第6章 一次方程组（教师版）（基础类型）-华东师大版(2024)七下

思维导图第6章一次方程组思维导图【类型覆盖】类型一、二元一次方程(组)的定义【解惑】下列方程中，属于二元一次方程的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此题考查二元一次方程定义，关键是根据二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面辨别．【详解】解：A．，属于二次项，所以不是一次方程，故此选项错误；B．，属于三元一次方程，故此选项错误；C．，属于二元二次方程，故此选项错误；D．，属于二元一次方程，故选项正确．故选：D．【融会贯通】1．下列方程组是二元一次方程组的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此题主要考查了二元一次方程组的定义，二元一次方程组满足三个条件：（1）方程组中的两个方程都是整式方程．（2）方程组中共含有两个未知数．（3）每个方程都是一次方程．组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此判断即可得到答案．【详解】解：A，该方程组中含有3个未知数，属于三元一次方程组，故此选项不符合题意；B，是二次的，属于二元二次方程组，故此选项不符合题意；C，该方程组中的属于二元二次方程，此方程组属于二元二次方程组，故此选项不符合题意；D，该方程组符合二元一次方程组的定义，故此选项符合题意．故选：D．2．把方程改成用含x的代数式表示y为．【答案】【分析】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是掌握移项的方法．通过移项即可得出答案．【详解】解：把方程，移项，得即.故答案为：.3．下列方程组，其中是二元一次方程组的有（填序号）①②

③

④．【答案】①③/③①【分析】根据二元一次方程组的定义，即可求解．【详解】解：二元一次方程组有①③．故答案为：①③【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握组成二元一次方程组应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程是解题的关键．类型二、二元一次方程(组)的解【解惑】若是关于x，y的方程的一个解，则a的值为（

）A．1 B．5 C． D．【答案】C【分析】本题考查了二元一次方程的解、解一元一次方程．把代入关于x，y的方程得到关于a的方程，解方程即可得到答案．【详解】解：∵是关于x，y的方程的一个解，∴，解得：，故选：C．【融会贯通】1．解是的方程组可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的满足每个方程式解题关键．将分别代入方程组，满足的方程组即为答案．【详解】解：A、把代入方程组得：，不符合题意；B、把代入方程组得：，符合题意；C、把代入方程组得：，不符合题意；D、把代入方程组得：，不符合题意；故选：B．2．若是关于字母，的二元一次方程的一个解，代数式的值是．【答案】【分析】本题考查了二元一次方程的解，以及代数式求值，把作为一个整体是解题的关键，而也需要运用公式变形，以便计算．把，代入原方程可得的值，把代数式变形为，然后计算．【详解】解：把，代入，得，，，，，故答案为：．3．下面三组数据：①

②

③满足方程的是，满足方程的是，同时满足这两个方程的是．故二元一次方程组的解是．（填序号）【答案】①②/②①②③/③②②②【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．根据解的含义逐一进行检验即可．【详解】解：将代入方程左边得：，右边，左边右边；是方程的解；将代入方程左边得：，右边，左边右边；是方程的解；将代入方程左边得：，右边，左边右边；不是方程的解；故答案为：①②将代入方程左边得：，右边，左边右边，不是方程的解；将代入方程左边得：，右边，左边右边，是方程的解；将代入方程左边得：，右边，左边右边；是方程的解；故答案为：②③同时满足这两个方程的为，则方程组的解为．故答案为：②，②类型三、三元一次方程的定义与解【解惑】已知，，，则代数式的值是（）A．32 B．64 C．96 D．128【答案】C【分析】本题考查了三元一次方程的解法，解题的关键是读懂题目．首先利用将三个方程看出三元一次方程组求出x，z的值，然后代入所求代数式即可求解．【详解】解：，，得：，，而，得，，把代入得：，．故选：C．【融会贯通】1．方程组的解使代数式的值为，则的值为（

