第6章 一次方程组（13大压轴题型）（解析版）-华东师大版(2024)七下

第6章一次方程组（13大压轴题型）【经典例题一二元一次方程的定义】1．（2024七年级上·全国·专题练习）若是关于的二元一次方程，则（）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】本题考查二元一次方程，根据二元一次方程的定义，得到且，进行求解即可．【详解】解：由题意得：且，解得．故选C．2．（23-24七年级下·广东珠海·期末）把方程改写成用含y的式子表示x的形式，则．【答案】/【分析】本题主要考查了解二元一次方程，将y看作已知数、x看作未知数成为解题的关键．将x看作未知数，y看作已知数，求出x即可．【详解】解：由，解得：．故答案为：．3．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知方程是关于，的二元一次方程，求，的值．【答案】，【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，熟练掌握系数不等于且次数等于的知识点是解题关键．根据二元一次方程的定义可得、项的系数不等于且次数等于从而得到关于、的不等式及方程，然后求解即可．【详解】解：由题意，得，解得或，又，，，的值分别为，．【经典例题二二元一次方程的解】4．（2022·黑龙江鸡西·一模）新冠状病毒传染性非常强，多是通过飞沫，接触，还有气溶胶传播。所以一定要做好个人防护，尽量少外出，更不要聚集，佩戴医用外科口罩是非常有效的个人防护。为了个人防护，小红用40元钱买了A，B两种型号的医用外科口罩（两种型号都买），A型每包6元，B型每包4元，在40元全部用尽的情况下，有几种购买方案（

）A．2种 B．3种 C．4种 D．5种【答案】B【分析】解：小红用40元钱买了A型号口罩x包，B两种型号的医用外科口罩y包，根据小红用40元钱买了A，B两种型号的医用外科口罩（两种型号都买）列出二元一次方程，根据A，B两种型号的医用外科口罩都买得到x的取值范围，从而求出二元一次方程的正整数解即可．【详解】解：小红用40元钱买了A型号口罩x包，B两种型号的医用外科口罩y包，由题意可得：，解得，，A，B两种型号的医用外科口罩都买，，所有购买方案为，，，有3种购买方案，故选B．【点睛】本题主要考查了二元一次方程的正整数解，根据题目中的等量关系列出方程是解题的关键．5．（24-25八年级上·重庆·期末）我们规定：如果一个四位自然数A，满足千位数字与个位数字之和为6，百位数字与十位数字之和也为6，则称A为“六六数”，则最大的“六六数”为．若A、B均为“六六数”，其中，，（，b，，，d，，且a，b，c，d，x，y均为整数），将A的前三位数字组成的三位数记为m，A的后三位数字组成的三位数记为n，若除以17余9，将A的前两位数字组成的两位数记为s，将B的后两位数字组成的两位数记为t，若（k为整数），则满足条件的B的最大值为．【答案】66005151【分析】本题主要考查整式的加减的应用，二元一次方程等知识点，对于第一空，要找到最大的“六六数”,根据“六六数”的定义，千位数字尽量大，个位数字相应确定，百位数字也尽量大，十位数字相应确定，对于第二空，根据“六六数”的定义确定、中各数字的关系，再根据所给的余数条件和等式条件逐步分析求解即可．【详解】∵根据“六六数”定义,要使这个数最大，千位数字要尽可能大，千位数字与个位数字之和为，∴千位数字最大为,此时个位数字为，∵百位数字与十位数字之和为，百位数字最大为，此时十位数字为，∴最大的“六六数”为，∵是“六六数”,设，,,，，又,，除以余，设（为整数),，，，∴需要能被整除，，，，可取119，136，153，170，187，204，221，238，255，272，289，306，323，340，357，374，391，408，425，442，459，476，493，510，527，544，561，578，可取107，124，141，158，175，192，209，226，243，260，277，294，311，328，345，362，379，396，413，430，447，464，481，498，515，532，549，566，∵这些数能被48整除的数只有192，，是“六六数”,，，，，（为整数)，，，，，即，可取64，81，100，121，144，169，225，当时，则，此时无符合题意的整数解，当时，不是偶数的平方，不符合题意，当时，则，则符合题意，当时，不是偶数的平方，不符合题意，当时，则，则符合题意，当时，不是偶数的平方，不符合题意，当时，不是偶数的平方，不符合题意，在满足所有条件的情况下，要使最大，则尽量大，尽量小，∴当时，x=1,符合题意，∴的最大值为，故答案为：①②．6．（23-24七年级上·重庆渝北·期末）若一个三位数m，百位数字是a，十位数字比百位数字大1，个位数字比十位数字大1．