九年级上学期数学考点突破与提分-圆章末复习题（含答案）

圆章末复习课程标准（1）理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；

（2）了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；

（3）了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；

（4）了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；

（5）结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.知识点01圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义

(1)线段OA绕着它的一个端点O，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.

(2)圆是的集合.

【注意】①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；

②圆是一条封闭曲线.2．圆的性质

(1)旋转不变性：圆是图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是对称图形，对称中心是圆心.

在同圆或等圆中，，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.

(2)轴对称：圆是图形，都是它的对称轴.

(3)垂径定理及推论：

①.

②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.

④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.

⑤平行弦夹的弧相等.

【注意】在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.(注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径)3．两圆的性质

(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.

(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点.4．与圆有关的角

(1)圆心角：叫圆心角.

圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.

(2)圆周角：.

圆周角的性质：

①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的.

②同弧或等弧所对的；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的.

③90°的圆周角所对的弦为；半圆或直径所对的圆周角为.

④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

⑤圆内接四边形的；外角等于它的.

【注意】(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.

(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.

知识点02与圆有关的位置关系1．判定一个点P是否在⊙O上

设⊙O的半径为r，OP=d，则有

；；；【注意】点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.2．判定几个点在同一个圆上的方法

当时，在⊙O上.

3．直线和圆的位置关系

设⊙O半径为R，点O到直线l的距离为d.

(1)直线l和⊙O没有公共点直线和圆.(2)直线l和⊙O有唯一公共点直线和圆.(3)直线l和⊙O有2个公共点直线和圆.4．切线的判定、性质

(1)切线的判定：

①经过半径的外端并且这条半径的直线是圆的切线.

②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线.

(2)切线的性质：

①圆的切线过切点的.

②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.

③经过切点作切线的垂线经过圆心.

(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.

(4)切线长定理：从圆外一点，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.

5．圆和圆的位置关系

设的半径为，圆心距.

(1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的；(2)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的；(3)和有唯一公共点，除这个点外，每一个圆上的所有点在另一个圆的外部；(4)和有唯一公共点，除这个点外，每一个圆上的所有点在另一个圆的内部；(5)和有2个公共点；知识点03三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1．三角形的内心、外心、重心、垂心

(1)三角形的内心：是三角形的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.

(2)三角形的外心：是三角形的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.

(3)三角形重心：是三角形的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的，通常用G表示.

(4)垂心：是三角形的交点.【注意】(1)任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；

(2)解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).

(3)三角形的外心与内心的区别：名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边中垂线的交点(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心)三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)内心在三角形内部.2．圆内接四边形和外切四边形

(1)的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形，外角等于.

(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形.知识点04圆中有关计算圆的面积公式：，周长.

圆心角为、半径为R的弧长.

圆心角为，半径为R，弧长为l的扇形的面积.

弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.

圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.

圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.【注意】(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；

(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.

(3)扇形面积公式S扇形，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；

(4)扇形两个面积公式之间的联系：S扇形.

考法01圆的基础知识【典例1】如下图，菱形的三个顶点、、在上，则（

）．A．100° B．150° C．120° D．60°【即学即练】如图，已知、是的弦，，点C在弦上，连接CO并延长CO交于于点D，，则的度数是（

）A．30° B．40° C．50° D．60°【典例2】如图，以C为圆心的圆过的中点D，则（）．A．2 B．3 C． D．【即学即练】如图，为半径，点为中点，为上一点，且，若，则的长为（

）A． B． C． D．【典例3】如图，中，，O是的中点，以O为圆心，长为半径画弧，分别交于点D，E，连接，测量的度数是_____．【即学即练】如图，圆内4个正方形的边长均为2a，若点A，B，C，D，E在同一条直线上，点E，F，G在同一个圆上，则此圆的半径为______．【典例4】如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，若，求的度数；【即学即练】如图，线段过圆心交于，两点，交于点，且．（1）若，求的度数；（2）若，，求的长．考法02弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理【典例5】如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=6，OD=4，则DC的长为（

）A．1 B．2 C．2.5 D．5【即学即练】如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=6，OD=4，则DC的长为（

）A．1 B．2 C．2.5 D．5【典例6】如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=6，OD=4，则DC的长为（

