．3.（2024四川乐山）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）（1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度；（2）如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方，两次位置的高度差．根据上述条件能否求出秋千绳索的长度？如果能，请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由．考点5.直角三角形的性质及计算1.（2024四川南充）如图，在矩形中，为边上一点，，将沿折叠得，连接，，若平分，，则的长为_____．

2.（2024江苏连云港）如图，在中，，，．点P在边上，过点P作，垂足为D，过点D作，垂足为F．连接，取的中点E．在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为__________．3.（2024四川成都市）如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则______．4.（2024黑龙江龙东）如图，菱形中，点是的中点，，垂足为，交于点，，，则的长为（）

A. B. C. D.5.（2024山东枣庄）一副三角板分别记作和，其中，，，．作于点，于点，如图1．（1）求证：；（2）在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点与点重合记为，点与点重合，将图2中的绕按顺时针方向旋转后，延长交直线于点．①当时，如图3，求证：四边形为正方形；②当时，写出线段，，的数量关系，并证明；当时，直接写出线段，，的数量关系．考点1.三角形的相关概念1．已知在△ABC中，AB＝4，BC＝7，则边AC的长可能是（）A．2 B．3 C．4 D．112.如图，E为△ABC边CA边上一点，过点E作ED∥AB．若∠ABC＝110°，∠CED＝150°，则∠C＝°．考点2.三角形中的重要线段1.在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，则∠BAC是度．2．如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（）A．AB＝2BF B．∠ACE＝∠ACB C．AE＝BED．CD⊥BE3.如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为25cm，AB比AC长6cm，则△ACD的周长为（）A．19cm B．22cm C．25cm D．31cm考点3.等腰三角形以及等边三角形1．已知等腰△ABC中，∠A＝50°，则∠B的度数为（）A．50° B．65° C．50°或65° D．50°或80°或65°2．如图，在等边△ABC的底边BC边上任取一点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，作DF∥AB交AC于点F，DE＝5cm，DF＝3cm，则△ABC的周长为cm．3．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝45°，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，则∠DAE＝．4．如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则∠EBC＝．5.如图，在△ABC中，AC=4，BC边上的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，若△AEC的周长是11，则直线DE

A．28 B．18 C．10 D．76．如图，在△ABC中，BD、AE分别是AC、BC边上的高，它们相交于点F，且AF＝BC．求证：△ABD是等腰三角形．6．如图，已知△ABC中，∠ABC＝∠ACB，以点B为圆心，BC长为半径的弧分别交AC，AB于点D，E，连接BD，ED．（1）写出图中所有的等腰三角形；（2）若∠AED＝114°，求∠ABD和∠ACB的度数．考点4.直角三角形勾股定理及其应用1．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记