第6章 一次方程组（复习讲义）（原卷版）-华东师大版(2024)七下

第6章一次方程组（复习讲义）1.了解二元一次方程、二元一次方程组及它们的解的意义，体会二元一次方程组各知识点之间的整体联系。2.熟练掌握代入消元法、加减消元法，能灵活处理含参数、同解、整数解等特殊方程组。3.理解并利用二元一次方程组解决实际问题，掌握审题、设元、列方程组、解方程组、检验和作答的基本步骤，能运用基本公式分析和解决问题。【知识点01:二元一次方程(组)的定义】1.二元一次方程：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程，形式为ax+by=c（a、b不同时为0）。2.二元一次方程组：由两个或两个以上二元一次方程组成的方程组，需满足所有方程均为二元一次方程，且未知数种类一致。3.注意：含未知数的项次数必须为1（如x2+y=3不是二元一次方程）；方程必须是整式方程（如1x+y=2【知识点02:二元一次方程(组)的解】1.二元一次方程的解：使方程左右两边相等的一对未知数的值，有无数组解，其解可表示为x=ty=c-atb2.二元一次方程组的解：方程组中所有方程的公共解，通常只有唯一一组解（特殊情况有无数组解或无解）。3.注意：若x=my=n【知识点03:二元一次方程组的解法】1.代入消元法：步骤：将一个方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数，代入另一个方程消元，求解后回代得解。适用场景：其中一个方程可快速变形为x=ay+b或y=ax+b的形式。2.加减消元法：步骤：通过等式性质使两个方程中某一未知数的系数绝对值相等，相加或相减消元，求解后回代得解。适用场景：两个方程中同一未知数的系数成倍数关系或便于通分。3.特殊解法：整体代入法（如方程组中两方程相加/减可直接得到x+y或x−y的值）。【知识点04.二元一次方程组的应用】1.常见题型：增长率问题（内销、出口收入增长）；购物问题（两种商品的数量与总价）；运输问题（车皮数量与货物运输量）；几何问题（坐标对称、图形面积）；新定义问题（“繁花数”“风月同天数”“树人数”等）。2.解题步骤：设未知数（明确未知量的含义）；列方程组（根据题意找等量关系）；解方程组（选择合适的消元法）；验根（检验解是否符合实际意义）。题型一题型一二元一次方程（组）的概念【例1】下列方程组中，是二元一次方程组的是（

）A．x+y=5xy=6 B．x-【变式1-1】下列方程中，二元一次方程的个数为（

）①xy=1；②2x=3y；③x-1y=2；④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-2】下列各式中，为二元一次方程的是（

）A．4x+3yC．x+4y题型二题型二二元一次方程（组）的解【例2】下列各组数值中，哪组是二元一次方程2x+yA．x=-2y=6 B．x=4y=3【变式2-1】方程组2x-y【变式2-2】在①x=2,y=1,②x=1,y=1,③x=-1,y=4中，是二元一次方程x题型三题型三解二元一次方程组【例3】解方程组：x-【变式3-1】解方程组：(1)y=2(2)x【变式3-2】解方程：(1)3(2)x题型题型四二元一次方程组之错解复原问题【例4】在解关于x、y的方程组ax+by=22cx+7y=8时，甲同学正确解得x=3y【变式4-1】下面是小马同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．解方程组：2解：①×2得4x②-③得-y=12……将y=12代入①得x=16所以，原方程组的解为x=16y(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做________消元法，其中第一步的依据是________；(2)第________开始出现错误，这步的正确结果应为________；(3)直接写出该方程组的正确解：________．【变式4-2】（1）解方程组：x-（2）小明在解方程组2m解：①×3得：6m②×2得：6m④-③得：所以：n将n=-265代入①所以这个方程组的解是m=-任务1：这种求解二元一次方程组的解法叫做___________（填“代入消元法”或“加减消元法”），以上求解步骤中，第一步的依据是___________；任务2：以上解答过程从第___________步开始出现错误，具体错误是___________；任务3：请直接写出该二元一次方程组的正确解是___________．题型题型五二元一次方程组的应用之古代问题【例5】今有五雀、六燕，集称之衡．雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并雀、燕重一斤．问：雀、燕一枚各重几何？（选自《九章算术》）题目大意：有5只雀、6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重，聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻；若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同．已知5只雀和6只燕总重1斤，则1只雀和1只燕分别重多少？【变式5-1】我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行．问人与车各多少？设共有x人，y辆车，则可列方程组为（

