8.4 乘法公式（原卷版）

8.4乘法公式（六大题型提分练）题型一利用乘法公式计算（Ⅰ）利用平方差公式计算1．平方差公式(a+b)(a-bA．数或单个字母 B．单项式 C．多项式 D．单项式或多项式2．下列算式能用平方差公式计算的是（）A．5(3a+b)(3C．(x-y3．为了运用平方差公式计算(a-bA．[(a+cC．[(b+c4．在横线上填入适当的整式：-r-25．a2+4×□是一个平方差的形式，则“□”里可以填(6．若x2+9(x+3)(7．计算：(1)x-(2)0.1-x(3)x+(4)2+3a8．老王把一块边长为am的正方形土地租给了老李，今年老王对老李说“我把这块地一边减少4m，另一边增加4m（Ⅱ）利用完全平方公式计算1．下列计算中，正确的是（

）A．-x-yC．-3x+2．某同学在利用完全平方公式进行整式乘法计算时，不小心将墨水滴在了结果上，那么结果“4a2a+9”中被墨水遮住的部分可能是（A．6 B．±6 C．12 D．±123．若m，n是实数，则m+n2A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数4．已知多项式4x4+15．阅读理解：如果a-1a=1，我们可以先将等式两边同时平方得到a-1a2=1，再根据完全平方公式计算得：a2-2a6．计算：(1)(x(2)(x(3)(3m7．小明说：“对于大于0的任意整数n，代数式2n+12-28．课本原题：当k取何值时，100x2-kxy+49y2是一个完全平方式？解决此类问题的关键是熟练掌握完全平方公式：a±b2=a(1)请尝试用语言叙述完全平方公式的结构特征：；(2)若x2+2m-3x+49若x2-8x+n(n为常数)(3)已知2x-a2题型二利用乘法公式进行简便计算1．用完全平方公式计算79.82的值，下列变形最恰当的是（

A．(79+0.8)2 B．(80-0.2)2 C．(100-20.2)22．已知M=20182，N=2017×2019，则A．M>N B．M<N C3．计算2-12+122A．235+2 B．264+1 C．4．利用完全平方公式a±b2=a1962=1962=5．运算：10012-6．明明写了两个算式：a=2024×2025+1，b=20242-2024×2025+20252，请你帮他判断a和b的大小：ab．（填7．由(m+n)(m-8．利用乘法公式计算：(1)1012(2)20252(3)19.92题型三利用乘法公式求值1．已知x+y=5,x-A．10 B．-10 C．7 D．2．已知x-y2=20，x+A．95 B．190 C．210 D．3803．若a2+b2+1A．3 B．6 C．±3 D．±64．阅读理解：如果a-1a=1，我们可以先将等式两边同时平方得到a-1a2=1，再根据完全平方公式计算得：a2-2aA．8 B．6 C．4 D．25．若M=x2+y2+6A．2014 B．2016 C．2018 D．20206．已知x2+y2=13，xy7．若20242-4202328．已知40-xx-309．先化简，再求值：a+ba-b10．先化简，再求值，已知x2+2x11．已知x、y，满足(x+y)2＝25，xy＝4．(1)求x2+y2的值；(2)若m＝(x﹣y)2时，4a2+na+m是完全平方式，求n的值．12．王老师安排喜欢探究问题的小明解决某个问题前，先让小明看了一个有解答过程的例题．例：若m2+2mn+2n解：∵∴∴∴m+n=0，n-聪明的小明理解了例题解决问题的方法，很快解决了下面两个问题．相信你也能很好的解决下面的这两个问题，请写出你的解题过程．(1)若m2-2(2)若x2-4xy+513．我们已学完全平方公式：a2x2∵(x+2)-x∵-(x-并完成下列问题：(1)代数式x2-4x+1有最(2)解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栏围成一个长方形花圃，为了设计一个尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为x米，完成下列任务．①用含x的式子表示花圃的面积；②请说明当x取何值时，花圃的最大面积是多少平方米？14．通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线对折后用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图(1)图2中阴影部分的正方形的边长是；(2)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：方法1：；方法2：；(3)观察图2，请你写出a+b2，a-b(4)如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，若AB=9，两正方形的面积S题型四乘法公式的几何背景及应用1．如图，把一张长方形纸片沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②所示的图形，由此可以验证的等式是（

）A．a+baC．(a+b2．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图①，我们可以得到两数和的完全平方公式：(a+b)2A．(a-2C．(a-b3．如图，现有甲，乙，丙三种不同的纸片．贝贝要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，她先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，则她还需取丙纸片的块数为（

）

A．1 B．2 C．4 D．84．如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，若AB=8，两正方形的面积和S1+A．6 B．8 C．10 D．125．从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为____．6．如图，有A类卡片3张、B类卡片4张和C类卡片5张，从其中取出若干张，每种卡片至少取一张，把取出的这些卡片拼成一个正方形（所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部分），所拼成的正方形的边为．7．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图①，将A，B并列放置后构造新的正方形得图②．若图①和图②中阴影部分的面积分别为4和18，则图②所示的大正方形的面积为．8．根据整式与整式相乘，可以得到等式：x+y+z2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz．试利用这个等式解决以下问题：如图，△ABC中，∠C=90°，分别以AC9．如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图

