2025年高考数学解密之计数原理

2025年高考数学解密之计数原理

一,选择题（共10小题）

1.（2024•杳河县校级模拟）的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数

X

项为（）

A.-160B.-20C.20D.160

2.（2024•李沧区校级二模）2024年1月1日，第五次全国经济普查正式启动.甲、乙、丙、丁、戊5名普

查员分别去城东、城南、城西、诚北四个小区进行数据采集，每个小区至少去一名普查员，若甲不去城东，

则不同的安排方法共有（）

A.36种B.60种C.96种D.180种

3.（2024•市中区校级模拟）若（4+之）"展开式中只有第6项的二项式系数最大，则〃=（）

x

A.11B.10C.9D.8

4.（2024•口照一模）今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他的

同学一行四人决定去看这三部电影，则恰有两人看同-部影片的选择共有（）

A.9种B.36种C.38种D.45种

5.（2024•四川模拟）2023世界科幻大会在成都举办，主题场馆以自由、扩散、无界的未来建筑形象诠释科

学与科幻主题，提取古蜀文化中神秘''古蜀之眼（黄金面具）”融入“星云”屋顶造型，建筑首层围绕共享中

庭设置了剧场、主题展区及博物馆三大主题空间.现将4名志愿者安排到这三个主题空间进行志愿服务,

则每个主题空间都有志愿者的不同的安排方式有（）

A.6种B.18种C.24种D.36种

6.（2024•浑南区校级模拟）将5名志愿者分配到三个社区协助开展活动,每个社区至少1名，则不同的分配

方法数是（）

A.300B.240C.150I）.50

7.（2024•德阳模拟）在（2+幻（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）

A.70B.60C.55D.50

8.（2024•广东模拟）（2彳-），）5的展开式中产），3的系数为（）

A.80B.-80C.40D.-40

9.（2024•红谷滩区校级模拟）由未来科学大奖联合中国科技馆共同主办的“同上一堂科学课”一一科学点

燃青春:未来科学大奖获奖者对话青少年活动于2023年9月8日在全国各地以线上线下结合的方式举行.现

有某市组织5名获奖者到当地三个不同的会场与学生进行对话活动,要求每个会场至少派一名获奖者,每名

获奖者只去一个会场,则不同的派出方法有（）

A.60种B.120种C.150种D.240种

10.（2024•船营区校级一模）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行演讲比赛，决出第1名到第5名的名次.已

知甲和乙都不是第1名，且丙和丁的名次相邻，则5人的名次排列可能有（）种不同的情况.

A.18B.24C.36D.48

二.多选题（共5小题）

11.（2024•城区校级模拟）若f=N+q（x—1）+出（工一+…+/（%-1）*,其中,%，…，/为实数,则

()

A.a。=1B.a6=56

C.4+q+4+弓=128D.a2+a4+a6+aK=\21

12.（2024•长沙三模）瑞士数学家4曲历反〃“"〃于17世纪提出如下不等式：Vx>-1,有

(l+x)r>l+/:v,r>l

,请运用以上知识解决如下问题:若0v〃v1,0<〃<1,a/〃，则以下不等式正确的

(l+x)r<l+/:r,0<r<1

是（）

A.d'+bh>\B.cl'+ba>1C.D.au+bh<ah+ba

13.（2024•怀仁市校级四模）下列等式中正确的是（）

A.tc：=28B.方

k=\k=2

CD,9C）2=。

K=2A・b.*=O

14.（2024•江苏模拟）在二项式（6--Ly的展开式中，下列说法正确的是（）

2x

A.常数项是"B.各项的系数和是64

4

C.第4项二项式系数最大D.奇数项二项式系数和为-32

15.（2024•越秀区校级-模）带有编号1、2、3、4、5的五个球，则（）

A.全部投入4个不同的盒子且，共有4$种放法

B.放进不同的4个盒子里,每盒至少一个，共有4种放法

C.将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入L共有20种放法

D.全部投入3个不同的盒子里,没有空盒,共有140种不同的放法

三,填空题（共5小题）

16.(2024•锦州模拟)已知4,a2,ayfe{l,2,3,4),N(q,a2,4，&)为q,%,%,%中不同数字的种类,

如N(l,l,4,3)=3,N(2,4,4,2)=2,(1,2,2,1)与(1,2,1,2)视为不同的排列，则(q,%,%,内)的不同

排列有一个（用数字作答）：所有的排列所得N（%,%，%，4）的平均值为一.