）A．1 B．2 C．2.5 D．5【即学即练】如图，AB为⊙O直径，点C，D在⊙O上且．AD与CO交于点E，∠DAB＝30°，若，则CE的长为（

）A．1 B． C． D．【典例7】已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点E、F分别为AB、CD的中点，若AB＝8，CD＝6，⊙O的半径为5，则线段EF长的最大值为_____．【即学即练】如图，已知半圆直径，点C、D三等分半圆弧，那么的面积为________．【典例8】如图，在平行四边形ABCD中，AD是⊙的弦，BC是⊙的切线，切点为点B．(1)求证：；(2)若，，求⊙的半径．【即学即练】如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，且AB⊥CD，垂足为G，点E在劣弧上，连接CE．（1）求证：CE平分∠AEB；（2）连接BC，若BC//AE，求证：BC=BE．考法03圆中有关的计算【典例9】已知：如图，是的两条半径，且，点在上，则的度数为（

）A． B． C． D．【即学即练】已知扇形的半径为6，圆心角为，则它的弧长是（

）A． B． C． D．【典例10】如图，，是的弦，，，则的直径等于（

）A．2 B．3 C．4 D．6【即学即练】如图，矩形ABCD中，，，将矩形ABCD绕点B顺时针旋转得到矩形EBGF，再将矩形EBGF绕点G顺时针旋转得到矩形IHGJ，则点D在两次旋转过程中经过的路径的长是（）A． B． C． D．【典例11】如图，⊙O与AB相切于点A，BO与⊙O交于点C，，则∠B等于_____．【即学即练】如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是_______．【典例12】如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为点E，D是优弧BC上一点，连接BD，AD，OC，(1)求∠ADB的度数；(2)若OE＝3，OA＝5，求BC的长．【即学即练】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BE交AC于点E，⊙O是△BEF的外接圆，交AB于点F，圆心O在AB上．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)过点E作EH⊥AB于点H，求证：EF平分∠AEH；(3)求证：CD＝HF．考法04圆与其他知识的综合运用【典例13】如图所示，AB是⊙O的直径，AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角除对顶角外还有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【即学即练】如图，正方形的边长为，点在上，以为圆心的扇形与边相切于点，与两边交于点，，则弧长度的最小值是（

）A． B． C． D．【典例14】如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，分别以点A，B，C为圆心，AB的长为半径画弧，与该三角形的边相交，则图中阴影部分的面积为（）A．96﹣π B．96﹣25π C．48﹣π D．48﹣π【即学即练】如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=35°，∠B+∠E=（

）A．325° B．145° C．215° D．395°【典例15】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点A，C为圆心，AO长为半径画弧，分别交AB，CD于点E，F．若BD＝6，∠CAB＝30°，则图中阴影部分的面积为_____．（结果保留π）【即学即练】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（－3，0），B（0，3），⊙O的半径为1（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为____．【典例16】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AE是⊙O的直径，AF是⊙O的弦，且AF⊥BC，垂足为D．若BE=6，AB=8．(1)求证：BE=CF；(2)若∠ABC=∠EAC，求AC的长．【即学即练】接BD和CD．(1)求证：．(2)，，，求AD．(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积．考法05与圆的切线相关的证明与计算【典例17】下列命题中的真命题是（）①相等的角是对顶角

②矩形的对角线互相平分且相等

③垂直于半径的直线是圆的切线

④顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形．A．①② B．②③ C．③④ D．②④【即学即练】下列命题中，①直径是弦；②平分弦的直径必垂直于弦；③相等的圆心角所对的弧相等；④等弧所对的弦相等．⑤经过半径的一端并垂直于半径的直线是圆的切线．正确的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【典例18】如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（）A．∠A＝50°，∠C＝40° B．∠B﹣∠C＝∠AC．AB2+BC2＝AC2 D．⊙A与AC的交点是AC中点【即学即练】如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的⊙O与边AB、CD分别交于点E、点F，给出下列判断：（1）AC与BD的交点是⊙O的圆心；（2）AF与DE的交点是⊙O的圆心；（3）AE=DF；（4）BC与⊙O相切，其中正确判断的个数是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【典例19】在正方形ABCD中，以AB为直径做半圆，过点D做DE切圆O于点F，交BC于点E，正方形的边长为2，求阴影面积______．【即学即练】如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的半圆O交AC于D，交AB于E，连接BD，CE交于点F，经过点E作EG⊥BC于G，交BD于H，过点E作EM⊥AC于M．则下列结论：①BE＝EM；②∠ECA＝∠BEG；③EH＝BF；④EM是⊙O的切线．其中正确的结论是_____．（填写所有正确结论的序号）【典例20】如图，已知AB、AC分别为⊙O的直径和弦，D为弧BC的中点，DE⊥AC于E，DE=6，AC=16．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)求直径AB的长．【即学即练】如图，直线经过上的点C，并且，，交直线于E、D，连，．(1)求证：直线是的切线；(2)试猜想，，三者之间的等量关系，并加以证明；(3)若，的直径为5，求的长．圆章末复习课程标准（1）理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；

（2）了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；

（3）了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；

（4）了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；

（5）结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.知识点01圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义

(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.

