余数的世界：除法运算的拓展与模型建构（二年级下册数学教案）

余数的世界：除法运算的拓展与模型建构（二年级下册数学教案）

一、设计理念与理论依据

（一）核心素养导向

本节课立足于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心要求，聚焦于小学生数学核心素养的早期培育。重点发展学生的数感、运算能力、推理意识和模型意识。“有余数的除法”不仅是表内除法的自然延伸，更是学生从“整除”的确定性思维迈向“非整除”的复杂性、现实性思维的关键阶梯。本设计致力于引导学生理解余数产生的必然性，掌握余数小于除数的核心规律，并初步体验如何用数学的模型（除法算式）去表征和解决现实生活中的“平均分有剩余”问题，为后续学习多位数除法、分数、小数乃至循环概念奠定坚实的认知基础。

（二）学习科学基础

依据皮亚杰的认知发展理论，二年级学生正处于具体运算阶段初期，其思维仍需具体事物和操作活动的支撑。因此，本设计贯穿“动作感知—形象表征—符号抽象”的认知路径，通过大量分一分、摆一摆、画一画、说一说的活动，让学生积累丰富的感性经验。同时，融入维果茨基的“最近发展区”理论，在学生已熟练掌握表内除法和“平均分”概念的基础上，设置富有挑战性的任务，引导他们在合作与教师支架下，自主发现“余数”概念及规律。

（三）跨学科视野与真实情境

数学源于生活，用于生活。本设计突破单一数学学科界限，创设了融合劳动教育（分物品）、美术（规律排列）、编程思想（循环条件判断）等多种元素的跨学科学习情境。将数学知识嵌入到真实、完整、有意义的任务中，如“筹备班级茶歇会”、“设计循环排列的彩旗”等，让学生体会到数学作为工具的普遍性和实用性，增强学习的内在动机和应用意识。

二、教学前端分析

（一）教材内容分析

“有余数的除法”是人教版小学数学二年级下册第六单元的核心内容。它是在学生已经掌握了表内乘除法、理解了“平均分”含义的基础上进行教学的。从教材编排看，它承上启下：承上，是表内除法知识的扩展和巩固；启下，是学习多位数除法、一位数除多位数试商的重要基础，也是未来学习因数和倍数、分数、小数等概念的前奏。教材通常通过分草莓、摆小棒等直观操作引入余数概念，继而探究余数与除数的关系，最后学习有余数除法的横式和竖式写法。本设计在尊重教材逻辑主线的基础上，对情境的复杂性、探究的深度和知识的结构化进行了优化与提升。

（二）学情分析

1.已有知识经验：学生能够熟练进行表内乘除法的口算，能清晰表述“平均分”的过程与结果，能用除法算式表示整除的平均分问题。

2.认知心理特点：学生以形象思维为主，好奇心强，乐于动手操作，但注意力持久性有限，抽象概括和数学语言表达能力尚在发展中。

3.潜在学习困难：对“分到最后有剩余”的现象如何用数学语言和符号进行规范表达存在困难；理解“余数为什么一定要比除数小”这一核心规律需要从具体操作中抽象，是教学难点；在竖式计算中，商与除数的乘积、被减数以及余数的位置关系容易混淆。

（三）教学目标

1.知识与技能：

1.2.在平均分物的实际操作中，感受“有剩余”的现象，理解余数及有余数除法的意义。

2.3.掌握有余数除法的横式写法与读法，理解算式中各部分的名称及含义。

3.4.通过操作、观察、比较，发现并理解“余数小于除数”的规律。

4.5.初步掌握有余数除法的竖式计算方法，理解竖式中每一步的含义。

6.过程与方法：

1.7.经历从“实物操作”到“数学表征”（图形、算式）的抽象过程，体会数学建模思想。

2.8.在探究“余数与除数关系”的活动中，发展观察、比较、归纳和推理的能力。

3.9.通过解决真实、有层次的数学问题，提高分析问题和解决问题的能力。

10.情感、态度与价值观：

1.11.在解决问题的过程中，体验数学与日常生活的紧密联系，感受数学的实用性。

2.12.在合作探究中，乐于交流、敢于质疑，培养严谨求实的科学态度和积极探索的精神。

（四）教学重难点

1.教学重点：理解有余数除法的意义，掌握横式与竖式的写法，感知余数产生的现实模型。

2.教学难点：理解“余数一定比除数小”的必然性；掌握有余数除法竖式的计算过程及书写规范。

三、教学准备

1.教师准备：多媒体课件（含互动动画）、实物投影仪、学习任务单、情境图卡片。

2.学生准备：每人一套学具（如：15-20根小棒或圆片、若干印有草莓图案的卡片）、练习本、彩笔。

3.环境准备：学生分组（4-6人异质小组），便于合作探究。

四、教学实施过程（详细展开）

第一阶段：情境引发，激活经验（预计用时：8分钟）

活动一：唤醒“平均分”

1.谈话导入：同学们，我们班要举办一个小型茶歇会，老师准备了一些糖果。如果把这6颗糖平均分给3个小组，每个小组能分得几颗？请你用手中的学具分一分，并用一个算式表示出来。

