专题8.3 实数及其简单运算 原卷版

专题8.3实数及其简单运算【考点梳理】考点一：实数的概念与分类 考点二：实数和数轴问题考点三：实数的大小比较考点四：无理数的理解考点五：无理数大小估算考点六：无理数的整数和小数部分考点七：实数的运算考点八：实数的程序框图或新定义运算考点九：与实数有关的规律问题考点十：实数的综合问题【知识梳理】知识点一：无理数无限不循环小数称为无理数。（开方开不尽的数；含有π的数；有规律但不循环的数。）如，等知识点二：实数：有理数和无理数统称实数。知识点三：实数与数轴每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数。即实数和数轴上的点是一一对应的。技巧归纳：1、a是一个实数，它的相反数为-a2、一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。（在实数范围内，相反数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、绝对值的意义完全一样。）【题型探究】题型一：实数的概念与分类1．（2025七年级下·全国）下列说法正确的是（

）A．实数分为正实数和负实数 B．实数分为整数和分数C．实数分为有理数和无理数 D．带根号的数都是无理数2．（24-25七年级下·全国）下列说法：①实数包括有理数、无理数和0；②有理数和无理数都是实数；③正实数和负实数统称为实数；④实数既是有理数又是无理数．其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法正确的是（）A．带根号的数一定都是无理数 B．无限不循环小数是无理数C．实数可以分为正实数和负实数 D．能在数轴上表示出来的数都是有理数题型二：实数和数轴问题4．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，数轴上A，B两点所表示的实数分别是和，C是线段的中点，则线段的长度是（

）A． B．2 C． D．5．（24-25七年级下·全国）已知数轴上点到原点的距离为，且点在原点的左侧，数轴上到点的距离为的点所表示的数是（

）A． B．C． D．或6．（22-23七年级下·河南省直辖县级单位·期中）如图所示，一条数轴被一滩墨迹覆盖了一部分，下列实数中，被墨迹覆盖的是（

）A． B． C． D．题型三：实数的大小比较7．（24-25七年级下·全国）（教材变式）若，则的大小关系为（

）A． B． C． D．8．（24-25七年级下·全国）已知，则下列大小关系正确的是（

）A． B． C． D．9．（24-25七年级下·全国·单元测试）在0，，，，五个数中，最大的数是（

）A．0 B． C． D．题型四：无理数的理解10．（24-25七年级下·全国）在中，无理数的个数是（

）A．1977 B．2020 C．1980 D．198811．（2025七年级下·全国）在实数中，无理数的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．412．（24-25七年级下·全国）下列各数、0、0.202002000200002…（相邻两个2之间依次多一个0）、、、，其中无理数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个题型五：无理数大小估算13．（24-25七年级下·全国）已知a为正整数，且则a等于（

）A．4 B．5 C．6 D．714．（2025七年级下·全国·专题练习）用计算器依次按键，得到的结果最接近（

）A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.815．（24-25七年级下·全国）的值介于（

）A．45与50之间 B．50与55之间C．55与60之间 D．60与65之间题型六：无理数的整数和小数部分16．（24-25七年级下·全国）已知的小数部分是的小数部分是，则的立方根是．17．（24-25八年级上·广东揭阳）已知，分别是的整数部分和小数部分，则的值为．18．（23-24八年级上·陕西西安）若a是的整数部分，b是的小数部分．则的平方根是．题型七：实数的运算19．（24-25七年级下·全国）计算：(1)；(2)；(3)．20．（24-25七年级下·全国）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．21．（24-25七年级下·全国）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．题型八：实数的程序框图或新定义运算22．（23-24七年级下·山西太原）根据如图所示的计算程序，若开始输入x的值为，则输出y的值为（）A． B．1 C． D．323．（2025七年级下·全国·专题练习）现对实数定义一种运算：．则等于（

