2025-2026学年江苏省南京市建邺区致远初级中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年江苏省南京市建邺区致远初级中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知⊙O的半径是2，如果点P到圆心O的距离为3，那么点P与⊙O的位置关系是（）A.点P在⊙O外 B.点P在⊙O上 C.点P在⊙O内 D.不能确定2.抛物线y=ax2+c的顶点坐标是（0，2），且形状及开口方向与抛物线y=-x2相同，则a,c的值分别为（）A.-，2 B.-，-2 C.，2 D.，-23.点P为线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，下列说法错误的是（）A. B.

C. D.BP≈0.618AP4.如图，在灯光下，灯光与物体在地面上的影子最合理的是（）A. B.

C. D.5.如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线交BO的延长线于点D，若OB=1，则OD的长为（）​A.2

B.3

C.

D.6.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点（-2，0），（3，0）.下列结论：①；②c=2b；③若抛物线上有点，则y2＜y1＜y3；④当-2＜x＜3时，；⑤点A（m1，n1），B（m2，n2）在抛物线上，且，当m1+m2＞1时，n1＞n2.其中正确结论的个数为（）A.4个

B.3个

C.2个

D.1个二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。7.若，则=

.8.抛物线y=x2+5x+4在x轴上截得的线段长度是

.9.若关于x的方程x2+（k-3）x-k2=0的两根互为相反数，则k=

.10.某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），墙对面有一个2米宽的门（EF），另外三边用木栏围成，木栏长30m.若养鸡场面积为120m2，设AB=xm,则列方程得

.11.图①是一种道路交通隔离警戒设施——交通锥，将其抽象成几何图形，近似地看成圆锥（如图②），测得底面半径r=20cm,母线l=70cm,则圆锥的侧面积是

cm2.（结果保留π）12.小明对自己上学路线的长度进行了20次测量，得到20个数据x1，x2，…，x20，已知x1+x2+⋯+x20=40460，当代数式取得最小值时，的值为

.13.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是直径，点E在上，连接EC，EB，若∠ADC=110°，则∠BEC=

°.

14.实心球是越城区中考体育考试项目之一.某男生训练掷实心球时，实心球行进路线可以看成抛物线的一部分（如图），某次投掷时，实心球从y轴上的点A（0，2）处出手，实心球行进高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系为y=a（x-4）2+4，那么该男生本次投掷可得

分.（参考数据：≈1.41）越城区体育中考评分标准（实心球男）掷实心（m）10.09.609.208.808.408.007.607.207.006.80分值（分）10987654321注：掷实心球距离为a（m），当a≥10.0，得10分，当9.60≤a＜10，得9分，当9.20≤a＜9.60，得8分…依次类推，当a＜6.8时，得0分.15.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点M为BC的中点，点N在CD上，且∠AMN=90°，则CN=

.

16.如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的顶点D（3，2），点P是对角线OC上的一个动点，已知A（-1，0），则AP+BP的最小值是

.

三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

用适当的方法解下列方程：

（1）x2-4x-12=0；

（2）（x-3）2=7x-21.18.(本小题8分)

圆的相交弦定理是这样的：圆内的两条相交弦，被交点分得的两条线段长的乘积相等.如图，⊙O的弦AB，CD交于点P，求证：AP•BP=CP•DP.19.(本小题8分)

某校为了解学生一周课外阅读情况，随机抽取部分学生调查了他们一周课外阅读时间，并将数据进行整理制成如下统计图.请根据图中提供的信息，解答以下问题：

（1）本次调查数据的中位数是______；

（2）抽查的这些学生一周平均的课外阅读时间是多少？

（3）若该校共有2000个学生，请根据统计数据，估计该校学生一周课外阅读时间不少于3小时的人数.20.(本小题8分)

已知二次函数y=ax2+bx-5（a≠0）的图象经过点（-4，-5）.

（1）若a=1，求该函数图象的顶点坐标.

（2）若a＜0，点A（-1，y1），B（m,y2）在该函数图象上，且y1＞y2，求m的取值范围.

