17.2 一元二次方程的解法（题型专练）（原卷版）

17.2一元二次方程的解法题型一直接开平方法1．方程x2=2A．2 B．-2 C．±2 D．2．一元二次方程x+22=4A．x1=x2=0 B．x1=0，x2=4 C3．一元二次方程x+32=94．方程x-125．解方程：16．解方程：2x7．解方程：3题型二配方法1．用配方法解方程x2-4A．x+22=9 B．x+22=12．用配方法解方程x2-4A．2 B．-2 C．4 D．3．一元二次方程x2-4x+3=0配方为xA．7 B．1 C．5 D．-4．一元二次方程x2-2x5．用配方法解方程：2x解：整理，得_____，移项，得_____，二次项系数化为1，得_____，配方，得_____，即（_____）2=_____开方，得_____，x1=_____，x6．用配方法解方程：(1)x2+4x=2；(3)4x2-8题型三公式法1．用公式法解一元二次方程3x2-2x+3=0时，首先要确定a、A．a=3，b=2，c=3 B．a=-3C．a=3，b=2，c=-3 D．a=32．用公式法解一元二次方程x2-4A．8 B．12 C．16 D．243．用公式法解关于x的一元二次方程，得x=-5±A．2x2+5C．2x2+54．一元二次方程2x2-3x=1，用求根公式5．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，其根为6．小海在用公式法解方程2x解方程2解：∵a=2,∴b2∴原方程无实数根（第三步）小海的解答过程从第__________步开始出错的，其错误的原因是__________；7．用公式法解方程：(1)x2(2)x2(3)3x题型四因式分解法1.方程xx+1=0A．0 B．-1 C．0，-1 D．02．一元二次方程x2=-9xA．0 B．9 C．0或-9 D．0或3．解方程x2-100A．直接开平方法 B．公式法 C．配方法 D．因式分解法4．方程5x2-5．方程(x-1)(6．用因式分解解下列一元二次方程：(1)x2+2x-题型一根据a（x+m）2=n求参数的值或取值范围1．若关于x的方程x-42=mA．m≥0 B．m>-3 C．m≥32．若关于x的一元二次方程x-m2-1=A．-1 B．-2 C．-33．如果关于x的方程(x-3)2=2-A．k≥3 B．k<3 C．k>24．若关于x的一元二次方程mx2+n=0的一个根为1A．2 B．4 C．2或4 D．-2或5．若关于x的一元二次方程x+52=m-题型二新定义下一元二次方程的解法1．在实数范围内定义运算“⊕”为a⊕b=a2A．x1=x2=1 B．x12．新定义：a⊗b=a2-b3．对于符号“∇”，我们作如下规定：a∇b=a2+b2+1，如4．定义一种新运算：acbd=ad-bc，例如：-5．定义：若x1，x2是方程ax2+bx+c=0a≠0的两个整数根，且满足x1-x2(1)下列方程是“差1方程”的是______；（填序号）①14-x2=0

②(2)若方程x2-m+1x+m=0是题型三利用配方法求解代数式的值1．将一元二次方程x2+8x-5=0化成x+a2=b（A．4，21 B．4，11 C．4，-11 D．4，2．用配方法将方程x2+6x-2022=0A．2028 B．-2028 C．2024 D．3．不论a为何实数，多项式a2A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定4．已知a,b满足a2A．-6 B．-1 C．2 D5．将一元二次方程x2-4x-5=06．若3x2+y27．已知代数式A=2x2(1)当x为何值时，代数式A的值比B的值大2；(2)求证：对于任意x的值，代数式A的值恒大于B的值．题型四配方法与最值问题1．若3a+b=30，则A．-75 B．75 C．-150 D2．把整式2x2-4x+7表示成A．5 B．2.5 C．7 D．3.53．已知x，y为实数，且满足x2-xy+4y2=4，设u=xA．85 B．8 C．485 D4．若W=2x2-4xy+3y25．代数式-2x2+46．阅读材料：形如a2（一）用配方法分解因式：a2解：a====(=(a（二）用配方法求代数式a2解：a==∵(∴a∴a2+4a即a2+4a请仿照以上例子解答下列问题：(1)若代数式x2-8x+(2)用配方法分解因式：a2(3)用配方法求代数式a2题型五利用配方法求解新定义问题中的最值或参数的值1．关于x的一元二次方程的新定义：若关于x的一元二次方程：a1(x-m)2+n=0与a2(x-m)2+n=0，称为“同族二次方程”．如2(x-A．2026 B．2023 C．2028 D．20252．新定义：关于x的一元二次方程a1x-m2+k=0与a2x-m2+k=0称为“同族二次方程”如2x-32+4=0A．2021 B．2022 C．2023 D．20243．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根是1，那么我们称这个方程为“和美方程”．已知关于x的一元二次方程7x4．新定义：关于x的一元二次方程a1(x-c)2+k=0与a2(x-c)2+k=0称为“同族二次方程”．例如：5(x5．关于x的一元二次方程新定义：若关于x的一元二次方程：a1(x-m)2+n=0与a2(x-m)2+n=0，称为“同族二次方程”．如2(A．2020 B．2021 C．2022 D．20236．对于实数p，q，我们用符号minp,q表示p，q两数中较小的数，如min1,2=1，因此，min-27．对于有理数a，b，定义mina,b：当a≥b时，mina,b=b；当题型六配方法在几何问题中的应用1．已知a，b，c是不等边△ABC的三边长，满足a2＋b2＝6a＋8b－25，则最长边c的范围（