1.2.学生操作：动手平均分6颗糖果（学具代）。

2.3.汇报交流：6÷3=2（颗）。教师强调：这是我们已经学过的“正好分完”的平均分，用除法表示。

4.制造认知冲突：

1.5.课件出示新情境：茶歇会上还有美味的草莓。现在有7颗草莓，还是平均分给这3个小组，会出现什么情况？请你再分一分。

2.6.学生操作：尝试将7颗草莓平均分给3个小组。

3.7.汇报发现：学生汇报：“每组分到2颗，还多出1颗。”“分不完，有剩下的。”

4.8.教师追问：这个“多出来的1颗”，还能再平均分给3个小组吗？为什么？

5.9.引导思考：像这样平均分后还有剩余的情况，在数学上该如何表示呢？今天我们就一起走进“余数的世界”，探究这种新的除法。

【设计意图】从学生熟悉的整除除法入手，通过改变数据（6→7），自然引发“分后有剩余”的认知冲突，激发学生的探究欲望，明确本课学习的目标。

第二阶段：操作探究，建构概念（预计用时：22分钟）

活动二：多元表征，理解“余数”

1.任务驱动，分组探究：

1.2.出示核心探究任务：分别用8、9、10、11、12、13、14、15根小棒代替草莓，每4根一份（即平均分给4个小组），可以分给几份？还剩几根？请你边分边把结果记录在学习任务单上。

2.3.任务单设计：

总根数（被除数）

分成几份（除数）

每份几根（商）

还剩几根（余数）

算式

8

4

9

4

10

4

…

…

3.4.学生活动：以小组为单位，动手操作、填写。教师巡视，指导学生规范记录“剩”下的根数。

5.交流反馈，建立模型：

1.6.利用实物投影展示学生不同的记录方式：有的画图，有的文字，有的尝试写算式如“9÷4=2…1”。

2.7.统一数学表达：教师指出，在数学上，我们用“……”来表示平均分后剩余的部分，这个数叫做余数。这样的除法叫做有余数的除法。

3.8.教学横式读写：以9÷4为例，规范板书：9÷4=2（份）……1（根）。读作：9除以4等于2余1。带领学生认读算式各部分的名称：9是被除数，4是除数，2是商，1是余数。

4.9.学生模仿：让学生根据自己操作的结果，尝试写出其他几个情况的横式，并读给同桌听。

10.对比归纳，初识关系：

1.11.引导学生纵向观察任务单的“还剩几根”一栏。

2.12.提问：在每份都是4根的前提下，剩下的根数有几种可能？

3.13.学生发现：可能是1根、2根、3根，也可能没有剩余（0根）。

4.14.追问：有可能剩下4根吗？为什么？请你用学具分一分验证一下。

5.15.深度理解：如果剩下4根，就够再分一份了，所以剩下的数总是比4小。这个“4”在这里是除数。

6.16.初步归纳：在有余数的除法里，余数好像都比除数小。

【设计意图】通过开放的操作任务，让学生在大量实例中充分体验“余数”的产生。从实物到图形再到符号，经历完整的数学抽象过程。在观察、对比中引导学生初步发现余数与除数的大小关系，为下一环节的深入探究埋下伏笔。

第三阶段：深度探究，发现规律（预计用时：15分钟）

活动三：为什么“余数一定比除数小”？

1.猜想与验证：

1.2.提出问题：刚才我们分小棒，每份分4根，余数总是1、2、3。这是一个巧合吗？如果每份分5根（除数变成5），余数又会是几呢？请小组任选一个数（如16、17、18、19、20等），用小棒分一分，验证你们的猜想。

2.3.学生探究：分组操作，记录数据。教师引导各组尝试不同的被除数。

4.数据汇总与规律抽象：

1.5.教师将各小组的数据汇总到黑板上或课件表格中，形成两组清晰的数据群：

1.2.6.除数为4时，余数有：0，1，2，3。

2.3.7.除数为5时，余数有：0，1，2，3，4。

4.8.观察与讨论：

1.5.9.这些余数有什么共同点？（都小于除数）

2.6.10.余数可以是除数本身吗？为什么？（不可以，如果是除数本身，就正好够再分一份，余数就为0了。）

3.7.11.余数可能比除数大吗？举例说明。（不可能，如果余数比除数大，说明还可以继续分。）

8.12.得出结论：在有余数的除法中，余数必须比除数小。这是有余数除法运算的一条铁律。

13.渗透“周期”与“极限”思想：

1.14.联系生活：出示日历或按红、黄、蓝顺序循环排列的彩旗图。

2.15.提问：第17面彩旗是什么颜色？我们可以用今天的知识解决吗？（把17面旗，每3面（一组颜色）分一份，看余数是几，余1是红色，余2是黄色，整除是蓝色。）

3.16.小结：余数不仅能告诉我们剩下多少，还能帮助我们确定事物在循环中的位置。这是我们下节课要深入研究的“周期问题”的基础。

【设计意图】本环节是突破难点的关键。通过变换除数，让学生在更广阔的实例中验证规律，从“感知”上升到“确信”。数据汇总后的对比观察，使学生清晰地看到余数范围的确定性。联系周期现象的初步渗透，体现了知识的延展性和应用价值，拓宽了学生的数学视野。