）A．3y-2=x2y-9=【变式5-2】列二元一次方程组解应用题：《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳七尺；屈绳量之，不足一尺，木绳各几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子比木条长7尺；将绳子对折再量木条，（对折后的绳子）比木条短1尺，问木条和绳子各长多少尺？”题型题型六二元一次方程组的应用之几何问题【例6】把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面长为8，宽为7的长方形盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则②中两块阴影部分周长的和为（）A．28 B．26 C．24 D．22【变式6-1】如图所示，是我校七（1）、（2）两个班级的劳动实践基地的抽象几何模型．两块边长为m、nm>n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分S1，S2分别表示七（1）、七（2）两个班级的基地面积．若大正方形边长比小正方形边长大2，且大正方形与小正方形边长和为【变式6-2】综合与实践【主题】探究大球、小球数量与水面高度的变化关系．【素材】如图．①若干个体积相同的大球和体积相同的小球；②原始水面高度是26cm的高为55【实践操作】如图．步骤一：将3个小球放入烧杯中，测得此时水面高度为32cm步骤二：将步骤一的小球取出，放入2个大球，测得此时水面高度也为32cm【实践探索】(1)放入一个小球水面升高cm；(2)若放入大球、小球共10个，要使水面高度为50cm题型题型七二元一次方程组的应用之销售问题【例7】七年级某班参与“多彩校园文艺晚会”的表演，需要为学生购置表演服装．经了解，男款服装每套100元，女款服装每套130元，购买50套表演服装共需5870元．该班购买的男款服装和女款服装各多少套?【变式7-1】某旅行社组织甲、乙两个公司的部分员工赴某景点游览，其中预订的一类门票、二类门票的数量和所花费用如表：一类门票/张二类门票/张费用/元甲公司251800乙公司161600根据上表给出的信息，求一类门票和二类门票的单价．【变式7-2】运动会结束后八（1）班班主任准备购买一批明信片，用来奖励积极参与运动会各个比赛项目的学生，计划花180元购买A，B两种明信片共20盒．已知A种明信片每盒12元，B种明信片每盒8元．(1)甲同学根据上述信息，列出了尚不完整的方程a+b=________________,(2)乙同学设x表示购买了A种明信片的盒数，y表示购买了B种明信片的盒数．请你帮他列出方程组并计算购买A种明信片和B种明信片各多少盒．题型题型八二元一次方程组的应用之方案问题【例8】2023年8月，吉林省农博会在长春举行，某校组织学生去农博会参观学习．已知该校租用甲、乙两种不同型号的客车共15辆，租用1辆甲型客车需600元，1辆乙型客车需500元，租车费共8000元，问：甲、乙两种型号客车各租多少辆？【变式8-1】综合与实践某学校组织爱心义卖，八（1）班选定一家商店采购钥匙扣和玩偶两种商品，钥匙扣每个4元，玩偶每个2元．为支持爱心事业，该商店推出两种优惠方案：方案一购买钥匙扣超过30个时，超过部分享受八折优惠方案二购买玩偶满50个时，立减10元(1)若班委购买了钥匙扣和玩偶各30个，一共花费多少元？(2)若班委购买了钥匙扣和玩偶共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元，则班委购买了钥匙扣和玩偶各多少个？(3)现有班费266元全部用于购买商品，且同时享受两种优惠方案，请通过计算，求出所有的购买方案．【变式8-2】随着“低碳生活，绿色环保”理念的普及，新型降解环保塑料在社会生活中被广泛使用．某社区超市计划购进一批用新型降解环保塑料制作的玩具进行销售．据了解，2个A型玩具、3个B型玩具的进价共计80元，3个A型玩具、2个B型玩具的进价共计95元．(1)求A，B两种型号的玩具每个的进价分别为多少元；(2)若该超市计划正好用200元购进A，B两种型号的玩具（两种型号的玩具均购买），请你帮助该超市设计购买方案；(3)若该超市销售1个A型玩具可获利8元，销售1个B型玩具可获利5元，在（2）中的购买方案中，哪种方案获利最大？最大利润为多少元？题型题型九二元一次方程组的应用之分配问题【变式8-1】某学校组织学生夏令营，需要安排宿舍．如果每间宿舍住3人，那么有12人无法住宿；如果每间宿舍住5人，那么就会空出2间宿舍．设宿舍有x间，学生有y人．(1)请根据题意，列出二元一次方程组；(2)宿舍有多少间？学生有多少人？【变式8-2】根据题意列方程组：将一批图书分给了若干名学生，若每人分6本，则剩余40本；若每人分8本，则还缺50本．共有多少本图书、多少名学生？(1)这个情境涉及哪些量?这些量之间有怎样的等量关系?(2)设有图书x本，学生有y人，由此你能得到怎么样的方程组？【变式8-3】某眼镜厂家的一个车间共有22名工人生产镜片和镜架，每人每天生产12个镜架或20片镜片，一副镜架要配两个镜片，此车间为了使每天生产的产品刚好配套．(1)应该分配多少名工人生产镜片，多少名工人生产镜架；(2)为迎合市场需求，生产镜片的工人中分出一部分生产B镜片，剩余工人生产A镜片，生产镜架的工人中留下恰好能生产配套A镜片所需的镜架的工人，其余工人也生产B镜片，并将配套好的眼镜和B镜片分别出售，若每副眼镜利润为170元，每片B镜片的利润是43元，想共获利19660元，从生产镜片的工人中需要分出多少人生产B镜片？基础巩固通关测基础巩固通关测一、单选题1．下列六个方程组中，是二元一次方程组的有（