17.（2024•黄浦区校级三模）用1~9这九个数字组成的无重复数字的四位数中，各个数位上数字和为偶数的

奇数共有一个.

18.（2024•射洪市校级模拟）从5名男生和6名女生中，选出3名代表,要求3名代表中既有男生又有女生

的选法有一种.

19.（2024•濮阳模拟）第一届全国学生（青年）运动会开幕式于2023年11月5H在广西举行，举办本届学青

会是推动新时代青少年和学校体育改革发展，增强青少年和学生体质、促进竞技体育后备人才培养的重要

措施.为了加强宣传力度，某体育协会从甲、乙等6人中选派4人到A,B,C,。四个不同的区域参加宣传

活动，每人去一个区域，其中甲、乙至少有一人参加且甲不去A区域的选派方法共有一种（用数字作答）.

20.（2024•闵行区校级二模）如图，设点P为正四面体A-BCD表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P

到四个顶点的距离组成的集合记为M,如果集合M中有且只有2个元素,那么符合条件的点P有个.

四,解答题（共5小题）

21.（2024•浙江模拟）最近的一次数学竞赛共6道试题，每题答对得7分，答错（或不答）得0分.赛后某参

赛代表队获团体总分161分，且统计分数时发现:该队任两名选手至多答对两道相同的题目，没有三名选手

都答对两道相同的题目.试问该队选手至少有多少人？

22.（2024•黔南州二模）1799年,哥廷根大学的高斯在其博士论文中证明了如下定理:任何复系数一元〃次

多项式方程在复数域上至少有一根（〃.」）.此定理被称为代数基本定理，在代数乃至整个数学中起着基础作

用,由此定理还可以推出以下重要结论：〃次复系数多项式方程在复数域内有且只有〃个根（重根按重数计

算对于八次复系数多项式/3=亡+%―+…+甲+%,其中％,­，…，&eC,若方程f（x）=O有

〃个复根内，Z，…，工，则有如下的高阶韦达定理:

2025年高考数学解密之计数原理

参考答案与试题解析

一.选择题（共io小题）

1.（2024•香河县校级模拟）的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数

x

项为（）

A.-160B.-20C.20D.160

【答案】A

【考点】二项展开式的通项与项的系数

【专题】数学运算：二项式定理；转化思想；转化法

【分析】先求出〃的值,再结合二项式定理,即可求解.

【解答】解：。-2）”（〃£7・）的展开式中只有第四项的二项式系数最大，

x

则〃=6,

（x--）6的展开式的通项为却=C；尸（-2y=Q（-2）“j,

XX

令6—2厂=0,解得，=3,

故展开式中的常数项为C；（-2）3=-160.

故选：A.

【点评】本题主要考杳二项式定理，属「基础题.

2.（2024•李沧区校级一模）2024年1月1日，第五次全国经济普查正式后动.甲、乙、丙、丁、戊5名普

查员分别去城东、城南、城西、城北四个小区进行数据采集，锤个小区至少去一名普查员，若甲不去城东,

则不同的安排方法共有（）

A.36种B.60种C.96种D.180种

【答案】D

【考点】简单组合问题

【专题】转化思想；计算题；排列组合；数学运算；综合法

【分析】利用分步计数原理分两步:①先安排甲,②再安排其它4名普查员，分为两种情况：1、安排甲去的

小区就甲一个人,2、安排甲去的小区有2人，由分步计数原理计算可得答案.

【解答】解:①先安排甲，甲不去城东，有C；=3种，

②安排其它4名普查员，

分为两种情况：】、安排甲去的小区就甲一个人,那其它4人按2,1,1分配,有窄

•父=36种,

2、安排甲去的小区有2人,则除甲以外4人全排即可,有A：=24种，

所以一共有3x（36+24）=180种.

故选：D.

【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于中档题.

3.（2024•市中区校级模拟）若加+/）"展开式中只有第6项的二项式系数最大，则〃=（）

X

A.11B.10C.9D.8

【答案】B

【考点】二项式定理

【专题】转化思想；综合法；二项式定理；数据分析

【分析】由题意利用二项式系数的性质，求得〃的值.

【解答】解:若（6+之）"展开式中只有第6项的一项式系数最大C；最大，则〃=10,

x

故选：B.

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属于基础题.