另有一个三位数n，百位数字为b，十位数字比百位数字小2，个位数字比十位数字小2．若（，且a、b为整数）(1)当时，则，；(2)若p能被11整除，求的值．【答案】(1)；(2)630或408或186或【分析】本题主要考查了二元一次方程的解：（1）先根据题意求出，，则，进而得到，再由，，可得，则；（2）由（1）得，再由p能被11整除，得到能被11整除，进而求出或或或，再由进行求解即可．【详解】（1）解：解：由题意得，，，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，故答案为：；；（2）解：由（1）得，∵p能被11整除，∴能被11整除，∴能被11整除，∵，，∴或或或，∵，∴当时，；当时，；当时，；当时，；综上所述，的值为630或408或186或．【经典例题三代入消元法】7．（22-23七年级上·安徽阜阳·期末）若方程组的解是，则方程组的解是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】先将化简为，然后用“整体代换”法，求出方程组的解即可；【详解】解：，，设，，方程组的解是，方程组的解为，，解得：．故选C．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，弄清阅读材料中的“整体代入”方法是解本题的关键．8．（22-23七年级下·广西河池·阶段练习）对于实数a，b，定义运算“◆”和“*”：，例如4◆3，因为，所以，，为常数，若，，则．【答案】【分析】根据新定义法则得出，求出的值，再根据新定义运算法则，计算即可得出答案．【详解】解：，，，，解得：，，，故答案为：．【点睛】本题考查了新定义运算，解二元一次方程组，解本题的关键在理解新定义运算法则．9．（21-22七年级下·河北秦皇岛·期中）解方程组：(1)

(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）运用代入消元法求解即可.（2）把原方程组去分母整理成，再运用加减消元法求解即可.【详解】（1）由①得把③式代入②式得把代入③式得∴原方程组的解是（2）将原方程组去分母整理得

得得得把代入①式得∴原方程组的解是【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组.熟练掌握代入消元法和加减消元法的解题步骤并且正确的计算是解题的关键.【经典例题四加减消元法】10．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知，，要想求出的值（即与无关），则与必须满足什么数量关系（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了加减消元法解方程组，根据加减消元法分别表示出，进而求得，结合题意，即可求解．【详解】解：∵①，②，得，即得，，即∴当时，即故选：A．11．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知关于x，y的方程组给出下列结论：正确的有．（填序号）①当时，方程组的解也是的解；②无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数；③x，y都为正整数的解有3对【答案】①②【分析】①将a=1代入方程组的解，求出方程组的解，即可做出判断；②将a看做已知数求出方程组的解表示出x与y，即可做出判断；③将a看做已知数求出方程组的解表示出x与y，即可判断正整数解；【详解】解关于x，y的方程组得①当时，原方程组的解是，此时是的解，故①正确；②原方程组的解是，∴，即无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数，故②正确；③x，y都为正整数，则，解得，正整数解分别是当时，故只有两组，故③错误；故答案为①②【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．12．（23-24七年级下·湖南·期中）在解方程组时，甲由于粗心看错了方程组中的，求得方程组的解为；乙看错了方程组中的，求得方程组的解为；甲把看成了什么？乙把看成了什么？求出原方程组的正确解．【答案】甲把看成了，乙把看成了，原方程组的正确解为．【分析】本题考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，把代入方程可得的错误值，把代入方程可得的错误值，再把代入方程可得的正确值，把代入方程可得的正确值，即可得到方程组，再解方程组即可求出正确解，理解题意是解题的关键．【详解】解：把代入方程得，，∴，∴甲把看成了；把代入方程得，，∴，∴乙把看成了；把代入方程得，，∴，把代入方程得，，∴，∴方程组为，得，，∴，把代入得，，∴，∴原方程组的正确解为．【经典例题五二元一次方程组的特殊解法】13．（23-24七年级下·浙江台州·期末）有五张写有数字的卡片，分别记为①，②，③，④，⑤，将它们按如图所示放置在桌上．下表记录了相邻两张卡片上的数的和．卡片编号①②②③③④④⑤①⑤两数的和则写有最大数卡片的编号是(

