17.4 一元二次方程的根与系数的关系(课件)-沪科版(2024)八下

沪科版（新教材）数学八年级下册培优备课课件17.4一元二次方程的根与系数的关系第17章

一元二次方程及其应用授课教师：.

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级：.

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间：.

学习目标1.探索一元二次方程的根与系数的关系.(难点)2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.(重点)一元二次方程的根与系数的关系思考

我们知道，一元二次方程

ax²+bx+c=0(a≠0,且

b2

-4ac

≥0)的两根为：观察

x1

，x2表达式的特点

，你有什么发现?x1=

,x2=1证一证：当b2-4ac≥0时，方程两根之和：方程两根之和：1．[知识初练]不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积：

(1)x2＋2x－1＝0：x1＋x2＝____；x1x2＝____；(2)－x2＋6x－2＝0：x1＋x2＝____；x1x2＝____；(3)3x2＋x＝6x＋7：x1＋x2＝____；x1x2＝____；(4)(x＋1)(x－2)＝2：x1＋x2＝____；x1x2＝____．－2－1621－42．已知m，n是一元二次方程x2－2x－4＝0的两个根，则m＋n－mn的值为________.6一元二次方程的根与系数的关系如果

ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为

x1，x2，那么这个关系通常称为韦达定理.知识要点思考与提升

(1)如果将一元二次方程

ax2+bx+c=0(a≠0)

的二次项系数化为

1

，能化成什么样的形式?

因为

a≠0，

将

ax2+bx+c=0的两边同时除以

a，得

这样就可以把原方程化成

x2+px+q=0

的形式.归纳总结

对于二次项系数为1的一元二次方程

x2+px+q=0,

x1+x2=-p,

x1·x2=q(x-

x1)(x-

x2)=0x2

-

(x1+x2)x+x1·x2=0x2+px+q=0x1+x2=-p,

x1·x2=q(2)一元二次方程

(x-

x1)(x-

x2)=0(x1，x2为已知数)的两根是什么？若将此方程化为

x2+px+q=0的形式，你能看出

x1，x2与

p，q之间的关系吗？有关韦达定理的常见的求值式子如下：一元二次方程的根与系数的关系的应用2例1利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.

(1)x2+7x+6=0，

(2)2x2-

3x-

2=0.解：(1)设方程的两根是x1，x2，由韦达定理，

得x1+x2=-7，x1·x2=6.(2)设方程的两根是x1，x2，由韦达定理，

得x1+x2=

，x1·x2=-1.典例精析3．[知识初练][马鞍山三模]已知方程x2－5x＋k＝0的一个根为1，则方程的另一个根为________.4

B

想一想：本题还有别的解法吗？解

设方程的另一个根是x2，则例2

已知方程

2x2+kx-4=0

有两个根，其中一个根是

-4，求它的另一个根及

k的值.-4+x2=-4x2=解方程组，得

x2=，

k=7.答：方程的另一个根为，k

的值为

7.解将

x=–4代入方程，得2×(–4)2+(–4)k–4=0.解得

k=7.将

k=7代入方程，得2x2+7x–4=0，

例2

已知方程

2x2+kx-4=0

有两个根，其中一个根是

-4，求它的另一个根及

k的值.解得

x1=，

x2=–4.例3设

x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且

x12+x22=4，求

k的值。解：由方程有两个实数根，得

Δ=4(k-

1)2

-

4k2≥0，

即-8k+4≥0，由根与系数的关系得

x1+x2=2(k

-

1)，x1x2=k2.

∴x12+x22=(x1+x2)2

-

2x1x2=4(k-

1)2

-

2k2

=2k2

-

8k+4=4.解得k1=0，k2=4.∵，∴k=0.

B

C

例4

方程

2x²

-

3x-

1=0的两个根记作

x1，x2，求

x1-

x2

的值.(x1

-

x2)²=(x1+x2)²-4x1x2解

由韦达定理，得

x1+x2=，x1x2=.∴x1

-

x2=

=(

)²+4×

=.数学拓展

二次三项式

ax²+bx+c(abc≠0，a，b，c

为常数)在实数范围内的因式分解

，还可利用求一元二次方程

ax²+bx+c=0的根来进行.

若

ax²+bx+c=0

有两个根

x1

，x2

，则由根与系数的关系可知二次三项式的因式分解7.已知m，n是一元二次方程x2＋2x－5＝0的两个根，求m2＋mn＋2m的值．(8分)思维过程(1)分析问题：观察m2＋mn＋2m与x2＋2x－5＝0中的哪些整体或部分有关？(2)写出解题过程．解：因为m，n是一元二次方程x2＋2x－5＝0的两个根，所以mn＝－5，m2＋2m－5＝0，所以m2＋2m＝5，所以m2＋mn＋2m＝(m2＋2m)＋mn＝5－5＝0.已知m，n是一元二次方程x2＋2x－5＝0的两个根，求m2－2mn－2n＋1的值．解：因为m，n是一元二次方程x2＋2x－5＝0的两个根，所以m＋n＝－2，mn＝－5，n2＋2n－5＝0，所以n2＋2n＝5.所以m2－2mn－2n＋1＝m2－2mn＋n2－n2－2n＋1＝(m－n)2－(n2＋2n)＋1＝(m＋n)2－4mn－(n2＋2n)＋1＝(－2)2－4×(－5)－5＋1＝20.8.(真实情境)兰兰和笑笑分别解一道关于x的一元二次方程，兰兰因把一次项系数看错，解得方程的两根为－2和6，笑笑因把常数项看错，解得方程的两根为3和4，则原方程可能是(

)A．x2＋7x－12＝0B．x2－7x－12＝0C．x2＋7x＋12＝0D．x2－7x＋12＝0B2星题

中档练9．[合肥模拟]已知关于x的方程2x2－3x＋k＝0的两根分别为x1和x2，若4x1＋x2＝0，则k的值为(

)B10．[蚌埠三模]已知两个不相等的实数m，n满足m2－4＝2m，n2＝4＋2n，则(m－n)2＝________.2011.(分类讨论思想)已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两个实数根．(1)若(x1－1)(x2－1)＝28，求m的值；

(2)已知等腰三角形ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．(8分)

解得x2＝15，而7＋7<15，故舍去；当m＝4时，x1＋x2＝2(m＋1)＝10，解得x2＝3，此时符合三角形的三边