17.1 一元二次方程(课件)-沪科版(2024)八下

沪科版（新教材）数学八年级下册培优备课课件17.1一元二次方程第17章

一元二次方程及其应用授课教师：.

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学习目标1.理解一元二次方程的概念.(重点)

2.根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数.3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.(难点)一元二次方程的概念问题1

某蔬菜生产基地去年全年无公害蔬菜产量为100t，计划明年无公害蔬菜的产量比去年翻一番(即为200t)．要实现这一目标，今年和明年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少?(精确到1%)1根据数量关系绘制下图：100x100100(1+x)去年今年明年100100(1+x)x分析设这个生产基地今年和明年无公害蔬菜产量的年平均增长率是

x，那么，明年无公害蔬菜产量为：100+100x=100(1+x)(t),今年无公害蔬菜产量为：100(1+x)+100(1+x)·x=100(1+x)2(t).根据题意，得100(1+x)²=200.化简，得(1+x)²

=2.整理，得

x²+2x-1=0.①问题2

如图，在一块宽20m、长32m的长方形空地上，修筑宽相等的三条小路(两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直

)，把长方形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.要使花坛的总面积为570m2，问小路的宽度为多少?3220x1.若设小路的宽是

x

m，则横向小路面积是_____m2，纵向小路的面积是

m2，两者重叠的面积是

m2.思考32x2×20x2x22.由于花坛的总面积是

570

m2，你能根据题意列出方程吗？整理以上方程，可得32×20-

(32x+2×20x)+2x2=570.x2

-

36x

+

35=0

②.322032-2x20-x想一想

有同学列出的方程是(20-

x)(32-2x)=570.这个方程对吗？观察与思考方程①②都不是一元一次方程。那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？共同特点：(1)都是整式方程；(2)只含一个未知数；(3)未知数的最高次数是2.x2-

36x

+

35=0②

x²+2x-1=0①

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2

的整式方程，叫作一元二次方程.ax2+bx

+c

=0(a，b，c为常数，a≠0).其中，ax2叫作二次项，a

是二次项系数；bx

叫作一次项，b

是一次项系数；

c

叫作常数项.一元二次方程的概念一元二次方程的一般形式

知识要点1．[安庆期中]下列方程中，一定是一元二次方程的是(

)A

33.填表：方程一般形式二次项系数一次项系数常数项_________________________________

3

方程一般形式二次项系数一次项系数常数项2x2＝8x_______________________x(7x－1)＝4－x_____________________

2

07x2－4＝070

想一想为什么一般形式

ax2+bx+c=0中要限制

a

≠

0？b，c可以为0吗？当

a=0时bx+c=0,当

a≠0，b=0

时ax2+c=0,当

a≠0，c

=0

时ax2+bx=0,当

a≠0，b

=c

=0

时ax2

=0,总结：只要满足

a≠0即可，b，c

可以为任意实数.不符合定义；符合定义；符合定义；符合定义.例1

下列选项中，是关于

x

的一元二次方程的是()

C不是整式方程含两个未知数化简整理为

x2-3x+2=0少了先决条件

a≠0提示：判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程，若是则进一步化简整理后再做判断。典例精析例2a

为何值时，下列方程为一元二次方程？(1)

ax2

-

x=2x2；(2)(a-1)x|a|+1

-

2x

-

7=0.解：(1)将方程整理，得

(a-2)x2

-

x=0，所以当

a

-

2≠0，即

a≠2时，原方程是一元二次方程.

方法点拨：根据一元二次方程的定义求参数的值时，根据未知数的最高次数等于2，列出关于参数的方程，再排除使二次项系数等于0的参数值即可得解.(2)由

|a|+1=2，且

a-1≠0

知，当a=-1时，原方程是一元二次方程.

例3

将方程

2x(x+1)=5化为一般形式，并分别指出它的二次项、一次项和常数项及它们的系数。解：去括号，得2x2+2x=5.移项，得该方程的一般形式为2x2+2x

-

5=0.

其中二次项是

2x2，系数是

2；一次项是

2x，系数是

2；常数项是

-5.系数和项均包含前面的符号。注意

使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（又叫作根）.练一练：下面哪些数是方程x2–x–6=0

的解？

-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4.解：3和

-2.你注意到了吗？一元二次方程不止一个解(根)一元二次方程的根2例4

已知方程

3x(x-

1)=2(x+2)+4.(1)把该方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项；解(1)去括号，得

3x²-3x=2x+4+4.移项、合并同类项，得方程的一般形式：

3x²-

5x-

8=0它的二次项系数是3，一次项系数是

-5，常数项是

-8.典例精析4．[杭州模拟]已知一元二次方程x2＋2mx＋1＝0的一个根为1，则m＝________.－1

1和3

(2)把

x=-1代入原方程的左右两边，得左边=3×(-1)×(-1-1)=6.

右边=2×(-1+2)+4=6.因为左边=右边，所以

-1是该方程的根.例4

已知方程

3x(x-

1)=2(x+2)+4.(2)判断

-1

是否为该方程的根，

例5

已知

a是方程x2+2x－2=0

的一个实数根，求2a2

+4a+2022的值。解：由题意得方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需用到整体思想——求解时，将所求代数式中的某一部分看作一个整体，再将这个整体代入求值。1．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是________的整式方程，叫作一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式是_________________________________,其中ax2叫作二次项,a是二次项系数,bx叫作一次项,b是一次项系数，c叫作常数项．3．使一元二次方程左右两边________的未知数的值叫作一元二次方程的解，也叫方程的根．2ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)相等7．[福建中考改编]为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5m的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6m2的长方形菜地作为实践基地，如图所示．设长方形的一边长为xm，根据题意可列方程为(