4.（2024•日照一模）今年贺岁片、《笫二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他的

同学一行四人决定去看这三部电影，则恰有两人看同-部影片的选择共有（）

A.9种B.36种C.38种D.45种

【答案】B

【考点】排列组合的综合应用

【专题】对应思想；分析法；排列组合；数学运算

【分析】先安排2人看同一部影片,再安排剩余2人,利用排列组合知识进行求解.

【解答】解:从4人中选择2人看同一部影片,再从3部影片中选择一部安排给这两人观看,剩余的2人,2

部影片进行全排列，

故共有=6x3x2=36种情况.

故选：B.

【点评】本题考杳了排列组合的问题,属于基础题.

5.（2024•四川模拟）2023世界科幻大会在成都举办，主题场馆以自由、扩散、无界的未来建筑形象诠释科

学与科幻主题，提取古蜀文化中神秘"古蜀之眼（黄金面具）”融入“星云”屋顶造型,建筑首层围绕共享中

庭设置了剧场、t题展区及博物馆三大土题空间.现将4名志愿者安排到这三个土题空间进行志愿服务，

则每个主题空间都有志愿者的不同的安排方式有（）

A.6种B.18种C.24种D.36种

【答案】。

【考点】排列组合的综合应用

【专题】对应思想：分析法；排列组合；数学运算

【分析】根据排列组合的分组分配问题计算即可.

【解答】解:首先将志愿者分成三组共有C：=6种,安排到三个主题空间有A；=6种，

故不同的安排方式有6x6=36种.

故选：D.

【点评】本题考查排列组合的应用，属「基础题.

6.（2024•浑南区校级模拟）将5名志愿者分配到三个社区协助开展活动,每个社区至少1名，则不同的分配

方法数是（）

A.300B.240C.150D.50

【答案】C

【考点】排列组合的综合应用

【专题】综合法；排列组合；数学运算；整体思想

【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合分类加法计数原理及分步乘法计数原理求解.

【解答】解:先将5名志愿者分为3组，

则有竽+竽=25种分法，

再将这3组分给三个社区，

有A；=6种分法，

则不同的分配方法数是25x6=150.

故选：C.

【点评】本题考有了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法计数原理及分步乘法计数原理，属基

础题.

7.（2024•德阳模拟）在（2+工）（1+幻6的展开式中，含丁项的系数为（）

A.70B.60C.55I）.50

【考点】D4:二项式定理

【专题】35:转化思想；4R:转化法；5P:二项式定理

【分析】根据（1+幻6展开式的通项公式,即可得出（2+幻（1+.好的展开式中含丁项的系数.

【解答】解：（1+16展开式的通项公式为

所以（2+x）（l+."的展开式中，含丁项的系数为：

2・C；+C；=55.

故选：C.

【点评】本题主要考查了二项式定理的应用，二项展开式的通项公式,属于基础题.

8.（2024•广东模拟）（2..），）5的展开式中产炉的系数为（）

A.80B.-80C.40D.-40

【答案】D

【考点】二项式定理

【专题】转化思想；综合法；二项式定理；数学运算

【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中f），3的系数.

【解答】解：（2工-»的展开式的通项公式为I1=G-（2］）~•（-），）「，

令，•=3,可得展开式中J2/的系数为—C；♦2?=-40,

故选：D.

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式,属于基础题.

9.（2024•红谷滩区校级模拟）由未来科学大奖联合中国科技馆共同主办的“同上一堂科学课”一一科学点

燃青春:未来科学大奖获奖者对话青少年活动于2023年9月8日在全国各地以线上线下结合的方式举行.现

有某市组织5名获奖者到当地三个不同的会场与学生进行对话活动，要求每个会场至少派一名获奖者,每名

获奖者只去一个会场,则不同的派出方法有（）

A.60种B.120种C.150种D.240种

【答案】C

【考点】排列组合的综合应用

【专题】数学运算；排列组合；整体思想；综合法

【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合分类加法计数原理求解.

【解答】解:要求每个会场至少派一名获奖者,每名获奖者只去一个会场，

则不同的派出方法有理A；+与大=150种.

故选：C.

【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法计数原理，属中档题.

10.（2024•船营区校级一模）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行演讲比赛，决出第1名到第5名的名次.已

知甲和乙都不是第1名，且丙和丁的名次相邻,则5人的名次排列可能有（）种不同的情况.

A.18B.24C.36D.48

【答案】B

【考点】部分元素相邻的排列问题

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法：排列组合；运算求解

【分析】根据题意,将丙和丁看成一个整体,按丙和丁的位置分4种情况讨论，由加法原理计算可得答案.