）A．0 B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，解题的关键是掌握消元的方法并熟练运用．用加减消元法求解该三元一次方程组，再将方程组的解代入即可求出k．【详解】解：，得：，得：，解得：，把代入①得：，解得：，把代入③得：，解得：，∴原方程组的解为，把代入得：，解得：．故选：C．2．方程组的解是．【答案】【分析】本题考查解三元一次方程组，熟练掌握加减消元法解方程组是解决问题的关键．由得，然后把分别代入①和③即可求解．【详解】得解得把代入①得解得把代入③解得∴故答案为：3．已知，则．【答案】1【分析】该题主要考查了三元一次方程组，解题的关键是加减消元．根据算出，再根据算出，代入即可求解；【详解】解：，得：，即，得：，即，∴，故答案为：1．类型四、用x表示y【解惑】已知方程，用含y的代数式表示x为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了解二元一次方程，把y看做已知，求出x的值即可．【详解】解：∵，∴，∴，故选：D．【融会贯通】1．将方程改写成用含x的式子表示y的形式，结果是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查二元一次方程的解、等式的基本性质，利用等式的基本性质1求解即可．【详解】解：根据等式的基本性质1，方程两边同时减，得，故选：B．2．已知方程，用含的代数式表示，则．【答案】【分析】此题考查用含有一个未知数的代数式表示另外一个未知数，解题的关键是将看作已知数求出．将看作已知数求出即可．【详解】解：∵，∴，∴，故答案为：3．将方程变形，用含有的代数式表示为．【答案】【分析】此题考查了解二元一次方程．把x看作已知数解关于y的方程即可．【详解】解：则，∴，故答案为：类型五、列二元一次方程组【解惑】“辉煌九秩，筑梦百年”，在某中学建校90周年之际，八年级学生王小明制作了一批手工艺品送给母校作纪念，每一件工艺品都包含一个礼盒和三张礼卡，已知材料可制作10个礼盒或50张礼卡，现有材料，并且制作出来的礼卡和礼盒刚好全部配套．设用材料制作礼盒，材料制作礼卡，则可列方程组为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了列二元一次方程组，根据材料总量为，配套数量：每个工艺品需1个礼盒和3张礼卡．每平方米材料可制作10个礼盒或50张礼卡，列出二元一次方程组，即可求解．【详解】解：设用材料制作礼盒，材料制作礼卡，则可列方程组为故选：C．【融会贯通】1．若与互补，且，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查的是补角定义、二元一次方程组的应用等知识点，根据题意正确列出方程组是解题的关键．根据补角定义及已知条件列出方程组，然后解方程组即可．【详解】解：与互补，，，∴，解得：．故选：B．2．小逸的爸爸比小逸大27岁，5年前小逸的爸爸的年龄是小逸的10倍，设小逸现在的年龄为x岁，小逸的爸爸现在的年龄为y岁，根据题意可列方程组：．【答案】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小明现在的年龄是x岁，小明爸爸现在的年龄为y岁，根据小逸的爸爸比小逸大27岁，5年前小逸的爸爸的年龄是小逸的10倍，即可得出关于x，y的二元一次方程组．【详解】解：由题意，得．故答案为：．3．如图，射线的端点O在直线上，的度数比的度数的2倍多，则列出关于x，y的方程组是

【答案】【分析】本题考查列二元一次方程组，理解题意，找到等量关系是解题的关键．由与互为邻补角可列出方程，根据的度数比的度数的2倍多10°，可列出方程，联立两方程即可．【详解】解：由题意可得：．故答案为：．类型六、二元一次方程组的应用——古代问题【解惑】我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有客房间，客人人，则可列方程组为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设有客房间，客人人，根据每一间客房住7人，则有7人无房可住；每一间客房住9人，则就空出一间客房，再建立方程组解题即可.【详解】解：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住，．如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房，．根据题意可列方程组，故选D．【融会贯通】1．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，方程是含有未知数的等式，解决本题的关键是找到相等关系，根据相等关系列出方程组．【详解】解：设合伙人数为人，羊价为钱，根据“若每人出钱，还差钱”，可列方程；根据“若每人出钱，多余钱”,可列方程；所以可得：，故选：A．2．《九章算术》是我国东汉年间的数学经典著作，在“方程”一章里二元一次方程组是由算筹布置而成的．算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排．如图1，各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与方程中的常数项，以方程组的形式表述出来就是，类似地，图2所示的算筹图可以用方程组表述为：．【答案】【分析】本题考查的是列二元一次方程组．由图1可得1个竖直的算筹数算1，一个横的算筹数算10，每一横行是一个方程，第一个数是x的系数，第二个数是y的系数，第三个数是相加的结果；前面的表示十位，后面的表示个位，由此可得图2的表达式．【详解】解：第一个方程x的系数为2，y的系数为2，相加的结果为14；第二个方程x的系数为4，y的系数为3，相加的结果为31，所以可列方程为．故答案为：．3．《算法统宗》中有这样一首诗：巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧，三百六十四只碗，恰合用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹，请问先生能算者，都来寺内几多僧．请用一元一次方程或者二元一次方程组求解上述问题．【答案】624个【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用：法1：设寺内有x个和尚，根据三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹，共有三百六十四只碗，列出方程进行求解即可；法2：设盛饭用了x只碗，盛羹用了y只碗，根据题意，列出方程组进行求解即可．【详解】解：法1：设寺内有x个和尚，根据题意，得，解得：，答：寺内有624个和尚；

法2：设盛饭用了x只碗，盛羹用了y只碗，根据题意，得：，解得，所以答：寺内有624个和尚．类型七、二元一次方程组的应用——数字问题【解惑】如果甲数的小数点向左移动两位就比乙数少，则原来甲数是乙数的（

