2026年湖南省长沙市高一下学期第一次月考数学练习卷01（人教A版）（原卷版）

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页2026年湖南省长沙市高一下学期第一次月考练习卷01数学试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。5.难度：0.38第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．集合的元素个数是（

）A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个2．已知，则（

）A． B．C． D．3．已知函数，是二次函数，若的值域是，则的值域为（

）A． B． C． D．4．已知叫作双曲余弦函数，叫作双曲正弦函数.若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．5．在边长为2的等边中，点为内切圆上一点，则（

）A．1 B． C．2 D．36．已知关于x的实系数方程的两虚根a，b满足，则p的值是（

）A． B． C． D．17．若，且，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．48．已知分别是三个内角的对边，且，，若点为的费马点，则（）（注：已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小的答案是：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角：当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点.所求的点称为费马点）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．整数集合中，被3除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记作，其中，即，以下判断正确的是（

）A．B．C．若，则D．若，则整数属于同一个类10．已知扇形的半径为，弧长为，若其周长为4，则下列说法正确的是（

）A．若该扇形的半径为1，则其面积为2B．该扇形面积的最大值为1C．当该扇形面积最大时，其圆心角弧度数的绝对值为2D．的最小值为11．如图，点B是线段的中点，，点是平行四边形内（含边界）的一点，且，以下结论中正确的是（

）A．当是线段的中点时，B．当时，C．当为定值时，点的轨迹是一条线段D．的最大值为第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共10分。12．已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数.若，则的值为__________.13．已知的外心O满足，若，且，则面积的最大值为____________．14．若正整数满足（为虚数单位），则的最小值为_____．四、解答题：本题共5小题，共82分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．定义：形如（其中均为关于的整式，且）的不等式为“阶梯分式不等式”，其“阶梯运算”的规则如下：当时，表示“”；当时，表示“”；当时，表示“”．(1)已知阶梯分式不等式，请求解该不等式的解集；(2)已知阶梯分式不等式，请求解该不等式的解集．16．悬链线（Catenary）是一种曲线，指的是两端固定的一条粗细与质量分布均匀，柔软且不能伸长的链条，其在重力的作用下所具有的曲线形状，适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其解析式为与之对应的函数称为双曲正弦函数，令.(1)判断函数的奇偶性并证明；(2)设.①证明的值为定值，并求这个定值；②把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，，记，是否存在正整数，使不等式有解?若存在，求出所有n的值，若不存在，说明理由.17．布洛卡点是三角形内部的特殊点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，其定义如下：设P是内一点，若，则称点P为的布洛卡点，角为的布洛卡角.如图，在中，记它的三个内角分别为，其对边分别为的面积为S，点P为的布洛卡点，其布洛卡角为，请完成以下问题：(1)若，求的大小及的值；(2)已知的条件下，解下列两个问题：①若，求的值；②若，求S.18．人教A版必修2教材第81页阐述一个数学定理——代数基本定理：，任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根，且在复数集中可以分解为个一次因式的乘积.比如：.(1)写出方程的复数根；(2)下面我们探究1的立方根和四次方根的几何性质.我们知道1的立方根有3个，可分别表示成，它们对应点将单位圆三等分；1的四次方根有四个，可以分别表示成，.（i）根据上述探究，请你猜想并证明1的5次方根；提示：若