（3）当x≥-4时，y≤-1，求该二次函数的解析式.21.(本小题8分)

随着互联网应用的日趋成熟和完善，电子商务在近几年得到了迅猛的发展，某电商以每件40元的价格购进某款T恤，以每件60元的价格出售.经统计，“双11”的前一周（10月30日-11月5日）的销售量为500件，该电商在“双11”期间（11月6日-11月12日）进行降价销售，经调查，发现该款T恤在“双11”的前一周销售量的基础上，每降价1元，周销售量就会增加50件.若要求销售单价不低于成本，且按照物价部门规定销售利润率不高于30%，如何定价才能使利润最大？并求出最大利润是多少元？（利润率=×100%）22.(本小题8分)

为拓展学生的视野，某校准备组织四个课题活动，课题1—5G的发展前景；课题2—航空航天宇宙探索；课题3—传统优秀文化传承；课题4——网络信息筛选.由于课题活动时间重叠，每位同学只能选择一个课题，晓含和小婷两人决定采用抽签的方式确定课题的主题，四支签上分别写有四个课题的名称，晓含从这四支签中随机抽取一支，不放回，小婷再从剩下的三支签中随机抽取一支.

（1）晓含抽到课题1的概率是______；

（2）请用列表或画树状图的方法求晓含和小婷中有一人抽到课题3的概率.23.(本小题8分)

如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE是⊙O的切线，AE⊥CD交CD的延长线于点E.

（1）求证：DA平分∠BDE；

（2）若AE=4cm,CD=6cm,求AD的长.24.(本小题8分)

已知：如图，AM是△ABC的中线，点G是重心，点D、E分别在边AB和BC上，四边形BEGD是平行四边形.

（1）求证DE∥AC；

（2）设，，用向量，表示=______.25.(本小题8分)

用尺规“三等分任意角”是数学史上一个著名难题，它已经被数学家伽罗瓦用《近世代数》和《群论》证明是不可能的.但对于特定度数的已知角，如90°角，45°角等，是可以用尺规进行三等分的.下面是小明的探究过程：

已知：如图1，∠AOB=90°.

求作：射线OE，OG三等分∠AOB.

作法：如图2，

①在射线OB上取任一点C；

②分别以O，C为圆心，OC长为半径画弧，两弧在OB上方交于点E，在OB下方交于点F，连接CE；

③作直线EF交OC于点D；

④以D为圆心，OD长为半径作圆，交线段CE于点G（点G不与点C重合）；

⑤作射线OG，OE.

所以射线OG，OE即为所求射线.

（1）利用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：∵OE=OC=CE，

∴△COE为等边三角形.

∴∠COE=60°.

∴∠AOE=∠AOB-∠COE=30°.

∵OC为⊙D的直径，

∴∠CGO=______°.

又∵OE=OC，OG⊥EC，

∴OG平分∠EOC______（填推理的依据）.

∴∠COG=∠EOG=∠COE=30°.

∴∠AOE=∠COG=∠EOG.

即射线OE，OG三等分∠AOB.26.(本小题8分)

已知二次函数y=x2+bx+c（b,c为常数）的图象经过点A（0，-5）和B（2，7）.

（1）求二次函数的表达式.

（2）若将点B（2，7）向上平移9个单位长度得到B1，作点B2，使B1、B2关于抛物线的对称轴对称，再将B2向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y=x2+bx+c的图象上，求m的值.

（3）当n≤x≤2时，二次函数y=x2+bx+c的最大值与最小值的和为-2，求n的取值范围.27.(本小题8分)

如图1，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆于点D，BE⊥CD，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知BC=5，BE=3.点P，Q分别在线段AB，BE上（不与端点重合），且满足.设BQ=x,CP=y.

（1）求半圆O的半径.

（2）求y关于x的函数表达式.

（3）如图2，过点P作PR⊥CE于点R，连结PQ，RQ.当△PQR为直角三角形时，求x的值.