【解答】解:根据题意，将丙和丁看成•个整体，

分4种情况分析：

①丙和丁的整体分别为第1、2名，有8片=12种情况，

②丙和丁的整体分别为第2、3名，第一名只能为戊，甲和乙分别为第4、5名，有种情况，

③为和丁的整体分别为第3、4名，第一名只能为戊，甲和乙分别为第2、5名，有gA；=4种情况；

④为和丁的整体分别为第4、5名，第一名只能为戊，甲和乙分别为第2、3名，有尺A；=4种情况；

则有12+4+4+4=24种情况.

故选：B.

【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题.

二.多选题（共5小题）

11•（2024•城区校级模拟）若-=%+q（x-1）+々（1—+…+%（上一I）*,其中%,4,生，…，4为实数,则

（）

A.t/0=1B.a6=56

C.q+火+G=128D.+£7K=127

【答案】ACD

【考点】二项式系数的性质

【专题】综合法；数学运算；二项式定理；逻辑推理；转化思想；计算题

【分析】根据题意，令，=x-l,则原式转化为0+1)8=%+卬+々/+…+如8,结合赋值法,以及二项展开式

的性质，逐项判定，即可求解.

【解答】解：由f=%+4(X—1)+4(X—1)2+…+t/8(X—1)8,

令，=%—1,则原式转化为a+i)8=/+4/+&J+•••+//，

对于A中，令/=(),可得4=1,所以A正确；

对于B中，由二项式定理的展开式,可得q=谖=28,所以B不正确；

对于。和。中，令/=1,可得《)+4+%+…+/=2)

令f=_],得4-a1+a2--+q=0,

所以4+%+%+%=4+/+&+q6+/=2'=128,所以生+6+4+4=127,

所以C、。正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式,组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题.

12.(2024•长沙三模)瑞士数学家4而曲发〃以“〃于17世纪提出如下不等式：Vx>-1,有

(\+x)r>\+rx,r>\，请运用以上知识解决如下问题:若ov〃v],o<〃<]“工仇则以下不等式正确的

(l+.r)r<I+/:v,()</•<!

是()

A.a,1+bb>]B.ab+/?">1C.D.au+bh<af,+ba

【答案】ABC

【考点】二项式定理

【专题】转化思想：构造法；定义法：导数的综合应用；逻辑推理；数学运算

【分析】选项A中，根据题意得出a”>L/八L求和即可；

22

选项B中，根据题意得出ah>—ha>—根据同向不等式相加,求解即可；

a+btb+uy

选项C、D,不等式"+Z/'+",可化为必—/?”>ah-a1',构造函数力(x)=d一/,利用导数判断函数的

单调性,求解即可.

【解答】解:对于A,因为出〃。之」>一/〃2,所以〃“/，则/+廿'+』=1;

e222

对于8,因为=-j!->——\—>'=二，同理>—,则/+匕。>—+—=1；

(9i+£a+bb+aa+bb+a

aaa

对于C,要证明aa+bb>ah+ba,也即证明bb-ba>ab-a\只要证明b,,x<l时，h(x)=f—x"在区间g,1)

上单调递减.

求导数,得h\x)=叱一axa-'=加z(---)，由2一/"=o,得％=(2产，且/t>(),

aaa

结合辕函数y=尸的性质得：当xN昌£时，力(戏,0,〃(幻在区间心启，长o)上单调递减，即x=也启

aaa

时，函数h(x)取得最大值，从而只需证明b>(-)^，变换得：-<b(>-b^>->(-rh,因为

aabb

('yMna+'_Da.vl+a—Dm—hnZ+8—avZ,故得证；

综上,若0<。<avI,不等式n"+k>a"+〃"成立,选项C正确，D错误.

故选：ABC.

【点评】本题考杳了函数与不等式的应用问题，也考查了推理与运算能力，是难题.

13.(2024•怀仁市校级四模)下列等式中正确的是()

A.

C.

【答案】BCD

【考点】组合及组合数公式

【专题】数学运算；综合法；转化思想；计算题；排列组合；二项式定理；逻辑推理

【分析】直接利用二项式的展开式以及组合数的变换求出结果.

【解答】解:对于儿tc=C)+C+C；+…—1=2'—1工2',故4错误：

&=|

对于8:次C；=2+C；+...+C：=C；,故4正确；

欠=2

•工厂k一】k!—(k—1)!11-1.11111.1p侬

对于C:---=----------=----------，故〉----=1——+------+...+------=1——，故HC正确；

k\上!伏一1)!(A:-1)!k!金k!2!2!3!7!8!8!