）①1x+y=116x-6y=-9；②xy=9xA．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．若关于x，y的二元一次方程3x-ay=1有一个解是x=2A．5 B．4 C．3 D．23．用代入消元法解方程组2x-y=53A．y=2x+5 B．y=2x-5 C4．若x=3y=-3，是关于x、y的二元一次方程ax-yA．4 B．-4 C．6 D．5．我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三．问人数、物价各几何？”本题意思是：今有人合伙购物，每人出七钱，会多二钱；每人出六钱，又差三钱．问人数、货物总价各多少？设人数为x人，货物总价为y钱，可列方程组为（）A．y=7x+2y=6x+3 B．二、填空题6．把方程2x-y=3变形为用x表示y的形式：7．若x=1y=-2是关于x，y的二元一次方程mx-8．二元一次方程组x=32x三、解答题9．解下列二元一次方程组：(1)x(2)3(10．小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是面积为9cm2(1)图2中间阴影小正方形的边长为_____cm；(2)设每一个小长方形的长为xcm，宽为ycm，则由图1可列二元一次方程为_____，由图2可列二元一次方程为(3)求每个小长方形的面积．11．共青团蓬溪县委响应“绿水青山，就是金山银山”号召，许多志愿者都加入了植树造林活动，为环保工作做出了应有的贡献．某天，县环保局和林业局给他们准备了一些矿泉水．这种矿泉水有大箱和小箱两种包装，3大箱，2小箱共92瓶；5大箱，3小箱共150瓶，问大箱、小箱每箱各装多少瓶矿泉水？能力提升进阶练能力提升进阶练一、单选题1．若单项式2x2ya+b与-1A．3，1 B．－3，1 C．3，－1 D．－3，－12．若关于x，y的方程组x+2y=2a-1x-yA．-1 B．1 C．2 D．3．已知关于x，y的方程组2x+y=3k+23A．14 B．-14 C．14．某铁路桥长1000m，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了1min，整列火车完全在桥上的时间共40s．设火车的速度为xms，火车的长度为A．x=1000+y40C．x=1000+y0.45．爸爸今年34岁，子女两人的年龄和是16岁，两年后，妹妹年龄的3倍与哥哥的年龄相加恰好等于爸爸的年龄．哥哥和妹妹今年的年龄分别是（

）A．9岁、7岁 B．10岁、6岁 C．12岁、4岁 D．12岁、6岁6．已知关于x，y二元一次方程组2x+y=-2x+2yA．0 B．2 C．-2 D．27．若关于x，y的方程组x=2mx+ny=1与yA．-5 B．-1 C．3 D8．已知|x+2y+3|+(A．-1 B．1 C．2025 D．二、填空题9．已知|x-3y+6|+(x10．小宇准备制作数盏如图①所示的仿古灯笼，他用图②所示的长方形和正方形宣纸作为灯笼的侧面和底面，最终制成图③所示的竖式和横式两种无盖灯笼，现有4b-2a张长方形宣纸和3a-5b张正方形宣纸，若做出竖式灯笼x个、横式灯笼y个，恰好将宣纸用完，则11．关于x、y的方程组a1x+b1y=12．加密是保障数据安全的一种方式，明文通过加密规则加密成密文．某加密规则为：明文x,y对应加密文x+2y,2x+3y，如明文三、解答题1