)A．② B．③ C．④ D．⑤【答案】A【分析】本题考查了等式的性质，由题意得关于①②③④⑤的方程，利用等式的性质求出它们的值，最后根据题意得结论．【详解】解：①②，②③，③④，④⑤，①⑤，，得③①，，得⑤③．，得⑤①．，得⑤，，得①．⑤，①．把⑤①的值代入、、(3)、得②，③，④．故选：A．14．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）已知关于x，y的方程组的解是，则与方程组有关的的值为．【答案】【分析】由整体换元思想可得，求出，，然后代入求值即可．【详解】∵关于x，y的方程组的解是，∴方程组的解满足关系式，解得：，∴x′-2y′=8-2×12=8-24=-16．故答案为：-16．【点睛】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系是解题的关键．15．（21-22七年级下·福建泉州·阶段练习）数学方法：解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．(1)直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为：．(2)知识迁移：请用这种方法解方程组．(3)拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求关于x，y的方程组的解．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）设，，即可得，解方程组即可求解；（2）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解；（3）设，，则原方程组可化为，，根据的解为，可得，即有，则问题得解．【详解】（1）设，，则原方程组可化为，∵的解为，∴，解得，故答案为：；（2）设，，则原方程组可化为，解得，即有，解得，即：方程组的解为；（3）设，，则原方程组可化为，化简，得，∵关于x，y的二元一次方程组的解为，∴，即有，解得：，故方程组的解为：．【点睛】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键．【经典例题六二元一次方程组的错解复原问题】16．（22-23七年级下·全国·单元测试）在解方程组时，甲同学正确解得乙同学把看错了，而得到那么，，的值为（）A．，， B．，，C．，， D．不能确定【答案】B【详解】解：由甲同学的解正确，可知3c+2×7=8，解得且①，由于乙看错c，所以②，解由①②构成的方程组可得：故选B．17．（2025七年级下·全国·专题练习）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得到的解为乙看错了方程组中的，得到的解为，则．【答案】7【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解复原问题，根据题意可得满足方程，满足方程，据此求出a、b的值，再解原方程求出x、y的值即可．【详解】解：把代入，解得，把代入，解得，∴原方程组为解得，∴，故答案为：7．18．（24-25七年级下·全国·单元测试）甲、乙两名同学在解方程组时，甲由于看错了m，解得乙解题时看错了n，解得请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解.【答案】【分析】本题主要考查二元一次方程组的错解问题，熟练掌握解二元一次方程组是解题的关键．将错解分别代入未看错的方程中得到新的方程组，得到的值，即可求出原方程组的正确解．【详解】解：由题意可知是的解，于是可得，解得，同理可得，故原方程组为，由①，得③，把③代入②，得，解得，将代入③，得，故原方程组的解为．【经典例题七三元一次方程组的定义及解】19．（23-24七年级下·全国·单元测试）关于的方程组的解是，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了三元一次方程组的解，代数式求值，把代入方程求出的值，再把的值代入代数式计算即可求解，掌握三元一次方程组解的定义是解题的关键．【详解】解：把代入得，，∴，∴，故选：．20．（22-23七年级下·天津和平·期末）在等式中，当时，；当，；当时，，则a=，b=，c=．