）A．60倍 B．50倍 C．40倍 D．30倍【答案】C【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，设甲数为x，乙数为y，甲数的小数点向左移动两位变为，根据甲数的小数点向左移动两位就比乙数少列出等式，进行运算即可．【详解】解：设甲数为x，乙数为y，根据题意得：，解得：，即甲数为乙数的40倍，故选：C．【融会贯通】1．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．如图1，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，图2是一个未完成的幻方，则的值为（）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】D【分析】本题考查二元一次方程组的应用、数学常识，解答本题的关键是明确题意，求出，的值．根据题意可知：第一列的数字之和等于第一行的数字之和，从而可以计算出右上角的数字；根据第一列的数字之和等于对角线的三个数字之和，即可用含的代数式表示出最中间的数字；再根据第二列的数字之和等于第一列的数字之和，对角线的三个数字之和等于第三行的数字之和，可以列出方程组，然后求解得到和，再计算出即可．【详解】解：由题意可得：右上角的数字为，最中间的数字为，，解得，∴，故选：D．2．一个两位数，十位上的数字与个位上数字和是8，将十位上数字与个位上数字对调，得到新数比原数的2倍多10，则原来的两位数是．【答案】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．可设原来的两位数的个位数为x，十位数为y，根据对调前与对调后可得到两个方程，求方程组的解即可．【详解】设原来的两位数的个位数为x，十位数为y，两位数可表示为，根据题意得：，解得：，则原两位数为．故答案为：3．某两位数，两个数位上的数之和为11．这个两位数加上45，得到的两位数恰好等于原两位数的两个数字交换位置所表示的数，求原两位数．(1)列一元一次方程求解．(2)设原两位数的十位数字为，个位数字为，列二元一次方程组求解．【答案】(1)38(2)38【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及由实际问题抽象出二元一次方程组．（1）设原两位数的个位数字为，则十位数字为，根据原两位数等于原两位数的两个数字交换位置所表示的数，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）设原两位数的十位数字为，个位数字为，根据原两位数两个数位上的数之和为11及原两位数等于原两位数的两个数字交换位置所表示的数，即可得出关于，的二元一次方程组，解方程即可．【详解】（1）解：设原两位数的个位数字为，则十位数字为，依题意，得：，解得：，，∴原两位数为38；（2）解：设原两位数的十位数字为，个位数字为，依题意，得：，解得，∴原两位数为38．类型八、二元一次方程组的应用——年龄问题【解惑】甲是乙现在的年龄时，乙8岁，乙是甲现在的年龄时，甲26岁，那么（