对于Q:(1+x)8(l+x)8=(l+x)16，对于(I+x),6，其含有f的项的系数为咪，对于(I+4•(1+x)8,要得到含

有要从第一个含有f的项的系数，需要从第一个式子中取出2个孙再从第二个式子中取出8—%个处对应

的系数为之C；.淄=力(C：)2=叱，故。正确.

故选：BCD.

【点评】本题考查的知识点:二项式的展开式,组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题.

14.(2024•江苏模拟)在二项式(五--1)6的展开式中，下列说法正确的是()

2x

A.常数项是"B.各项的系数和是64

4

C.第4项二项式系数最大D.奇数项二项式系数和为-32

【答案】AC

【考点】二项式定理

【专题】数学运算；转化法；二项式定理：转化思想

【分析】利用二项式展开式通项可判断A选项：利用各项系数和可判断8选项；利用二项式系数的性质可

判断。选项；求出奇数项的二项式系数和可判断O选项.

【解答】解:二项式（4-J-）6的展开式通项为a=c：・（&严・（--!-）•=域•（二）上•『等.

lx2x2

令3-1k=0,可得〃=2,故常数项是C〉（-g）2=?,A正确；

各项的系数和是（1-56=2，4错误；

二项式展开式共7项,故第4项二项式系数最大，C正确：

奇数项二项式系数和为2、=32,。错误.

故选:AC.

【点评】本题主要考查二项式定理,属于基础题.

15.（2024•越秀区校级一模）带有编号1、2、3、4、5的五个球，则（）

A.全部投入4个不同的盒子旦,共有4$种放法

B.放进不同的4个盒子里,每盒至少一个，共有4种放法

C.将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有20种放法

D.全部投入3个不同的盒子里,没有空盒,共有140种不同的放法

【答案】AC

【考点】排列组合的综合应用

【专题】排列组合；数学运算；定义法；对应思想

【分析】利用分步计数原理直接判断选项A,利用组合、排列的结合判断选项4CD.

【解答】解:对于4：由分步计数原理，

五个球全部投入4个不同的盒子里共有4$种放法，故A正确；

对于8：由排列数公式，

五个不同的球放进不同的4个盒子里,每盒至少一个,共有盘4：种放法，故8错误；

对于C：将其中的4个球投入一个盒子里共有=20种放法,故C正确；

对于D:全部投入3个不同的盒子里,没有空盒,

共有：+*6=150种不同的放法,故。错误.

故选：AC.

【点评】本题考查分步计数原理以及组合、排列相关知识，属于中档题.

三.填空题（共5小题）

16.（2024•锦州模拟）已知4,a2,ay,4cH，2,3,4},,a2,ay,4）为q,%,%中不同数字的种类,

如N（l,l,4,3）=3,N（2,4,4,2）=2,（1,2,2,1）与（1,2,1,2）视为不同的排列，则（q,生，。4）的不同

排列有256个（用数字作答）:所有的排列所得N（4,生，%,4）的平均值为一.

【答案】256；—.

64

【考点】排列组合的综合应用；用样本估计总体的集中趋势参数

【专题】数学运算；整体思想；综合法；排列组合

【分析】本题首先可以确定N（«,生，处，/）的所有可能取值分别为1、2、3、4,然后分别计算出每一种

取值所对应的排列个数，进而得到每一种取值所对应的概率，最后根据每一种取值所对应的概率即可计算

出N（4,%，/，4）的平均值.

【解答】解：由题意可知，（q,%,%，4）的不同排列有4x4x4x4=256个,

1_1

当N（q,a2,生，/）=1时，E=4义

当、今叶p6K（C十C：十C）8421

当M4，%—）=2时，-—-------------=砺=@

*、2叶n4x3（6+3+3）1449

TN（%,出，％：%）=3时，P、=------j-----=—=—J

4ZJOIo

当N（4，“2,4，4）=4时，P4=寿=会=4，

4Z3O3，

综上所述，所有的256个⑷：生：的，/）的排列所得的N©,a2,小，4）的平均值为：

I-21

lx——+2x——+3XU=B

6464163264

故答案为：256；—

64

【点评】本题主要考查了排列组合知识，考查了平均值的计算,属于中档题.

17.（2024•黄浦区校级三模）用1~9这九个数字组成的无重复数字的四位数中，各个数位上数字和为偶数的

奇数共有840个.