【答案】3－2－5【分析】由“当时，；当时，；当时，”即可得出关于、、的三元一次方程组，解方程组即可得出结论．【详解】解：根据题意，得，②①，得④；③①，得⑤．④与⑤组成二元一次方程组，解这个方程组，得，把代入①，得．因此，故答案为为3，，．【点睛】本题考查了解三元一次方程组，解题的关键是由点的坐标得出关于、、的三元一次方程组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．21．（23-24六年级下·上海杨浦·期末）求方程的非负整数解的个数．【答案】非负整数解个数有个．【分析】本题考查了三元一次不定方程的解，先确定、、的值，再分类讨论即可，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：当时，，分别取．则取，共组，当时，，分别取则取共组，依次类推：共有：，答：非负整数解个数有．【经典例题八三元一次方程组的应用】22．（2025七年级下·全国·专题练习）若是整数，是正整数，且满足，则的最大值是（

）A． B． C．0 D．1【答案】B【详解】联立方程解得其最小值为1，所以的最大值是．23．（24-25七年级上·全国·期末）某生鲜店推出了A、B、C三类蔬菜包以方便居家生活的市民购买，A、B、C三类蔬菜包内均由萝卜、白菜、洋葱三种蔬菜搭配而成，每袋蔬菜包的成本也均为萝卜、白菜、洋葱三种蔬菜成本之和．每袋A蔬菜包有5公斤萝卜、4公斤白菜、6公斤洋葱；每袋C蔬菜包有7公斤萝卜、2公斤白菜、3公斤洋葱．已知每袋A的成本是该袋中萝卜成本的3倍，利润率为，每袋B的成本是其售价的，每袋C的利润是每袋A利润的．若该生鲜店1月2日当天销售A、B、C三种蔬菜包袋数之比为，则当天该生鲜店销售A、B、C三种蔬菜包的总利润与总成本的比值为．【答案】【分析】本题考查三元一次方程组的应用，弄清题意，通过所给的条件，理顺各量之间的关系，列出方程是解题的关键．设萝卜、白菜、洋葱的成本分别为x元、y元、z元，根据题意可求A的成本为（元），利润为（元），C的利润为（元），成本为（元），设B的成本为m元，利润为W元，由题意可得，则，再求出1月2日的总利润为：元，总成本为：元，则可由求解．【详解】解：设萝卜、白菜、洋葱的成本分别为x元、y元、z元，∵每袋A的成本是该袋中萝卜成本的3倍，∴，∴，∴A的成本为（元），利润为（元），∵每袋C的利润是每袋A利润的，∴C的利润为（元），成本为（元），设B的成本为m元，利润为W元，∵每袋B的成本是其售价的，∴，∴，∵1月2日当天销售A、B、C三种蔬菜包袋数之比为，∴1月2日的总利润为：元，总成本为：元，∴．故答案为：.24．（22-23九年级下·江苏宿迁·自主招生）期中考试结束后，某班级准备花346元钱购买钢尺、钢笔、笔记本三种文具奖励成绩优秀的同学．已知钢尺每把5元，钢笔每支7元，笔记本每本10元，且购买的钢笔数量是笔记本数量的2倍，若使购买的文具总数最多，则这三种文具的购买数量各为多少？【答案】若使购买的奖品总数最多，应购买钢尺50把，钢笔8支，笔记本4本【分析】本题主要考查了三元一次不定方程，根据题意得出x，y，z的取值范围是解题关键．设购买钢尺x把，钢笔y支，笔记本z本，根据题意结合奖品的价格得出，，再利用共花费346元，分别得出x，y，z的取值范围，进而得出z的取值范围，分别分析得出所有的可能．【详解】解：设购买钢尺x把，钢笔y支，笔记本z本，则有，，，，，∴，即．∵x，y，z均为正整数，，∴∴z只能取14，9和4，①当z为14时，，，则；②当z为9时，，，则；③当z为4时，，，则．综上所述，若使购买的奖品总数最多，应购买钢尺50把，钢笔8支，笔记本4本．【经典例题九方案问题(二元一次方程组的应用)】25．（2023七年级下·全国·专题练习）购买甲、乙两种笔记本共用70元．若甲种笔记本单价为5元，乙种笔记本单价为15元，且甲种笔记本数量是乙种笔记本数量的整数倍，则购笔记本的方案有（

）A．2种 B．3种 C．4种 D．5种【答案】A【分析】设购买甲种笔记本x个，则乙种笔记本y个，利用购甲、乙两种笔记本共用70元得到x=14-3y，利用=–3为整数可判断y=1，2，7，14，然后求出对应x的值从而得到购笔记本的方案．【详解】设购买甲种笔记本x个，购买乙种笔记本y个，根据题意得5x+15y=70，则x=14–3y，因为为整数，而=–3，所以y=1，2，7，14，当y=1时，x=11；当y=2时，x=4；y=7和y=14舍去，所以购笔记本的方案有2种．故选A．【点睛】本题考查了二元一次方程的解，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系，特别是确定甲种笔记本数量和乙种笔记本数量关系，然后利用整除性确定方案．26．（22-23八年级下·重庆渝中·阶段练习）疫情之后，为尽快恢复实体经济，某地政府通过专项奖励、税费减免等举措，支持商家开展主题促销，发放消费券等活动来促进消费市场恢复．