(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.

【注意】①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；

②圆是一条封闭曲线.2．圆的性质

(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.

在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.

(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.

(3)垂径定理及推论：

①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.

④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.

⑤平行弦夹的弧相等.

【注意】

在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.(注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径)3．两圆的性质

(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.

(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点.4．与圆有关的角

(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.

圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.

(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.

圆周角的性质：

①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.

②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.

③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.

④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.

【注意】(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.

(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.

知识点02与圆有关的位置关系1．判定一个点P是否在⊙O上

设⊙O的半径为r，OP=d，则有

点P在⊙O外；点P在⊙O上；点P在⊙O内；【注意】点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.2．判定几个点在同一个圆上的方法

当时，在⊙O上.

3．直线和圆的位置关系

设⊙O半径为R，点O到直线l的距离为d.

(1)直线l和⊙O没有公共点直线和圆相离.(2)直线l和⊙O有唯一公共点直线和圆相切.(3)直线l和⊙O有2个公共点直线和圆相交.4．切线的判定、性质

(1)切线的判定：

①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线.

(2)切线的性质：

①圆的切线垂直于过切点的半径.

②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.

③经过切点作切线的垂线经过圆心.

(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.

(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.

5．圆和圆的位置关系

设的半径为，圆心距.

(1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离；(2)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的内部内含；(3)和有唯一公共点，除这个点外，每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外切；(4)和有唯一公共点，除这个点外，每一个圆上的所有点在另一个圆的内部内切；(5)和有2个公共点相交；知识点03三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1．三角形的内心、外心、重心、垂心

(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.

(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.

(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.

(4)垂心：是三角形三边高线的交点.【注意】(1)任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；

(2)解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).

(3)三角形的外心与内心的区别：名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边中垂线的交点(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心)三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)内心在三角形内部.2．圆内接四边形和外切四边形

(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.

(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.知识点04圆中有关计算圆的面积公式：，周长.

圆心角为、半径为R的弧长.

圆心角为，半径为R，弧长为l的扇形的面积.

弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.

圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.

圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.【注意】(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；

(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.

(3)扇形面积公式S扇形，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；

(4)扇形两个面积公式之间的联系：S扇形.

考法01圆的基础知识【典例1】如下图，菱形的三个顶点、、在上，则（

）．A．100° B．150° C．120° D．60°【答案】C【详解】：连结OC，∵点、、在上，∴OA=OB=OC，又∵四边形OACB为菱形，∴OA=AC=CB=OB=OC，∴△OAC和△OBC均为等边三角形，∴∠ACO=∠BCO=60°，∴∠ACB=∠ACO+∠BCO=120°．故选：C．【即学即练】如图，已知、是的弦，，点C在弦上，连接CO并延长CO交于于点D，，则的度数是（