）A．1＜c＜7 B．4≤c＜7 C．4＜c＜7 D．1＜c≤42．已知a、b、c是△ABC的三边且满足a2+b2A．60 B．30 C．65 D．32.53．已知三角形三边长为a、b、c，且满足a2-4b=7，b2A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．无法确定4．如图，一块直径为a+b的圆形钢板，从中挖去直径分别为a和b的两个圆，当a+

A．4π B．8π C．10π5．阅读材料并解决问题：材料一：把形如ax例如：当x取何值时，代数式x2x=∵∴∴当x=-1时，代数式x2+2根据上面的材料请解决下面问题：如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成．(1)请用含x的代数式表示矩形鸡场的面积；(2)当x为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？6．配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求代数式的最值等，所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题．例：求代数式-x解：原式=-x∵x-22≥0∴-x-22-3≤-3【问题解决】(1)若m，k，h满足2m2-(2)求代数式x2(3)若等腰△ABC的三边长a，b，c均为整数，且满足a2+27．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：求二次三项式x2解：x2∵(∴即x2+2x+3的最小值是2．试利用(1)已知y=x2(2)比较代数式3x2-(3)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，点P在边AC上以2cm/s的速度从点A向点C移动，点Q在边CB上以1cm/s的速度从点C向点B移动．若点题型七整体换元法1．若a2-3a2A．-1或3 B．1或-3 C．-12．若实数a、b满足(a2+b2)(a2A．-5 B．-2或5 C．2 D．-5或-23．若a2+b24．已知方程x2+2x-3=0的根是x15．解方程：(3x6．解方程：x7．【阅读材料】方程x2-12-5x解方程①可得y1当y=1时，x当y=4时，x∴原方程的解为x1【解决问题】(1)在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到___________的目的（填“降次”或“消元”），体现了数学的转化思想．(2)请仿照材料的方法，解下列方程：x8．阅读下列材料：已知实数m、n满足m2解：设m则原方程可化为(y+1)(y解得y=±8∵m∴m上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题：(1)已知实数x、y满足2x(2)解方程x2(3)若四个连续正整数的积为120，请求出这四个连续的正整数．1．观察下列方程：，变形为：，其解为或；，变形为：，其解为或；，变形为：，其解为或；…，根据以上阅读，若为正整数，关于的方程的较小解是，则的值是（

） B． C．或 D．或2．我们可以利用二次根式性质准确解出形如的方程，方法如下：由题意，可知，得原方程变形为：∴∴或（舍去）∴小杰同学将二次根式的性质进一步探究后发现：．已知，参考上述方法，可求得．3．配方法是数学中重要的一种思想方法，能帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题，我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为．再如：，（，是整数），所以也是“完美数”．例如，把二次三项式进行配方，可求其最值．解：当时，的最小值为2．请通过阅读以上材料，解决以下问题：（1）下列各数中，“完美数”有________（只填序号）；①11；

②34；

③60．（2）若可配方成（，为正整数），则的值为________；（3）已知实数x，y满足，求代数式的最小值．4．阅读一元二次方程的新解法，思考并完成相应的任务．一元二次方程的新解法对于任意的一元二次方程，都可以用配方法将原方程转化为（，为常数）的形式，当时，两边开平方即可求出原方程的解．下面我们讨论一种新解法——消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式．【特例分析】以课本37页例题为例，设（为常数），则原方程化为．①整理，得．②为使方程②不含的一次项，令，解得：．则所以，方程②化为．解，得，．所以，，．【类比推广】按这种思路，可以求解任意一元二次