某票务平台经营飞跃丛林，观光巴士，海洋乐园，马戏城四种游玩票务．一张飞跃丛林票的成本价是一张观光巴士票的2倍，一张海洋乐园票和一张马戏城票的成本之和是一张飞跃丛林票成本价的3倍，一张海洋乐园票成本价和一张马戏城票之差是一张飞跃丛林票的2倍．商家得到支持，响应号召，降低利润之后推出A，B，C三种套餐．A套餐中有观光巴士票若干（数量在10到20张之间），1张飞跃丛林票，3张海洋乐园票，4张马戏城票．B套餐中有5张观光巴士票，2张飞跃丛林票，4张海洋乐园票，6张马戏城票．C套餐中有4张观光巴士票，3张飞跃丛林票，4张海洋乐园票，2张马戏城票．每种套餐的成本等于四种票的成本之和．每个A套餐的利润率为，C套餐利润率为，B套餐的利润率为A和C套餐利润率的平均数．一公司决定从该平台购买套票为92名员工发福利．该公司购买A套餐20份，最终票务平台获得的总利润率为单个B套餐的利润率．因员工需求，该公司需更多购买B套餐，则该公司购买C套餐个．【答案】17【分析】设出四种票务的单价，根据题意得出它们的关系，再求出各个套餐的利润，根据最终票务平台获得的总利润率为单个B套餐的利润率列出方程，求整数解即可．【详解】解：设飞跃丛林，观光巴士，海洋乐园，马戏城四种游玩票务成本价分别为a、b、c、d，设A套餐中有观光巴士票m张，购买C套餐n个，由题意得，，解得，；则A套餐的成本为，利润为；则B套餐的成本为，利润为；则C套餐的成本为，利润为；由题意得，，化简得，，公司需更多购买B套餐，A套餐中有观光巴士票数量在10到20张之间，当，符合题意，此时，故答案为：17．【点睛】本题考查了二元一次方程组及二元一次方程整数解问题，解题关键是设出未知数，根据题目中的数量关系列出方程．27．（24-25七年级上·陕西西安·期末）图中是一把学生椅，主要由靠背、座板及铁架组成，经测量，该款学生椅的座板尺寸为，靠背由两块相同的靠背板组成，其尺寸均为．因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，故只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座板，如下图，该型号板材长为，宽为．（裁切时不计损耗）【任务一】拟定裁切方案（1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，则可裁切靠背板______块．（2）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材同时裁切出靠背板和座板，请你设计出所有符合要求的裁切方案：方案一：裁切靠背板______块和座板______块．方案二：裁切靠背板______块和座板______块．方案三：裁切靠背板______块和座板______块．【任务二】确定搭配数量（3）现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有10块靠背板，没有座板，请问还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？为方便加工，需在上述裁切方案中选定两种，并说出你选定的两种裁切方案分别需要多少块板材．【答案】（1）30；（2）23，2；16，4；9，6；（3）需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块或需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块．【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出二元一次方程和二元一次方程组．任务一：（1）画出图形，即可求解；（2）一张该板材先靠上裁切靠背6块，再设一张该板材裁切靠背板块，座板块，可得：，求出正整数解即可；任务二：分三种情况讨论，设用张板材裁切靠背16块和座板4块，用张板材裁切靠背9块和座板6块，可得二元一次方程组，解方程组可得答案；或设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背9块和座板6块；或设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背16块和座板4块，同样的方法求解即可．【详解】解：任务一：（1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，如图，则可裁切靠背板块．故答案为：30；（2）一张该板材先靠上裁切靠背6块，如图，余下的，设一张该板材裁切靠背板块，座板块，根据题意得：，，，为正整数，或或，方案一：裁切靠背板23块和座板2块．方案二：裁切靠背板16块和座板4块．