）A．甲20岁，乙14岁 B．甲22岁，乙16岁C．乙比甲大18岁 D．乙比甲大34岁【答案】A【分析】设甲现在的年龄为x岁，乙现在的年龄为y岁，根据题意列出二元一次方程组即可求解.【详解】设甲现在的年龄为x岁，乙现在的年龄为y岁.依题意得，解.故选A【点睛】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键根据题意找到等量关系列方程求解.【融会贯通】1．10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍，10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍，小明和他妈妈现在的年龄分别是多少岁？若设小明和他妈妈现在分别是x岁和y岁，根据题意可列方程组为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】设小明和他妈妈现在分别是x岁和y岁，分别表示出十年前和十年后他们的年龄，根据题意列方程组即可．【详解】解：设小明和他妈妈现在分别是x岁和y岁．由题意得，，故选：B．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．2．小明问老师：“您今年多大？”老师风趣地说：“我像你这样大时你才出生，你到我这么大时我已经39岁了．”老师年龄为岁，小明年龄为岁．【答案】2613【解析】略3．10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍；10年后，小明妈妈的年龄将是小明的2倍．小明和他妈妈现在的年龄分别是多少？【答案】小明和他妈妈现在的年龄分别是15岁和40岁【分析】根据题意，设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，列二元一次方程组，解方程求解即可【详解】设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，根据题意，得解得答：小明和他妈妈现在的年龄分别是15岁和40岁．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．类型九、解三元一次方程组【解惑】解方程组：．【答案】【分析】此题主要考查了三元一次方程组的解法，能够熟练运用加减消元法求解是关键．利用加减消元法即可求解．【详解】解：，把①代入②，可得，整理可得，④×2，可得，③+⑤，可得，解得，把代入①，可得，把代入③，可得，解得，∴原方程组的解为．【融会贯通】1．解方程(组)∶(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查解一元一次方程、二元一次方程组，利用去分母，去括号解方程是解题关键，和加减消元法是解题的关键．（1）通过去分母，去括号解方程即可；（2）运用加减消元法解方程即可．【详解】（1）去分母，得去括号，得移项，得合并同类项，得，系数化为1，得．（2），，得，④，得，解得，将代入③得将代入②上得所以原方程组的解为2．解方程组：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】本题考查了解二元一次方程组和解三元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解题的关键．（1）先整理，再用加减消元法进行运算即可；（2）先运用加减消元法把三元一次方程组化成二元一次方程组，再运用代入消元法进行运算即可．【详解】（1）解：整理得，得，解得，把代入②，得，解得，方程组的解为；（2）解：，得，得，即，得，解得，把代入④得，解得，把，代入①得，解得，方程组的解为．3．【数学问题】解方程组【思路分析】小明观察后发现可以把视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的．(1)【完成解答】请你按照小明的思路，完成解方程组的过程．(2)【迁移运用】请你按照小明的方法，解方程组【答案】(1)(2)【分析】本题考查解三元一次方程组、解二元一次方程组；（1）把①代入②，求出x的值，再把x的值带入①，求出y的值；（2）先把①代入③，求出c的值，再把c的值代入②，求出a的值，最后把a的值代入①，求出b的值，即可．【详解】（1）解：把①代入②，得，解得：，把代入①得：，解得：，∴原方程组的解为；（2）解：把①代入③得：，解得：，把代入②得：，解得：，把代入①得：，解得：，∴原方程组的解为．类型十、解二元一次方程组【解惑】解下列方程或方程组(1)．(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了解一元一次方程与解二元一次方程组，掌握解方程（组）的步骤与方法是解题的关键；（1）方程两边同乘6，去括号、移项与合并同类项，最后系数化为1即可求解；（2）利用加减法，先消去未知数y，求出x，再求出y即可．【详解】（1）解：去分母，得：，去括号，得：，移项，得：，合并同类项，得：，两边都除以，得：；（2）解：，得：③，，得：，解得：；把x用4代入①式得：，因此是原二元一次方程组的解．【融会贯通】1．解方程组：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数．（1）方程组利用加减消元法求解即可；（2）方程组利用加减消元法求解即可．【详解】（1）解：由①，得③将③代入②，得，解得．将代入②，得．所以原方程组的解是；（2）解：，得③，得，解得．将代入①，得．所以原方程组的解是．2．下面是小权同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．解方程组：解：由①，得③．…………第一步将③代入②，得，第二步解得．…………第三步将代入①，得，………………第四步原方程组的解为………………第五步任务：(1)这种解二元一次方程组的方法叫作_____，以上求解步骤中，小权同学从第_____步开始出现错误．(2)请用加减消元法写出此题正确的解答过程．【答案】(1)代入消元法，一(2)，过程见解析【分析】此题考查了解二元一次方程组．（1）根据代入消元法的步骤进行判断即可；（2）得，，把代入①得，，解得，即可得到方程组的解．【详解】（1）解：这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法，以上求解步骤中，小权同学从第一步开始出现错误，故答案为：代入消元法，一（2）得，，把代入①得，，解得，∴原方程组的解为3．解方程组：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题关键．（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可；（2）将原方程组化简，然后利用代入消元法求解即可．【详解】（1）解：得：，解得：；把代入①得：，解得：，∴原方程组的解为；（2）解：原方程组可整理为，得：，∴；将代入③得：，∴原方程组的解为．【一览众山小】1．下面二元一次方程的解为的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了二元一次方程的解，掌握该知识点是解决本题的关键．将解逐一代入方程，能够使方程成立的，即为该方程的解．【详解】解：将代入A，，不成立，故A不符合题意；将代入B，，不成立，故B不符合题意；将代入C，，不成立，故C不符合题意；将代入D，，成立，故D符合题意；故选：D．2．下列方程是二元一次方程的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查二元一次方程的定义，含有2个未知数，且含有未知数的项的次数均为1的整式方程叫做二元一次方程，据此进行判断即可，掌握该知识点是解题的关键．【详解】解：A、是二元一次方程，故符合题意；B、含有未知数的项的次数为2，不是二元一次方程，故不符合题意；C、不是整式方程，不是二元一次方程，故不符合题意；D、是一元一次方程，不是二元一次方程，故不符合题意；故选：A．3．二元一次方程的正整数解有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题考查了解二元一次方程，解题的关键是用y表示出x．将，代入计算得到x为正整数即可．【详解】解：方程，解得：，当时，；时，；时，，则方程的正整数解有3个．故选：C．4．写一个关于x，y的二元一次方程组．【答案】（答案不唯一）【分析】本题考查二元一次方程组的定义：共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫做一元一次方程，叫做二元一次方程组．据此写出一个方程组即可．【详解】解：关于x，y的二元一次方程组可以为：，故答案为：（答案不唯一）．5．若二元一次方程的解是，则的值是．【答案】【分析】本题考查了二元一次方程的解与解一元一次方程，正确掌握代入法是解题的关键．将代入，然后解方程即可．【详解】解：由二元一次方程的解是，可得解得：故答案为：．6．大刚和小亮到同一家超市购买水果，大刚买苹果和