）A． B． C．2 D．624．（21-22七年级下·山西吕梁·期中）用“”表示一种新运算：对于任意正实数•，例如10•21=，那么的运算结果为（

）A．13 B．7 C．4 D．5题型九：与实数有关的规律问题25．（23-24七年级下·广东韶关·期中）按一定规律排列的一列数，，，，其第8个数为（

）A． B． C． D．26．（23-24七年级上·福建龙岩·期末）已知整数，，，，……满足下列条件：，，，，……依此类推，则的值为（

）A． B． C． D．27．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（

）A． B． C． D．题型十：实数的综合问题28．（24-25七年级下·全国·单元测试）如下图，数轴上有三点，表示1和的点分别为，点B到点A的距离与点C到原点O的距离相等．设三点表示的三个数之和为p．(1)求p的值；(2)点D在点O的左侧，且．若以D为原点，求点C表示的数．29．（24-25七年级下·全国）【阅读理解】，即，的整数部分是1，小数部分是．【解决问题】已知是的整数部分，是的小数部分，求：(1)的值；(2)的平方根．30．（24-25七年级下·全国）新定义：若无理数（T为正整数）的被开方数满足（n为正整数），则称无理数的“青一区间”为，同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为的“青一区间”为．(1)的“青一区间”为_______，的“青一区间”为_______；(2)实数满足关系式，求的“青一区间”．【高分演练】一、单选题31．（24-25七年级下·全国）下列各式是有理数的是（

）A． B． C． D．32．（24-25七年级下·全国）计算的结果是（

）A． B． C． D．33．（24-25七年级下·全国）的绝对值的3倍与的差的相反数等于（

）A． B． C．1 D．34．（24-25七年级下·全国·期中）实数：，，，（相邻两个之间依次多一个），，其中无理数有（

）个．A． B． C． D．35．（24-25七年级下·全国·期中）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（

）A．5 B． C． D．36．（24-25七年级下·全国）一个数值转换器，原理如图．当输入的x为64时，输出的y是（）A． B． C． D．837．（24-25七年级下·全国）如图，表示实数的点落在（

）A．段④ B．段③ C．段② D．段①38．（24-25七年级下·全国·单元测试）对于实数a、b，定义的含义为：当时，；当时，．例如：．已知，且和为两个连续正整数，则的立方根为（

）A． B．1 C． D．239．（23-24八年级上·河南郑州）实数，和的大小关系是（

）A． B．C． D．40．（22-23七年级下·重庆江津·期中）对代数式定义新运算：．在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”．实数，，在数轴上的位置如图所示．例如：，，．下列说法正确的个数是（

）①；②；③至少存在一种“新运算操作”，使运算结果与原代数式之和为0；④至少存在一种“新运算操作”，使运算结果为．A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题41．（2025七年级下·全国·专题练习）有下列说法：①是一个负数；②0的相反数和倒数都是0；③全体实数和数轴上的点一一对应；④一个数的平方根等于它本身，这个数是0和1；⑤实数包括无理数和有理数；⑥无理数和无理数的和一定是无理数．其中正确的是（填序号）．42．（24-25七年级下·全国）下列各数3.1415926，，1.212212221…（相邻两个1之间依次增加一个2），中，无理数有个．43．（24-25七年级下·全国）如图所示，数轴上表示所对应的点分别为，，点关于点的对称点为，那么点所表示的数是．44．（2025七年级下·全国·专题练习）规定：如果，那么叫作的次方根．例如：因为，所以16的四次方根是2和．由此可知，81的四次方根是．45．（24-25七年级下·全国）已知的倒数是，的相反数的绝对值是，是的立方根，则的平方根是．46．（22-23七年级下·贵州黔南·期末）如图1，教材有这样一个探究：把两个面积为的小正方形沿着对角线剪开，将所得的四个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为的大正方形，所得的面积为的大正方形的边就是原先面积为的小正方形的对角线，因此，可得小正方形的对角线长度为．某同学受到启发，把长为3、宽为2的两个长方形沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼成如图2所示的一个正方形，请你仿照上面的探究方法，比较．（填“”或“”或“”）三、解答题47．（24-25七年级下·全国·课后作业）把下列各数分别填入相应的集合里：，（每两个2之间依次增加一个1），，．正有理数集合：｛

…}；负有理数集合：｛

…}；正无理数集合：｛

…}负无理数集合：｛

…}．48．（24-25七年级下·浙江）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．49．（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示的数为．设点B表示的数为m．(1)实数m的值为_______；(2)在数轴上还有两点分别表示实数c和d，且与互为相反数．请计算的值．50．（24-25八年级上·广东深圳·期中）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小欣用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答：(1)的整数部分是________，小数部分是________；(2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值．51．（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读《无理数》课堂实录，解决问题：数学课上，老师带着大家学习无理数．老师：大家知道无理数是无限不循环小数，因此一个无理数的小数部分，我们是不可能完全地写出来，那么，有什么方法表示出无理数的小数部分呢？例如：．聪聪：我们可以用来表示的小数部分．老师：为什么？聪聪：因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．老师：聪聪真聪明，那么你知道含有无理数的两个数字之和的小数部分怎么表示吗？例如．聪聪：这个还真是不清楚了．(1)请同学们帮聪聪表示一下，的小