【考点】数字问题

【专题】整体思想；综合法；排列组合；数学运算

【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合分步乘法计数原理及分类加法计数原理求解.

【解答】解:用1〜9这九个数字组成的无重复数字的四位数中，各个数位上数字和为偶数的奇数可分为2

类：

①当数位上数字为奇数且个数为2时，

则有C；C：C；6=720个；

②当数位上数字为奇数且个数为4时，

则有4=120个，

则各个数位上数字和为偶数的奇数共有720+120=840个.

故答案为：840.

【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分步乘法计数原理及分类加法计数原理，属中

档题.

18.（2024•射洪市校级模拟）从5名男生和6名女生中，选出3名代表，要求3名代表中既有男生又有女生

的选法有135种.

【答案】135.

【考点】从不同类别人员物品中进行挑选的组合问题

【专题】数学运算；综合法；排列组合；整体思想

【分析】根据条件，利用分类、分步计数原理及组合，即可求出结果.

【解答】解：3名代表中有1名男生,2名女生的选法有C；C；=5x等=75,

3名代表中有2名男生，1名女生的选法有。；堞=甲、6=60,

所以3名代表中既有男生又有女生的选法有75+60=135.

故答案为：135.

【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法计数原理，属基础题.

19.（2024•濮阳模拟）第一届全国学生（青年）运动会开幕式于2023年11月5H在广西举行，举办本届学青

会是推动新时代青少年和学校体育改革发展,增强青少年和学生体质、促进竞技体育后备人才培养的重要

措施.为了加强宣传力度，某体育协会从甲、乙等6人中选派4人到八，B,C,。四个不同的区域参加宣传

活动，每人去一个区域，其中甲、乙至少有一人参加且甲不去A区域的选派方法共有276种（用数字作

答）.

【答案】276.

【考点】简单组合问题

【专题】对应思想；定义法；排列组合；数学运算

【分析】根据给定条件，按甲参加与甲不参加分类，再结合有限制条件的排列问题列式计算即得.

【解答】解:依题意，由甲、乙至少有一人参加,得甲参加与甲不参加乙必参加两种情况，

当甲参加时，有G6种选派方法,当甲不参加时，有种选派方法，

所以不同选派方法种数是CX+=180+96=276.

故答案为：276

【点评】木题考查排列组合相关知识，属于中档题.

20.（2024•闵行区校级二模）如图，设点夕为正四面体人-及中表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P

到四个顶点的距离组成的集合记为M,如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点。有10

个.

【答案】10.

【考点】排列组合的综合应用

【专题】综合法；整体思想；数学运算；排列组合

【分析】根据分类计数原理求解即可.

【解答】解:符合条件的点?有两类：

一:六条棱的中点；二，四个面的中心；

集合M中有且只有2个元素,符合条件的点户有4+6=1（）个.

故答案为：10.

【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考杳了分类加法计数原理，属基础题.

四.解答题（共5小题）

21.（2024•浙江模拟）最近的一次数学竞赛共6道试题，每题答对得7分，答错（或不答）得0分.赛后某参

赛代表队获团体总分161分，且统计分数时发现:该队任两名选手至多答对两道相同的题目，没有三名选手

都答对两道相同的题目.试问该队选手至少有多少人？

【答案】7.

【考点】排列组合的综合应用

【专题】逻辑推理；排列组合；转化法；转化思想

【分析】利用图表列举所有情况,结合排列组合公式计算求解即可.

【解答】解：设该队有〃名选手，分别记为6,％,记6道题的编号依次为1,2,…，6,以编号为行、选

手为列作一个6x〃的方格表,

如果选手4a=1,2,〃)答对第;0=1,2,6)题，就将方格表中第"亍第i列的小方格(川)的中心染成红点,

我们的问题就是在6x〃的方格表中，不存在“横”6点矩形和“纵”6点矩形L--加情况，且至

少有23个红点时，求〃的最小值.

如第1列有6个红点,那么，后面各列至多有2个红点，

因为C：=15〉9,于是，取第2至列,其中第2至9列每列有2个红点，第10列1个红点(如图)满足题设,

这说明〃的最小值不大于10.

aifl2%a4a5a6a7a8a9al()Qn

1・••

2••■•

3・•••■

1••・••

3•・•■

6••

我们发现,可通过将第1列中某点移到此点所在行的其他列中来减少图6的列数，

如作移动(6,1)-(6,2),可同时作移动(4,10)7(6,3),(3,9)->(6,4),(5,9)->(6,7),这样便得到有

23个红点的图甲，

类似地可得图乙,这说明〃的最小值不大于7.

aaaaaaa

Qla2G3a4QSa6a7a8i234567

1••■1•••

2••••2•••o

3■•••3•■■・

4•••■4■••o

5•••5o••

6o©o•o6o0•o

图甲图乙

下面证明：〃的最小值大于6.