(1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于多少？(2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．方法1:方法2:(3)观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：(m+n)2，((4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=7，ab=5，则10．（一）动手探究：对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．（1）如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是______；（2）如图2所示的大正方形，是由四个三边长分别为a、b、c的全等的直角三角形（a、b为直角边）和一个正方形拼成，试通过两种不同的方法计算中间正方形的面积，求证：c2（二）知识应用：利用（1）（2）的结论，如果直角三角形两直角边满足a+b=17，ab

题型五乘法公式的实际应用1．为了美化校园环境，学校将正方形花坛的一组对边各增加3m，另一组对边各减少3m，则所得长方形花坛的面积与原来相比（

）A．减少了9m2 B．增加了9m22．如图，要用木板为一幅正方形油画装裱边框，其中油画的边长为4dm，边框每条边的宽度为aA．16adm2 BC．4a2dm23．图1为某校八（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m，n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分S1，S2分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若m+n=6，4．在一个艺术工作室中，设计师正在进行一幅拼图作品的创作．他使用了大小不同的正方形纸片来构建图案．如图，其中有一个大正方形和一个小正方形，当把它们组合在一起时，设计师发现大正方形与小正方形的面积之差是12，那么阴影部分的面积是．5．如图，学校计划在一块长方形土地中间修建一座雕像，雕像底部是边长为x+(1)计算出草坪（图中阴影部分）的面积；(2)当x=10,6．如图，某小区有一块长为4a米a>1，宽为4a-2米的长方形地块．该长方形地块正中间是一个长为2(1)用含a的代数式表示采用A型绿化方案的四个正方形的边长是_____米，采用B型绿化方案的长方形的另一边长是______米；(2)已知采用B型绿化方案比A型绿化方案的面积大，求B型绿化方案比A型绿化方案的面积大了多少平方米？题型六运用乘法公式找规律1．如图，用相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形……拼一拼，想一想，按照这样的方法拼成的第n个正方形比第n-1个正方形多几个小正方形?（A．n B．2n C．n+1 D2．3+132+1A．5 B．1 C．2 D．43．观察下列各个式子的规律：第1个等式：152第2个等式：252第3个等式：352第4个等式：452=……第202个等式：20252=4．我们已经学习了整式乘法，可以计算以下的式子：a+a+a+a+a+…你能发现以上等式右边的各项系数的规律吗？以上节选的是教材第11章的阅读材料《贾宪三角》的部分内容．我们除了发现等式右边各项系数有规律之外，右边各项的次数也存在着规律．(1)请根据发现的规律尝试直接写出a+b5的计算结果：ai）它的计算结果是一个______次______项式；（分别用含n的式子填写）ii）它的计算结果各项系数之和为：______（用幂的形式表示）1．给出下列式子：①3a②2a③3x④xy-其中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．42．下列各式是完全平方式的是（）A．a2+abC．x2+2xy3．如图①，从边长为a的大正方形的四个角中挖去四个边长为b的小正方形后，将剩余的部分剪拼成一个长方形，如图②．通过计算阴影部分的面积可以得到（

）A．(a-2C．(a-24．如图，将图①中的阴影部分拼成图②，根据两个图形中阴影部分的面积关系，可以验证的数学公式是（

）A．a+baC．a+b25．现有甲，乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为______．（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片9块，还需取丙纸片______块．（）A．a2+b2和6 B．a2+b2和5 C．6．用4张长为a、宽为ba>b的长方形纸片按如图所示的方式拼成一个边长为a+b的正方形，图中阴影部分的面积为A，大正方形的面积为B．若a=2bA．2A=3B B．3A=2B7．由ma+b+c=maA．a+1a2C．a+3a28．已知a2+3a-3=0A．3 B．3 C．15 D．99．不论a，b为何实数，a2+b2A．总是正数 B．总是负数C．可以是零 D．可以是正数也可以是负数10．如果正整数x、y、z满足x2+y2+A．72 B．78 C．82 D．9311．14x+y212．已知a-b-c13．若x2+4y2=x+214．我们定义abcd=ad-bc，例如2345=2×5-3×4=10-12=-215．计算40492-4×2024×202516．观察下列等式：(x-1)(x+1)=x2根据上述规律，计算3+3217．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如3=22-12，7=42-32，16=52-18．两个边长分别为a和b(a>b)的正方形按图1所示的方式放置，其未叠合的部分（阴影部分）面积为S1，若如图2所示，再在图1中边长为a大正方形的左下角摆放一个边长为bb>1219．计算：(1)x+2(2)(x(3)2a(4)(2x20．已知a+b2=7，a-21．对于任意自然数n，多项式nn+5-22．先化简，再求值：a-b2+a+b23．从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．(1)上述操作能验证的等式是_______________（请选择正确的一个）A．a2+ab=aa+b，(2)若36x2-(3)计算：1-124．对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到(a(1)类似的，写出图2中所表示的数学等式为______；(2)如图3，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的数学等式为______；(3)利用上面（2）的结论解决问题：若x+y=7,(4)利用此方法也可以求出一些不规则图形的面积．如图4，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、 G三点在同一直线上，连接BD和BF25．【知识技能】已知：a+b2填空：（1）①a2