）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】C【详解】解：连接OA，∵OA=OB，∴∠OAB=∠B=30°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠D=20°，∴∠BAD=∠OAB+∠OAD=50°，故选：C．【典例2】如图，以C为圆心的圆过的中点D，则（）．A．2 B．3 C． D．【答案】D【详解】解：如图示，连接，在中，点D是的中点，则，∴∴依据勾股定理可得：．故选：D．【即学即练】如图，为半径，点为中点，为上一点，且，若，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：如图，作OE⊥PQ于点E，连接OQ，由题意，OA=OQ=2，∠OEP=90°，∵点P是OA的中点，∴OP=1，∵，∴∠EPO=∠EOP=45°，∴PE=OE=，在Rt△OEQ中，由勾股定理，得：，∴；故选择：D.【典例3】如图，中，，O是的中点，以O为圆心，长为半径画弧，分别交于点D，E，连接，测量的度数是_____．【答案】##80度【详解】解：如图，连接OE、OD，根据题意得：OC=OB=OD=OE，∵∠A=50°，∴∠B+∠C=130°，∴∠CEO+∠BDO=130°，∴∠AEO+∠ADO=230°，∴∠EOD=360°-∠A-∠AEO-∠ADO=360°-50°-230°=80°，故答案为：．【即学即练】如图，圆内4个正方形的边长均为2a，若点A，B，C，D，E在同一条直线上，点E，F，G在同一个圆上，则此圆的半径为______．【答案】a【详解】解：∵点E，F在⊙O上，∴圆心O在EF的垂直平分线PQ上，连接OG、OE，∵4个正方形的边长均为2a，∴PQ=8a，EQ=a，PG=3a，设PO=x，则OQ=8a-x，∵OG=OE，即OG2=OE2，∴PG2+PO2=OQ2+QE2，即(3a)2+x2=(8a-x)2+a2，解得：x=a，即PO=a，∴OG2=(3a)2+(a)2=a2，∴OG=a，故答案为a．【典例4】如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，若，求的度数；【答案】40°【详解】解：∵∠ACB=90°，∠A=25°，∴∠B=90°-25°=65°，∵CB=CD，∴∠B=∠CDB=65°，∴∠BCD=180°-65°-65°=50°，∴∠DCE=90°-50°=40°．【即学即练】如图，线段过圆心交于，两点，交于点，且．（1）若，求的度数；（2）若，，求的长．【答案】（1）75°；（2）．【详解】（1）连接．∵，∴，∵，∴，∴．（2）∵，∴（由（1）证明可知）∴，设，∴，解得，∴．考法02弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理【典例5】如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=6，OD=4，则DC的长为（

）A．1 B．2 C．2.5 D．5【答案】A【详解】解：如图，连接AO，∵半径与点D，∴，∵，∴根据勾股定理，，∴，∴．故选A．【即学即练】如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=6，OD=4，则DC的长为（

）A．1 B．2 C．2.5 D．5【答案】A【详解】解：如图，连接AO，∵半径与点D，∴，∵，∴根据勾股定理，，∴，∴．故选A．【典例6】如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=6，OD=4，则DC的长为（

）A．1 B．2 C．2.5 D．5【答案】A【详解】解：如图，连接AO，∵半径与点D，∴，∵，∴根据勾股定理，，∴，∴．故选A．【即学即练】如图，AB为⊙O直径，点C，D在⊙O上且．AD与CO交于点E，∠DAB＝30°，若，则CE的长为（

）A．1 B． C． D．【答案】C【详解】解：∵∴又∵∠DAB＝30°∴由勾股定理得，∴∴(负值舍去)∴故选：C【典例7】已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点E、F分别为AB、CD的中点，若AB＝8，CD＝6，⊙O的半径为5，则线段EF长的最大值为_____．【答案】7【详解】解：连接OA、OD、OE、OF，∵点E、F分别为AB、CD的中点，∴OE⊥AB，AEAB＝4，OF⊥CD，DFCD＝3，由勾股定理得，OE3，OF4，当E、O、F在同一条直线上时，EF最大，最大值为3+4＝7，故答案为：7．【即学即练】如图，已知半圆直径，点C、D三等分半圆弧，那么的面积为________．【答案】【详解】解：连接OC，OD，过点O作OE⊥CD，垂足为点E，如图，∵点C、D三等分半圆弧，∴∠COD=∠BOD=60°，∵OC=OD，∴是等边三角形，∴∠CDO=60°，∴∠CDO=∠BOD，∴CD∥AB，∴，∵OE⊥CD，∴∠COE=∠COD=30°，∴，在中，，∴．故答案为：．【典例8】如图，在平行四边形ABCD中，AD是⊙的弦，BC是⊙的切线，切点为点B．(1)求证：；(2)若，，求⊙的半径．【答案】(1)见解析(2)【详解】(1)证明：连接，交于点．是的切线，切点为，，，四边形是平行四边形，，，，；(2)解：，过圆心，在中，，，设的半径为，则，连接，在中，，即，，的半径为．【即学即练】如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，且AB⊥CD，垂足为G，点E在劣弧上，连接CE．（1）求证：CE平分∠AEB；（2）连接BC，若BC//AE，求证：BC=BE．【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】（1）证明：，是直径，．，平分；（2）解：如图，∵，∴．又∵，