方案三：裁切靠背板9块和座板6块；故答案为：23，2；16，4；9，6；任务二：设用张板材裁切靠背16块和座板4块，用张板材裁切靠背9块和座板6块，根据题意得：，解得：，张，需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块．设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背9块和座板6块，根据题意得：，解得：，张，需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块．设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背16块和座板4块，根据题意得：，解得：(不合题意，舍去)，综上，需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块或需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块．【经典例题十分配问题(二元一次方程组的应用)】28．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）某单位采购小李去商店买笔记本和笔，他先选定了笔记本和笔的种类，若买25本笔记本和30支笔，则他身上的钱缺30元；若买15本笔记本和40支笔，则他身上的钱多出30元．（

）A．若他买55本笔记本，则会缺少120元 B．若他买55支笔，则会缺少120元C．若他买55本笔记本，则会多出120元 D．若他买55支笔，则会多出120元【答案】D【分析】设笔记本的单价为x元，笔的单价为y元，根据小李身上的总额列出方程，然后变形即可求解．【详解】设笔记本的单价为x元，笔的单价为y元，根据题意得：25x+30y-30=15x+40y+30整理得：10x-10y=60，即x-y=6∴，即买55个笔记本缺少210元，即买55支笔多出120元故选D．【点睛】本题考查了二元一次方程组，根据题意列出等量关系然后进行推导是本题的关键．29．（21-22七年级下·重庆潼南·期末）某采摘园计划拿出一笔固定的资金分两天购进甲、乙、丙三种水果树苗，且购买甲、乙、丙三种树苗的总价之比为3:4:6．第一天，采购员用于购买甲、乙、丙三种树苗的资金之比为2:3:1，第二天，采购员将用余下的资金继续购买这三种树苗，经预算需将余下资金的购买甲树苗，则采购员还需购买的乙、丙树苗的资金之比为．【答案】5:11【分析】设总资金为m，第一天，采购员用于购买甲、乙、丙三种树苗的资金分别为2x、3x、x，根据题意列出方程进行解答即可．【详解】解：设总资金为m，第一天，采购员用于购买甲、乙、丙三种树苗的资金分别为2x、3x、x，则余下的资金为m﹣2x﹣3x﹣x，∵第二天，采购员将用余下的资金继续购买这三种树苗，经预算需将余下资金的购买甲树苗，∴（m﹣2x﹣3x﹣x）+2x＝m，化简得：m＝26x，∴购买乙、丙树苗的总金额为：m＝×26x＝20x，∴采购员还需购买的乙、丙树苗的资金之比为（26x×﹣3x）：（26x×﹣x）＝5：11．故采购员还需购买的乙、丙树苗的资金之比为5：11．故答案为：5：11．【点睛】本题考查应用类问题，多元方程问题，关键是根据题意列出多个方程进行解答即可．30．（21-22七年级下·浙江金华·期末）某运输公司现有190吨防疫物资需要运往外地，拟安排A、B两种货车将全部货物一次运完（两种货车均满载），已知A、B两种货车近期的三次运输记录，如下表：A货车（辆）B货车（辆）防疫物资（吨）第一次128360第二次1812▄第三次54160(1)表格中被污渍盖住的数是______．(2)请问A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资多少吨？(3)请你通过计算说明所有可行的运输方案．【答案】(1)540(2)A货车每辆每次可以运货20吨，B货车每辆每次可以运货15吨(3)①A货车2辆，B货车10辆；②A货车5辆，B货车6辆；③A货车8辆，B货车2辆【分析】（1）设A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资x吨、y吨，则根据题意列出方程组，求解即可；（2）根据（1）知，运送防疫物资A种货车每辆每次20吨，B种货车每辆每次15吨；（3）设A、B两种货车各需要m辆、n辆，根据题意得到20m+15n=190，当m=2时，n=10；当m=5时，n=6；当m=8时，n=2．共三种运输方案．【详解】（1）设A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资x吨、y吨，则根据题意，得，解得，（吨）；故答案为：540；（2）由（1）知，A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资20吨、15吨；（3）设A、B两种货车各需要m辆、n辆，则20m+15n=190,∴，①当m=2时，n=10；②当m=5时，n=6；③当m=8时，n=2．