2025-2026学年河北衡水中学高三下学期数学3月综合素质评价二试卷（含答案）

2025-2026学年度高三年级下学期综合素质评价二数学试卷考试时间:120分钟;试卷满分:150分注意事项:1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第I卷(共58分)一、单选题(共8个小题,每小题5分,共40分)1.已知集合A={x∣y=lnA.(0,3)B.−∞,−C.−∞,−12.已知等比数列an满足a1a3=36,A.-2B.-3C.2D.33.已知随机变量Y∼N2,σ2,且PY≤1=PA.1B.2C.3D.44.国庆假期,某人计划去A,B,C,D,E五个不同的景点游览.在确定景点的游览顺序时,要求A在B之前,A.18种B.24种C.48种D.60种5.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点为F,半焦距为c.过F作CA.2B.2或3C.2或5D.2或26.已知定义域为R的函数fx满足fx+2=f−A.6为fx的一个周期B.f27.如图,将两个相同大小的圆柱垂直放置,两圆柱的底面直径与高相等,且中心重合,它们所围成的几何体称为“牟合方盖”,已知两圆柱的高为2,则该“牟合方盖”内切球的体积为()A.42π9B.228.已知实数a,b∈1,+∞,且A.a<b<bB.b二、多选题(每题6分,全部选对得6分,部分选对得部分分,有错选的得0分,共18分)9.已知复数z满足1−iz=2i,则下列关于复数A.zB.z的虚部为iC.复数z的共轭复数zD.复数z是方程x2+10.函数fx=2sinωx+φA.ωB.φC.fx在区间π2D.将fx图象向左移5π12个单位后关于y11.已知数列an满足an+1=anA.存在唯一的实数t,使得anB.当a3<0时,C.当−1<t<0D.当t=1时,bn=log2an,bn第II卷(共92分)三、填空题(每题5分,共15分)12.2x−113.已知α∈π4,π2,14.已知函数fx=exeax四、解答题(共5题,满分77分)15.在ABC中,内角A,B,C(1)求角A；(2)若a=1,bc=216.在马年春节联欢晚会上,多款人形机器人惊艳亮相,其精彩的表演赢得了观众的一致好评.某款人形机器人在排练时,导演对机器人下达了7个动作指令,机器人成功完成了其中5个.现从这7个指令中随机抽取4个进行回放分析,以ξ表示抽取的指令中成功完成的个数.(1)求ξ的分布列和数学期望；(2)若对机器人下达的动作指令表述清晰,则机器人成功完成指令的概率为0.9；若对机器人下达的动作指令表述模糊,则成功完成指令的概率为0.5.设下达的动作指令表述模糊的概率为p,若该机器人成功完成指令的概率为0.8,求p的值;17.已知椭圆C:x2a2+y2b(1)求椭圆C的方程和离心率；(2)过点P4,0且与x轴不重合的直线l与椭圆C交于A,B两点,与直线x=1交于点Q,点M满足MP⊥x轴,MB//18.如图,球O的半径为4,PQ是球O的一条直径,C是线段PQ上的动点,过点C且与PQ垂直的平面与球O的球面交于⊙C,A1A2⋯A6是⊙C(i)求六棱锥P−A(ii)求二面角A1−(2)设A1A2的中点为M,求证:19.已知函数fx(1)当a=3时,求曲线y=fx(2)若fx在[0,+∞)上单调递增,求(3)若fx存在极大值和极小值,且极大值小于极小值,求a《2025-2026学年度高三年级下学期综合素质评价二》参考答案题号1234567891011答案AACBDCDBACACDBCD12.-160设展开式的通项为Tk令6−2k=0,解得故答案为:-160.13.−14.0:fx为奇函数,∴e∴x−bx+∵fx∴f−∴eax−x=ex,则∴fx=ex当x<−1时,ex−1当x>1时,ex−1又∵y=ex−1ex,y∴y=1ex−1ex,∴fx=1ex−1exfx−a+即fxx解得x>3或0<x<故不等式fx−a+f故答案为:0,15.(1)π(2)3(1)因为2c−根据正弦定理得,2sin因为C=π−A+所以2sin所以2cos因为B∈0,π,所以sinB因为A∈0,π(2)根据余弦定理得,a2将a=1,bc=又因为bc=23且b<c所以a2+b2=c2,所以所以斜边AB上的高为h=16.(1)分布列为:234P241期望为20(2)0.25(1)由题意知随机变量ξ服从超几何分布,其中N=且ξ的所有可能取值为2,3,4,PξP故ξ的分布列为:234P241法一:所以ξ的数学期望Eξ法二:根据超几何分布的期望公式知Eξ(2)记“下达的动作指令表述清晰”为事件A,记“下达的动作指令表述模糊”为事件B,记“机器人成功完成指令”为事件C.由已知得PC因为PC所以0.9−17.(1)x(2)2(1)由题设有a2−b2=11a2+94b故离心率为e=(2)由题设可得AB的斜率必存在且不为零,设AB:y=kx由y=kx−4故kMA=由y=kx−4故Δ=144−576k2>0即又x1故k=−18.(1)(i)因为O到⊙C的距离为2,所以⊙C的半径为42−22=23,所以正六边形A1A2⋯A6的边长为23,所以正六边形A1A2⋯A6的面积为6×34×232=183,且P到⊙C的距离为6,所以六棱锥P−则P0所以A1设平面PA1A3则n令z1=1,得设平面PA2A3则n2令z2=1,得所以cosn(2)由已知,M点在过PQ且与⊙C所在平面垂直的一个平面内,记这个平面为α在平面α内,以O为坐标原点,以PQ为y轴,以PQ中垂线为x轴建立平面直角坐标系,设Mx,y,则因为CA12+OC即x212+y216=1所以tan∠19.(1)y230(1)由fx得f′当a=3时,所以曲线y=fx在点0,f0处的切线方程为(2)因为fx在[0,+∞)上单调递增,所以∀x∈[0,+∞),因为x+1>0,x+a2>0,所以所以a2−2a≥0,又a即a的取值范围为[2(3)①当a≥2时,f′x≥0在−1,+∞上恒成立,所以所以fx②当a=1时,f′x=x2−1x+1x+f′x>0,所以fx所以fx③当1<a<2时,fx令f′x=0,得x1=−2a−a2x∈x1,x2时,f′x<0,所以f所以fx的极大值为fx1,极小值为fx2④当