．考法03圆中有关的计算【典例9】已知：如图，是的两条半径，且，点在上，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：，，．故选：A．【即学即练】已知扇形的半径为6，圆心角为，则它的弧长是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：由弧长公式可知，，故选：B．【典例10】如图，，是的弦，，，则的直径等于（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【详解】解：连接OB、OC，如图，∵∠BOC＝2∠BAC＝2×30°＝60°，而OB＝OC，∴△OBC为等边三角形，∴OB＝BC＝2，∴⊙O的直径等于4．故答案为：4．【即学即练】如图，矩形ABCD中，，，将矩形ABCD绕点B顺时针旋转得到矩形EBGF，再将矩形EBGF绕点G顺时针旋转得到矩形IHGJ，则点D在两次旋转过程中经过的路径的长是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：如图，第一次旋转时，点D绕点B旋转90°，旋转半径为BD，到达点F处，BD==6，此时，点D运动的路径为：3π，第二次旋转时，点F绕点G旋转90°，旋转半径为GF=AB=3，到达点J处，点F运动的路径为：，故点D在两次旋转过程中经过的路径的长为：，故选：D．【典例11】如图，⊙O与AB相切于点A，BO与⊙O交于点C，，则∠B等于_____．【答案】【详解】解：如图，连接OA．则OA⊥AB．∴，∵，∴．∵OA＝OC，∴．∴．故答案为：．【即学即练】如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是_______．【答案】【详解】解：如图，连接OD，交AC于F，∵D是的中点，∴OD⊥AC，AF=CF，∴∠DFE=90°，∵OA=OB，AF=CF，∴OF=BC，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，在△EFD和△ECB中，，

∴△EFD≌△ECB（AAS），∴DF=BC，∴OF=DF，∵OD=3，∴OF=1，AB=2OD=6，∴BC=2，∴．故答案为：．【典例12】如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为点E，D是优弧BC上一点，连接BD，AD，OC，(1)求∠ADB的度数；(2)若OE＝3，OA＝5，求BC的长．【答案】(1)(2)8【详解】（1）解：连接OB，∵OA⊥BC，OA过圆心O，∴，∵，∴，∴；（2）∵OA⊥BC，BC＝2，OA过圆心O，∴BE＝EC，∵OB＝OA＝5，OE＝3，∴BE＝＝＝4，∴BC＝2BE＝8．【即学即练】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BE交AC于点E，⊙O是△BEF的外接圆，交AB于点F，圆心O在AB上．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)过点E作EH⊥AB于点H，求证：EF平分∠AEH；(3)求证：CD＝HF．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【详解】（1）证明：连接OE，如图所示：∵BE⊥EF，∴∠BEF＝90°，∴BF是圆O的直径，∴OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE，∴∠OEB＝∠CBE，∴，∴∠AEO＝∠C＝90°，∴AC是⊙O的切线；（2）证明：∵∠C＝∠BHE＝90°，∠EBC＝∠EBA，∴∠BEC＝∠BEH，∵BF是⊙O是直径，∴∠BEF＝90°，∴∠FEH+∠BEH＝90°，∠AEF+∠BEC＝90°，∴∠FEH＝∠FEA，∴FE平分∠AEH．（3）证明：连接DE，如图所示：∵BE是∠ABC的平分线，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，∴EC＝EH，∵∠CDE+∠BDE＝180°，∠HFE+∠BDE＝180°，∴∠CDE＝∠HFE，∵∠C＝∠EHF＝90°，∴△CDE≌△HFE（AAS），∴CD＝HF，考法04圆与其他知识的综合运用【典例13】如图所示，AB是⊙O的直径，AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角除对顶角外还有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【详解】解：∵在△ADO和△DOE中，∴△OAD≌△ODE（SSS），∴∠DAB=∠EDO，∠ADO=∠DEO，∵AO=DO，∴∠DAB=∠ADO，∴∠DAB=∠ADO=∠ODE=∠DEO；∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∠AEB=90°，∵AD=DE，∴，∴∠ABD=∠DBE，∴∠DAB=90°-∠ABD，∠BCE=90°-∠DBE，∴∠DAB=∠BCE，∴∠DCA=∠DAB=∠ADO=∠ODE=∠DEO，则与∠ECB相等的角有5个．图中与∠BCE相等的角除对顶角外还有4个故选C．【即学即练】如图，正方形的边长为，点在上，以为圆心的扇形与边相切于点，与两边交于点，，则弧长度的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：当点与或点重合时，圆心角为，此时弧最长，根据正方形和扇形的对称性可得，当点在中点时，此时弧的长度最短，且，∵正方形的边长为，以为圆心的扇形与边相切，∴，，∴，∴，∴，∴，∴弧的长度为．故选：C．【典例14】如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，分别以点A，B，C为圆心，AB的长为半径画弧，与该三角形的边相交，则图中阴影部分的面积为（）A．96﹣π B．96﹣25π C．48﹣π D．48﹣π【答案】D【详解】解：作AD⊥BC于点D，∵AB＝AC＝10，BC＝12，∴BD＝CD＝6，∴AD＝＝8，∴＝×12×8﹣π×＝48﹣．故选：D．【即学即练】如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=35°，∠B+∠E=（