∴①A货车2辆，B货车10辆；②A货车5辆，B货车6辆；③A货车8辆，B货车2辆，共三种可行的运输方案．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，解决问题的关键是熟练掌握每种车运输总吨数与每车每次运输吨数和车数的关系，列方程组，列方程解答．【经典例题十一和差倍分问题(二元一次方程组的应用)】31．（2023七年级·全国·竞赛）A和B同学每人都有若干本课外读物．A对B说：“你若给我2本书，我的书数将是你的n倍”；B对A说：“你若给我n本书，我的书数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（

）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】首先设A同学有x本课外读物，B同学有y本课外读物，x，y均为非负整数，根据题意可得方程组：，消去x，可整理得：，由n为正整数分析，即可求得结果．【详解】解：设A同学有x本课外读物，B同学有y本课外读物，x，y均为非负整数，由题意可得方程组：，将代入②中得，消去x得：即：∵为正整数∴的值分别为1，3，5，15，∴y的值只能为4，5，6，11，∴当时，，当时，，当时，，当时，，综上可得：n的值分别为8，3，2，1；即n的可能值有4个．故答案选：B．【点睛】本题考查了二元一次不定方程的运用，难度较大，解题关键是理解题意，根据题意求方程组，注意消元思想和分类讨论思想的运用．32．（21-22八年级下·重庆·开学考试）为迎接北京冬奥会，在、两个社区共设置六个摊点售卖冬奥纪念品，其中第一、二、三号摊点在社区，第四、五、六号摊点在社区，每个摊点原有纪念品一样多．第一、二、三、四号摊点每天新运来相等数量的纪念品，第五号摊点每天新运来的纪念品数量是前四个摊点每天新增总量的，第六号摊点每天新运来的纪念品数量是前四个摊点每天新增总量的．第3天结束营业时，第四、五号摊点的纪念品恰好售完并撤走摊点；第4天结束营业时，第一、二、三、六号摊点的所有纪念品均售完并撤走．若第四号和第六号摊点平均每天售出的纪念品数量相等，则、两社区售出纪念品的总数量之比为．【答案】/【分析】设原来每个摊位有个纪念品，第一、二、三、四号摊点每天新运来个的纪念品则第五号摊点每天增加个，第六号摊点每天增加个，根据若第四号和第六号摊点平均每天售出的纪念品数量相等列出二元一次方程，进而求得、两社区售出纪念品的总数量之比．【详解】解：设原来每个摊位有个纪念品，第一、二、三、四号摊点每天新运来个的纪念品，则第五号摊点每天增加个，第六号摊点每天增加个，第四号摊点平均每天销量为，第六号摊点平均每天销量为，，化简得，社区售出纪念品的总数量为（个）社区售出纪念品的总数量为（个）则、两社区售出纪念品的总数量之比为故答案为：6：5【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，分式的约分等，根据题意列出方程是解题的关键．33．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期末）某停车场的收费标准如下：小型汽车10元/辆，中型汽车15元/辆，现停车场共有50辆中、小型汽车，共缴纳停车费560元，中、小型汽车各有多少辆？【答案】小型车有38辆，中型车有12辆【分析】设小型车有x辆，中型车有y辆，根据“小型汽车10元/辆，中型汽车15元/辆，现停车场共有50辆中、小型汽车，共缴纳停车费560元”，列出关于x和y的二元一次方程组，解之即可．【详解】解：设小型车有x辆，中型车有y辆，根据题意得：，解得：，答：小型车有38辆，中型车有12辆．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．【经典例题十二几何问题(二元一次方程组的应用)】34．（23-24七年级下·浙江湖州·期中）现有如图（1）的小长方形纸片若干块，已知小长方形的长为a，宽为b．用3个如图（2）的全等图形和8个如图（1）的小长方形，拼成如图（3）的大长方形，若大长方形的宽为30cm，则图（3）中阴影部分面积与整个图形的面积之比为()A． B． C． D．【答案】B【分析】观察图③可知3个小长方形的宽与1个小长方形的长的和等于大长方形的宽，小长方形的4个长等于小长方形的3个长与3个宽的和，可列出关于a，b的方程组，解方程组得出a，b的值；利用a，b的值分别求得阴影部分面积与整个图形的面积，即可求得影部分面积与整个图形的面积之比．