第四阶段：迁移学习，掌握竖式（预计用时：10分钟）

活动四：学习有余数除法的竖式计算

1.从横式到竖式的过渡：

1.2.回到例题：13÷4=3……1。

2.3.回顾整除竖式：复习13÷4如果是12÷4的竖式写法，明确每一步含义：商（3）乘除数（4）得（12），从被除数里减去（12），得（0）。

3.4.迁移尝试：现在被除数是13，竖式该怎么写呢？让学生尝试书写。

5.示范讲解，明确步骤：

1.6.教师规范板书竖式，并同步讲解步骤：

3……商

4)13……被除数

12……4和3的乘积（分掉了12）

---------

1……余数（剩下的1）

2.7.关键提问：

1.3.8.“13”下面为什么写“12”？（因为分掉了4×3=12。）

2.4.9.竖式最下面的“1”表示什么？（表示平均分后还剩下的、不够再分一份的1，这就是余数。）

3.5.10.余数“1”写在什么位置？（写在横线下面，和个位对齐。）

6.11.强调：写竖式时，商要对着被除数的个位。余数必须比除数小。

12.即时巩固：

1.13.学生独立用竖式计算任务单上的1-2个算式，如15÷4，11÷5。同桌互查，重点检查余数是否比除数小，书写是否规范。

【设计意图】在学生充分理解有余数除法意义的基础上，将已有的整除竖式知识正向迁移到有余数除法竖式中。通过对比、追问，让学生理解竖式中每一步的算理，特别是“余数”在竖式中的位置和意义，实现从程序性操作到理解性掌握的跨越。

第五阶段：分层应用，深化理解（预计用时：12分钟）

活动五：智慧闯关，综合应用

设置三个层次的练习，满足不同学生的学习需求。

第一关：基础巩固营（面向全体）

1.看图写算式：（课件出示分铅笔、分苹果等情境图，有剩余）要求学生写出横式和竖式。

2.小小裁判员：判断下面的算式对不对，错的请改正。

1.3.28÷5=5……3（）

2.4.19÷3=5……6（）（余数大于除数，错误典型）

3.5.33÷6=5……3（）

第二关：灵活运用园（面向大多数）

1.（）里最大能填几？（渗透试商思想）

1.2.（）×4<29

2.3.6×（）<45

3.4.此题可引导学生思考：这个不等式和有余数除法有什么关系？（其实就是求商的过程。）

5.解决问题：

1.6.茶歇会准备了22块小蛋糕，每盒装5块，可以装满几盒？还剩几块？

2.7.如果想把所有蛋糕都装盒，至少需要多少个盒子？

第三关：思维挑战台（面向学有余力者）

1.猜一猜：一个数除以6，商是4，余数可能是（）。当余数最大时，被除数是（）。

2.设计彩旗：为元旦联欢会设计一条彩旗链，按“红、黄、蓝、绿”的顺序悬挂。第27面彩旗是什么颜色？请用今天学习的算式说明理由。

【设计意图】分层练习设计体现了因材施教的原则。基础关巩固概念和计算技能；灵活关将知识与解决问题结合，并渗透下一节课的试商方法；挑战关则指向规律的应用和逆向思维，满足高阶思维发展的需求，实现“人人获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”。

第六阶段：总结反思，拓展延伸（预计用时：3分钟）

1.回顾梳理：

1.2.教师引导：今天我们共同探索了除法王国里的一个新朋友，它是谁？（余数）

2.3.学生自由发言：我认识了余数；我知道了有余数除法的写法；我发现了余数必须比除数小；我学会了用竖式计算……

3.4.教师用结构化的板书（如思维导图）与学生共同回顾本课知识网络：从“平均分有剩余”的现象，认识了“余数”，学会了有余数除法的“横式”和“竖式”，并发现了“余数<除数”的核心规律。

5.生活链接与展望：

1.6.提问：生活中，你在哪里见过或可以用到“有余数的除法”？（分发物品、安排座位、时间计算等。）

2.7.延伸思考：余数真的一定比除数小吗？如果我们允许余数比除数大，会出现什么情况？这其实是我们未来学习中的另一种运算。今天学的知识，明天我们将用它来解决更有趣的“周期问题”。

8.情感升华：数学就是不断地从“正好”中发现“不正好”，并找到描述和解决“不正好”的方法。希望大家带着发现的眼光，继续探索数学的奥秘。

五、板书设计（纲要式）

**余数的世界**

——平均分的另一种情况

核心问题：平均分后，有剩余，怎么办？

实物操作→数学表达

（分小棒）9÷4=2（份）……1（根）

画图表示被除商……余数

除数

数

重大发现：**余数<除数**

（为什么？因为余数若≥除数，就可以再分一份。）

竖式算法：

3……商

4)13……被除数

12……4×3的积（分掉的部分）

------

1……余数（剩余的部分）

六、教学特色与反思预评估

（一）特色与创新

1.认知路径清晰：严格遵循“现实问题→