）A．325° B．145° C．215° D．395°【答案】C【详解】解：如图，连接CE，∵五边形ABCDE是圆内接五边形，∴四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠B+∠AEC=180°，∵∠CED=∠CAD=35°，∴∠B+∠AED=180°+35°=215°．故选：C．【典例15】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点A，C为圆心，AO长为半径画弧，分别交AB，CD于点E，F．若BD＝6，∠CAB＝30°，则图中阴影部分的面积为_____．（结果保留π）【答案】【详解】解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且BD=6，∴AC=BD＝6，∴OA=OC=OB=OD=3，∴，故答案为：．【即学即练】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（－3，0），B（0，3），⊙O的半径为1（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为____．【答案】【详解】解：连接、．是的切线，；根据勾股定理知，当时，线段最短；又，，，，，，，．故答案为：．【典例16】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AE是⊙O的直径，AF是⊙O的弦，且AF⊥BC，垂足为D．若BE=6，AB=8．(1)求证：BE=CF；(2)若∠ABC=∠EAC，求AC的长．【答案】(1)见解析(2)【详解】（1）证明：∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°，∴∠BAE+∠BEA=90°，∵AF⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°，∵，∴∠BEA=∠ACD，∴∠BAE=∠CAD，∴弧BE=弧FC∴BE=CF．（2）解：连接OC，如图所示：∴∠AOC＝2∠ABC，∵∠ABC＝∠CAE，∴∠AOC＝2∠CAE，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO＝∠AOC，∵，∴，∴△AOC是等腰直角三角形，∵BE=6，AB=8，∠ABE=90°∴，∴AO＝CO＝5，∴．【即学即练】接BD和CD．(1)求证：．(2)，，，求AD．(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)(3)【详解】（1）证明：如图，连接，∵I为三角形ABC的内心，，，，，，，，，，；（2）如图，过点作于，过点作于点，，，，则，，，则，，，，，，，，过点，作的垂线，垂足分别为，如图，I为三角形ABC的内心，，设，，即，解得，中，，，，（3）如图，设为三角形ABC的外接圆的圆心，连接，，，，，且，，是等边三角形，，圆的半径为，．考法05与圆的切线相关的证明与计算【典例17】下列命题中的真命题是（）①相等的角是对顶角

②矩形的对角线互相平分且相等

③垂直于半径的直线是圆的切线

④顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形．A．①② B．②③ C．③④ D．②④【答案】D【详解】①相等的角不一定是对顶角，故①错误；②矩形的对角线互相平分且相等，故②正确；③经过半径外端并且垂直于半径的直线是圆的切线，故③错误；④顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形，故④正确，所以正确的是②④，故选D．【即学即练】下列命题中，①直径是弦；②平分弦的直径必垂直于弦；③相等的圆心角所对的弧相等；④等弧所对的弦相等．⑤经过半径的一端并垂直于半径的直线是圆的切线．正确的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【详解】解：直径是圆中最长的弦，所以①正确；平分弦（非直径）的直径必垂直于弦，所以②错误；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以③错误；等弧所对的弦相等．所以④正确；经过半径的外端并垂直于半径的直线是圆的切线．所以⑤错误．故选B．【典例18】如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（）A．∠A＝50°，∠C＝40° B．∠B﹣∠C＝∠AC．AB2+BC2＝AC2 D．⊙A与AC的交点是AC中点【答案】D【详解】解：A、∵∠A＝50°，∠C＝40°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，∴BC⊥AB，∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；B、∵∠B﹣∠C＝∠A，∴∠B＝∠A+∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；C、∵AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；D、∵⊙A与AC的交点是AC中点，∴AB＝AC，但不能证出∠B＝90°，∴不能判定BC是⊙A切线；故选：D