【详解】解：根据题意、结合图形可得：，解得：，∴阴影部分面积，整个图形的面积，∴阴影部分面积与整个图形的面积之比，故选B．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意并利用大长方形的长与宽和小长方形的关系建立二元一次方程组是解题的关键．35．（22-23七年级下·浙江温州·期中）如图，长方形被分成若干个正方形，已知，则长方形的另一边.【答案】【分析】可以设最小的正方形的边长为x，第二小的正方形的边长为y，根据已知AB=CD=32cm，可得到两个关于x、y的方程，求方程组即可得解，然后求长方形另一边AD的长即可．【详解】设最小的正方形的边长为x，第二小的正方形的边长为y，将各个正方形的边长都用x和y表示出来（如图），根据AB=CD=32cm，可得：解得：x=cm，y=cm．长方形的另一边AD=3y-x+y=4y-x=cm．故答案为【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用和正方形的性质，解题的关键是读懂图意根据矩形的性质列出方程组并求解．36．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期中）某学校劳技课需制作如图所示的竖式与横式两种无盖纸盒（单位）．情境内容图形情境1学校仓库内现存有的正方形纸板20张，的长方形纸板40张，用库存纸板制作两种无盖纸盒．情境2库存纸板已用完，学校后勤部门重新采购了如图规格的纸板，甲纸板尺寸为，乙纸板尺寸为，丙纸板尺寸为．采购甲纸板有80张，乙纸板有40张，丙纸板有30张．纸板裁剪后可制作两种无盖纸盒．情境3某次采购订单中，甲种纸板的采购数量为500张，乙种300张，因采购单被墨水污染，导致丙种纸板的具体数字已经模糊不清，只知道百位和十位数字分别为2和4．根据以上信息，解决以下问题（裁剪损耗忽略不计）：(1)情境1，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完？(2)情境2，问能否通过做适当数量的竖式和横式无盖纸盒，使得纸板的使用率为（即三种纸板刚好全部用完，没有余料）？请通过计算说明理由．(3)情境3，若本次采购的纸板裁剪做成竖式和横式无盖纸盒，并使得纸板的使用率为，请你能帮助工厂确定丙纸板的张数．【答案】(1)做4个竖式无盖纸盒，8个横式无盖纸盒，恰好将库存纸板用完(2)能，理由见解析(3)丙纸板的张数为张或张【分析】（1）设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，根据题意列出方程组进行求解即可；（2）由题意可知：一张的纸板可以裁剪成两张的纸板，一张的纸板可以裁剪成一张的纸板和一张的纸板，一张的纸板可以裁剪成两张的纸板，设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，列出方程组进行求解即可；（3）设丙种纸板的具体数字为，竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，根据题意，列出方程组，根据纸板的使用率为，进行求解即可．【详解】（1）解：设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，由图可知，制作一个竖式无盖纸盒需要的纸板4张，的纸板1张，制作一个横式无盖纸盒需要的纸板3张，的纸板2张，由题意得：，解得：，答：做4个竖式无盖纸盒，8个横式无盖纸盒，恰好将库存纸板用完；（2）解：能，理由如下，∵一张的纸板可以裁剪成两张的纸板，一张的纸板可以裁剪成一张的纸板和一张的纸板，一张的纸板可以裁剪成两张的纸板，∴三种纸板共可裁剪成的纸板的数量为张，的纸板的数量为：张；设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，由题意得：，解得：，∴当竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个时，纸板的使用率为；（3）解：设丙种纸板的具体数字为，竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，由题意得：，解得：，∵纸板的使用率为，∴、均为整数，∵为中的数字，∴或，∴或，∴丙纸板的张数为张或张．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意、正确的识图、找准等量关系列出方程组是解题的关键．【经典例题十三其他问题(二元一次方程组的应用)】37．（22-23七年级下·福建漳州·期中）某学校为了增强学生体质，决定让各班去购买跳绳和毽子作为活动器械．七年1班生活委员小亮去购买了跳绳和毽子共5件，已知两种活动器械的单价均为正整数且跳绳的单价比毽子的单价高．在付款时