对于一个恰有6列的方格表，由抽屉原理知至少有一列红点数不少于4,不妨设第1歹％且第1列的前4行的

小方格的中心是红点，

如果某列有2个红点,则称其为某列上的一个红点“行对”，这样在前4行中，除第1列外的5列中每列只

能有一个行对.于是，前4行中总共有盘4-5=11个行对.

考虑最后两行:若第1列还有红点,那么，有红点的这一行不能再有其他的红点，如第1列还有2个红点，这

时能增加9个行对，6x6方格表中共有11+9=26个行对；

如第1列还有1个红点,不妨设第1列第5行的小方格有红点，

这时即使第6行除第1列外的其他小方格都有红点,那么，可增加C：+5x2=14个行对，6x6方格表中共有

11+14-25个行对：

如第1列没有其他的红点,那么，在最后两行中最多还有两个行对,这两个行对占去了两列,在余下的三列中,

每列最多有1个红点，

于是，可增力口行对2x5+3x2=16个,这时，6x6方格表中最多有11+16=27个行对.这说明27是可能的行

对总数的最大值，

设第i列的红点数为=6),且储=八则所有行对的总数fcj<27,

1=11=1

即以”之升2454,

r-1r-1

由柯西不等式有£A；22：/，

所以匕义+54,

6

解得3同WAW3+3厉，

由改为正整数知七21,这说明6x6方格表中红点个数最多为21个，

又当&5时,方格表中红点总数不大于4x5=26个,这说明〃的最小值不小于7.

综上,该代表队至少有7名选手.

【点评】本题考查排列组合的应用，属于难题.

22.(2024•黔南州二模)1799年,哥廷根大学的高斯在其博士论文中证明了如下定理:任何复系数一元〃次

多项式方程在复数域上至少有一根(九.1).此定理被称为代数基本定理，在代数乃至整个数学中起着基础作

用.由此定理还可以推出以下重要结论•〃次复系数多项式方程在复数域内有且只有〃个根(重根按重数计

算.对于〃次复系数多项式/(A)=Z+%/+…++%,其中%,可_2，…，4)£C，若方程/*)=0有

〃个复根玉，起,…，勺，则有如下的高阶韦达定理:

£若=一凡_|,

.

E为勺=。”-2，

ZX//*=一6-3,

网vjvkn

r,

A)x2...A-rt=(-l)a0-

⑴在复数域内解方程V+4=0；

⑵若三次方程V+加+6+。=0的三个根分别是玉=l-i,x2=\+i,当=2（，为虚数单位），求明力，c的

值；

⑶在〃..4的多项式/（x）=x"+q_/"T+…+qx+%中，已知的=7,q=-〃％,ati=a,a为非零实数,且

方程/。）=0的根恰好全是正实数，求出该方程的所有根（用含〃的式子表示）.

【答案】⑴x=±2i；

⑵以=4,b=6,c=-4；

⑶一—LL

内SXnn

【考点】类比推理；二项式定理；复数的运算

【专题】综合法；逻辑推理；数学运算；二项式定理；数系的扩充和复数：转化思想；计算题

【分析1（1）根据题意直接解方程即可；

⑵根据题意结合韦达定理分析运算求解；

⑶根据题意结合韦达定理可得%+勺+…+乙=1，结合不等式可得-+-+—../72,由

XX?4

+•••+马七…%（T严（一痴）可得L_J_+…+J_=〃2,结合不等式成立条件分析

lg,f=（T）〃％0X”

求解.

【解答】解：⑴由丁+4=0,可得丁=-4,解得x=±2i.

x,十占十巧——a

（2）由题意可知：•卬：2+巧为+XW=b,

x,x2x3=-c

4=-a

将芭=I一,&=1+i,七=2代入可得,6=A,

4=-c

所以a=4,b=6,c=-4.