1.【答案】A

2.【答案】A

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】A

6.【答案】B

7.【答案】

8.【答案】3

9.【答案】3

10.【答案】x（30+2-2x）=120

11.【答案】1400π

12.【答案】2023

13.【答案】20

14.【答案】9

15.【答案】

16.【答案】

17.【答案】解：（1）∵x2-4x-12=0，

∴（x+2）（x-6）=0，

∴x+2=0或x-6=0，

∴x1=-2，x2=6；

（2）∵（x-3）2=7x-21，

∴（x-3）2=7（x-3），

∴（x-3）2-7（x-3）=0，

∴（x-3-7）（x-3）=0，

∴x-3-7=0或x-3=0，

∴x1=10，x2=3．

18.【答案】如图：连接AD，BC，

∵，

∴∠ABC=∠ADC，

∵∠CPB=∠APD，

∴△CPB∽△APD，

∴，

∴AP•BP=CP•DP．

19.【答案】（1）3；

（2）×（1×4+2×8+3×15+4×10+5×3）=3（小时），

答：抽查的这些学生一周平均的课外阅读时间是3小时；

（3）2000×=1400（人），

答：估计该校学生一周课外阅读时间不少于3小时的人数为1400人．

20.【答案】（-2，-9）；

m＜-3或m＞-1；

y=-x2-4x-5．

21.【答案】解：设售价为每件x元，利润为y元，根据题意，得：

y=（x-40）[500+50（60-x）]=-50x2+5500x-140000=-50（x-55）2+11250，

∵销售单价不低于成本，且按照物价部门规定销售利润率不高于30%，

∴，

解得40≤x≤52，

∵a=-50＜0，

∴抛物线开口向下，

∵抛物线的对称轴为直线x=55，

∴当40≤x≤52时，y随x的增大而增大，

∴当x=52时，y有最大值，最大值为y=-50（52-55）2+11250=10800（元），

答：当定价为每件52元，才能使利润最大，最大利润是10800元．

22.【答案】（1）；

（2）列表如下，晓含小婷课题1课题2课题3课题4课题1课题1，课题2课题1，课题3课题1，课题4课题2课题2，课题1课题2，课题3课题2，课题4课题3课题3，课题1课题3，课题2课题3，课题4课题4课题4，课题1课题4，课题2课题4，课题3共有12种等可能结果，符合题意的有6种，

∴晓含和小婷中有一人抽到课题3的概率为．

23.【答案】（1）证明：∵AE是⊙O的切线，

∴AO⊥AE，

∵AE⊥CD，

∴OA∥CE，

∴∠OAD=∠ADE，

∵AO=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∴∠ODA=∠ADE，

即DA平分∠BDE；

（2）解：过点O作OF⊥CD，垂足为点F．

∵∠OAE=∠AED=∠OFD=90°

∴四边形AOFE是矩形．

∴OF=AE=4cm.EF=OA，

又∵OF⊥CD，

∴DF=CD=3cm.

在Rt△ODF中，OD==5cm,

即⊙O的半径为5cm,

∴EF=OA=5cm,

∴ED=EF-DF=5-3=2cm,

在Rt△AED中，AD==2cm.

24.【答案】（1）证明：∵G是△ABC的重心，

∴AG=2GM，

∵四边形BEGD是平行四边形，

∴GE∥AB，DG∥BM，

∴BE：EM=AG：GM，

∴BE=2ME，

∴BE=MB，

∵AM是△ABC的中线，

∴MB=BC，

∴BE=BC，

∵DG∥BM，

∴BD：AD=MG：AG，

∵G是△ABC的重心，

∴MG=AG，

∴BD=AD，

∴BD=BA，

∴BD：BA=BE：BC=，

∵∠DBE=∠ABC，

∴△BDE∽△BAC，

∴∠BDE=∠BAC，

∴DE∥AC；

（2）

（-）．

25.【答案】90

等腰三角形三线合一

26.【答案】解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c（b,c为常数）的图象经过点A（0，-5）和B（2，7），

∴，

∴．

∴抛物线为y=x2+4x-5．

（2）∵y=x2+4x-5=（x+2）2-9，

∴抛物线的对称轴为直线x=-2，

∵将点B（2，7）向上平移9个单位长度得到B1，作点B2，使B1、B2关于抛物线的对称轴对称，

∴B1（2，16），

∴B2（-6，16），

∵再将B2向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y=x2+bx+c的图象上，

∴将B2向左平移m（m＞0）个单位长度得到（-6-m,16），

把点（-6-m,16）代入y=x2+4x-5得，