⑶设d，6=S]也，…也）»

41，■一,打,♦♦•，b。＞0,

因为|无/；|”\3\\b\,当且仅当〃〃〃时，等号成立,

可得|+a2b2+…+anbn\„+④■!---卜%,亚；+与+…+b；,

即岫+〃也+…+a,",Ja；+片+…+a：­Jb；+忧+…+b；,当且仅当"=&=3=幺■时，等号成立,

-

_4包bn

囚为方程f（x）=x“+c*x"」十…十a/十4=0的根恰好全是正实数，

2

设这n个正根分别为%,x2,...,K“且an_,=-1,a,=-na,%=a,

xt+x2+---+xM=1

由题意可知：<不占…Z+马…x“_2S+…+占用…5=（一1）"T（一〃％）,

■一•••一=（一1）〃

因为X+与+…+X”=I，且用，工2,…，X”均为正数,

mi|111,、/111、

则一+—+…+—=(%+X0+…+X“)(一+—+…+—)

4电左-%&X”

当且仅当,=■!■=…='=L时，等号成立，

X&X”n

又因为•*•“"-I+$一+…+4243…Zj]।+_J__（T）（-〃。）_

X/2…冗K々％（-1）%

11I

即Hn一+——+…+—=,

所以L=...=—=—.

X工24n

【点评】本题主要考查二项式定理,复数的运算,考杳运算求解能力,属于难题.

23.（2022•兰州一模）（1）学校开设了7门选修课,要求每个学生从中选学4门,共有多少种不同的选法？

⑵从参加羽毛球团体比赛的6名运动员中选出3名，并按排定的顺序出场比赛,有多少种不同的选法？

【答案】（1）35,⑵120.

【考点】排列组合的综合应用

【专题】排列组合：方程思想；计算题；数学运算；定义法

【分析】（1）根据题意，由组合数公式计算可得答案；

（2）根据题意，由排列数公式计算可得答案.

【解答】解：（1）学校开设了7门选修课，要求每个学生从中选学4门，共有C；=35种不同选法:

⑵从参加羽毛球团体比赛的6名运动员中选出3名，并按排定的顺序出场比赛,共有《=120种.

【点评】本题考查排列组合数公式的应用，注意排列、组合的不同,属于基础题.

24.（2020•宿城区校级模拟）已知〃为给定的正整数,设（1+外”=%+/x+%/+…+。”父,xeR，

⑴若〃=4,求%,q的值:

⑵若％=2,Z（〃-A"*的值.

3k=o

【答案］⑴《）=3，4=&；⑵L?.

81273

【考点】二项式定理

【专题】转化思想：转化法；排列组合：二项式定理：数学运算

【分析】⑴利用二项式展开式公式计算〃=4时4和q的值;

⑵由x二时，写出《丁，利用贮=〃比，讨论〃=1和〃..2时,计算£-f的值即可.

3A=O

【解答】解：（1）因为〃=4,

所以4）=《・（：）4=：,4=C：•（，=5；

Jo15，/

⑵当x=|时，"=《.（支忆审，

n\（〃一1）!

又因为％C；=h

k\（n-kY.（左一1）!（〃一k）!

当〃=1时,£（〃_手什=c•（今:；

jt=o33

当〃..2时，£（71-幻•4•/=t（i）C.&尸•（》

eho33

=2〃鸣1/9-1H1o

上旬JJgJJ

=〃&+%一次仁公产“3

J3JJ

JIJJ

7I7

=n--n（-+-r'

333

=上〃，当刀=1时，也符合.

3

所以£>-或*的值为4.

«=«3

【点评】本题考杳了组合数公式W二项式定理的应用问题，也考杳了推理与计算能力，是中档题.

25.(2022•兰州一模)已知二项式(1+3x)7.

⑴求展开式的第三项的系数；

⑵求展开式的二项式系数之和.

【答案】⑴189；(2)128.

【考点】二项式系数与二项式系数的和

【专题】综合法；转化思想；二项式定理；数学运算

【分析】(1)根据二项式的展开式的通项即可求解；

⑵根据二项式系数之和的结论即可求解.

【解答】解：⑴」二项式(1+3幻’的展开式的通项为：*=C；Y3x)「

.•・展开式的第三项的系数为C；•£=189；

⑵二项式(1+3x)7的展开式的二项式系数之和为27=128.

【点评】本题考查二项式的展开式的通项的应用，二项式系数之和的结论的应用，属基础题.

考点卡片

1.复数的运算

【知识点的认识】

复数的加、减、乘、除运算法则

设N1=a+bi，N2=c+di(a，b,c,R),贝